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反函数2


高中代数必修本上册1.11







说课:反函数
一、说教材 1、主题是“反函数”概念的学习

从数学素质层面看是函数、方程思想方法和对立 统一观点的教育;
从思维能力层面看是培养逆向思维的好课材;

∴从创新教育层面看,这节课正是确立学生自主学
习,培养创新意识的好课题。

2、 教学目标 (1)正确理解“反函数”的概念。 (2)掌握求反函数的步骤和求反函数定义域的方法。

(3)培养学生初步的归纳能力、阅读能力和应用函
数、方程思想方法的能力。

(4)情感目标拟定为培养学生自我发展、学习讨论、
协调的学习品质。

3、教学重、难点的确定
“反函数”概念和求反函数式是本节课的重 点。 难点: 准确理解反函数的存在性 求反函数的定义域

二、教法、学法指导 教法上大胆地让学生自主学习,以学生自我发展 为本,通过做、议、讲、读、想诸活动,努力突出教 师为主导、学生为主体,以活动为主要形式。

学法指导点是:
(1)学会阅读数学概念的方法;

(2)逆向思维思考方法;
(3)用函数观点构造反函数的方法。

三、说教学程序的设计 我的设计思路是:(1)“物化”理念,着眼 素质,通过设置二个创新学习情节,安排 18 个大 小问题解决,对例题进行三次变式训练,延长了

概念的形成、辨析、深化的学习过程;(2)先操
作“存在”问题,后学习“不存在”问题;(3)

先范例,后创意变式。

1、创设情境、发现概念 问题1,近年来,我国登山健儿们已征服了世界各 大洲所有最高的山峰,为登山需要必须弄清高山的高 度和温度之间的联系和规律。已测知夏季高山上温度 从山脚计起,每升高一百米便降低 0.7℃,若山脚5月份 温度是10℃,你能否建立起高山相对高度和温度之间的 函数关系式?

10 ? x ( y ? 10 ? 0.7 x 或 y ? ) 0 .7

2、构建概念,剖析要点

“说一说”,回答下列问题,
(1)概念的关键语是什么?它的数学意义是什么?

(2)反函数存在条件是什么?
(3)反函数和原函数有什么联系,怎样求反函数 的定义域。 (4)求反函数式的步骤是什么?

3、初步运用、突出重点
“练一练” 问题2 已知下列函数都有反函数,试求它们的反函数 (1)y ? 3x ? 1( x ? R) (2)y ? x “议一议” 把
3

2x ? 3 (3)y ? x ? 1( x ? 0) (4)y ? ( x ? R 且 x ? 1) x ?1
求反函数的步骤:

? 1( x ? R)

y ? f ( x)当作方程,反解 x ? ? ( y ) , ?1 y 互换字母 x、 得 y ? f ( x) ,

∴写出定义域(原函数的值域)。

4、变式训练,强化重点 “练一练” 变式一,求下列函数的反函数 (1) y ? 3x ? 1 ( x ?[?2,2])

( 2)

y?

( 3) y ? ( 4)

x ? 1 ( x ? 1) 3x ? 1 ( x ? 1) x ? 1 ( x ? 1)

f ( x ? 1) ? 3x ? 1( x ? R)

“议一议”“说一说” 变式二,将上面

y ? x ? 1( x ? R) 改变为
3
2

已知,函数 y ? x ? 1( x ? R) ,问(1)试判断
函数是否存在反函数,为什么?(2)若不存在反函

数,试改造原函数的定义域,构造新的互为反函数?

“评一评” 变式三,已知 f ( x) ? 3x ? 1( x ? R) ,求
?1

f

,下面二种解法,哪一种正确,为什么? (1 ) x
1 x 3 x 3 x 3 y ?1

解法一:

f ( ) ? ?1 ? y ? ? 1 ? x ?
y ? 3x ? 1 ? x ? ? f
?1 1 x

? f ( )?
( x) ?
x ?1 3

?1 1 x

3 x?1

解法二:

y ?1 3

? f

?1

( )?

1 x

? 1 1? x ? 3x 3

5、数形结合,发展能力

课堂练习:
已知 y ? f ( x) 的图象如图,

求 y ? f ( x) 的反函数。 -1
-1

y 1 0 1x

6、归纳小结,形成网络 函数 y ? f ( x)( A ? B) ,反函数 y ? f ( x)(B ? A)
?1

y ? f ( x)
定义域 值域

解出 x

x? f

?1

交换字母 ( y) x、y

y ? f ( x)
x?B

?1

x? A
y?B

y?B

x? A

y? A

反函数的存在条件: 原函数是从定义域到值域的“一 一对应”。

四、说板书设计
版块左 版块右

1.11 反 函 数
函数

例:……

y ? f ( x)
解出x

( A ? B) ,反函数 y

? f ?1 ( x)
x?B

( B ? A)
[解 ]:

y ? f ( x)
定义域

?1 y ? f ( x) x ? f ?1 ( y) 交换字母 x、 y

x? A

y?B

值 域

y?B

x? A

y? A

反函数的存在条件:原函数是从定义域到值域的“一 一以应”。

研究题:原函数若有反函数,且有单调性或奇偶性,那
么它的反函数是否也有相同的性质。

五、说体会

1、要千方百计地在过程的教学中培养学生的创
新意识。师生共同构建概念的过程实是利用旧知识 解决新问题的创新过程,这是培养学生创新精神最 佳的时空。本节课构建概念和构建互为反函数的活 动。形成了二个创新教学的情节,这是课的特色。

2 、实施学生主体教学是素质教育,培养创新精 神的关键。操作上一定要以活动为形式,让学生积极 参与,自我发展,自我完善;充分地展现自己才能, 才能活跃思维,发展思维能力。本节课教师的主导作 用在于“设计问题”、“启迪思维”和“开放度”的 把握,保证了学生有效地学习。

3 、有效地进行课堂教学,必须合理地运用“情
境原理、序进原理、活动原理,反馈原理”。效率高

于一切,有效地教学劳动,这是我孜孜以求的目标。


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