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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:5.1 平面向量的概念及运算


第五章

平面向量

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考纲解读 1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量 的概念. 2.掌握向量的加法和减法.

3.掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.
4.了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念, 掌握平面向量的坐标运算.

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5.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数

量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直
的条件. 6.掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标 公式,掌握平移公式,并且能熟练运用. 7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.

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§5.1 平面向量的概念及运算

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.向量的有关概念 方向 大小 (1)向量:既有_______又有_____的量叫做向量,向量的大小 长度 叫做向量的_______ (或模). 长度为0 任意 (2)零向量:________的向量叫做零向量,其方向是_____的. 1个单位 (3)单位向量:长度等于__________的向量. 相反 相同 非零 (4)平行向量:方向_____或______的______向量,平行向量又 共线向量 叫___________,任一组平行向量都可以移到同一条直线上. 平行 规定:0与任一向量都______. 相等 相同 (5)相等向量:长度______且方向_______的向量.

相等 相反 (6)相反向量:长度_______且方向______的向量.
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2.向量的加法和减法
(1)加法 ①法则:服从三角形法则、平行四边形法则,

②运算性质: b+a a+b=_________ (交换律);
a+(b+c) (a+b)+c=__________ (结合律); a 0+a a+0=_______=____. (2)减法 ①减法与加法互为逆运算; ②法则:服从三角形法则.

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3.实数与向量的积 (1)长度与方向规定如下: |λ||a| ①|λa|=_______; λ>0 ②当_____时,λa与a的方向相同;当_____时,λa与a的方向相 λ<0 0 反;当λ=0时,λa=_______. (2)运算律:设λ、μ∈R,则: (λμ)a λa+μa ①λ(μa)=_______;②(λ+μ)a=_________;

λa+λb ③λ(a+b)=_________.
4.两个向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使 b=λa 得_______.

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思考探究

1.两向量平行与两直线(线段)平行有何不同?
提示:平行向量也叫共线向量,这里的“平行”与两直线(或 线段)平行的意义不同,两向量平行时,两向量可以在同一条 直线上,甚至起点都可以相同.两向量平行时,两向量所在 直线可以平行也可以共线.两直线(线段)平行时,它们所在的

直线一定不会重合,且在平面几何中“平行”具有传递性,
而在平面向量中,平行向量是非零向量时才具有传递性. 2.|a±b|与|a|及|b|之间有什么关系? 提示:根据平行四边形法则,有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
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课前热身
→ → 1. (2011· 高考四川卷)如图, 正六边形 ABCDEF 中, +CD + BA → EF=( ) → → → A.0 B.BE C.AD D.CF

解析:选 D. → → → → 如图,在正六边形 ABCDEF 中,CD =AF,BF=CE, → → → → → → ∴BA+CD +EF=BA+AF+EF → → =BF+EF → → → =CE+EF=CF.

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2.在四边形 ABCD 中, AB=DC,且| AB|=| BC|,那么四 边形 ABCD 为( A.平行四边形 C.长方形 ) B.菱形 D.正方形









答案:B

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3.(2012· 高考四川卷)设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中, a b 使 = 成立的充分条件是( ) |a| |b| A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b 且|a|=|b|

a b 解析:选 C. 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同向的单 |a| |b| a b 位向量,只要 a 与 b 同向,就有 = ,观察选择项易知 C 满 |a| |b| 足题意.
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4.如图所示,

D、E、F 分别是△ABC 三边 BC、CA、AB 的中点, 则DE+EF+DF等于__________.
答案:- AC









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5.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共 线,则λ=________.
1 答案:- 3

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 平面向量的有关概念

向量是区别于数量的一种量,既有大小,又有方向,任意两 个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的 模可以比较大小.向量可以平移,可借助有向线段表示.

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例1

(2013· 天水一中调研)下列命题是假命题的是(

)

A.对于两个非零向量a、b,若存在一个实数k满足a=kb,则 a、b共线 B.若a=b,则|a|=|b| C.若a、b为两个非零向量,则|a+b|>|a-b|

D.若a、b为两个方向相同的向量,则|a+b|=|a|+|b|
【思路分析】 本题从平面向量的共线、模等概念上判定.

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【解析】

A正确,符合向量共线的定义;B正确,相等向量,

模和方向都相同;C错误,|a+b|与|a-b|的大小不确定;当a与b
成锐角或同向时,有|a+b|>|a-b|;当a与b垂直时,有|a+b|=|a

-b|;当a与b成钝角反向时,有|a+b|<|a-b|;D正确.
【答案】 C

【名师点评】

用有向线段或平行四边形的边及对角线体会

向量的模、平行向量、相等向量.
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考点2

向量的加法、减法与数乘

这三种运算,主要是通过几何法则来运算,要转化到平行四 边形或者三角形中. 例2
2 → 如图,△ABC 中, AD = AB,DE∥BC 交 AC 于 E, 3



→ → → BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N.设AB=a, AC=b, 计算 3AE-
BC+MN.





→ 2→ 【思路分析】 充分利用三角形法则及数乘运算, 如AE= AC, 3 1 → MN=- AM. 3
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AD AE 【解】 ∵DE∥BC,∴ = . AB AC → 2 → → 2→ → → 又∵AD = AB,∴AE= AC,∴3AE=2AC, 3 3 1 → → → → BC=2MC, MN=- AM, 3 → → → → → 1→ ∴3AE-BC+MN=2AC-2MC- AM 3 1→ → → → 1→ 5→ =2(AC+CM)- AM=2AM- AM= AM 3 3 3 5 → → 1 5 = (AB+AC)× = (a+b). 3 2 6

【思维总结】

本题的结果就是用已知向量a和b来表示,在

转化过程中利用三角形体现向量加、减法.
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跟踪训练
1.本例条件不变,计算NE+NM.
1→ 1 2→ 1 → → 1 解: NE= DE= × BC= ( AC-AB)= (b-a), 2 2 3 3 3 1 → 1 1 → → 1 NM= AM= × ( AB+AC)= (a+b), 3 3 2 6 1 1 1 1 1 1 ∴NE+NM= b- a+ a+ b= b- a. 3 3 6 6 2 6













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考点3

共线向量

向量共线问题常见的有两种题型:一是根据条件证明三点共
线;二是利用三点共线求参数的值.无论上述哪种题型都离 不开共线向量定理.

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→ → 例3 已知非零向量 e1 和 e2 不共线,如果AB=e1+e2, B C=
2e1+8e2, CD =3(e1-e2),求证:A、B、D 三点共线.
【思路分析】 → AB=λBD . 寻找 A B 与 B D 之间是否存在常数 λ 使









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【证明】 BD =BC+CD =2e1+8e2+3e1-3e2 =5e1+5e2=5(e1+e2)=5AB. → → ∴A B与BD 共线,又AB与BD 有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线.













【思维总结】 公共点.

证明三点共线,转化为向量是否共线,且有

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跟踪训练 → → → 2.如果AB=e1+e2, BC=2e1-3e2, CD=2e1-ke2 且 A、C、
D 三点共线,求 k 的值. → → → 解: AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,
∵A、C、D 三点共线,∴ AC与CD 共线, → → 从而存在实数 λ 使得AC=λCD , 即 3e1-2e2=λ(2e1-ke2), ?3=2λ, ? 由平面向量的基本定理,得? ? ?-2=-λk, 3 4 解得:λ= ,k= . 2 3
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方法感悟
方法技巧 1.向量的三角形法则的应用与推广 (1)向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边 形法则,即把每个向量平移,使它们首尾相连,则由第一个向量的 起点指向最后一个向量的终点的向量就是这些向量的和向量. (2)向量减法的三角形法则的应用,应先平移两个向量使其具有 相同的起点,连结两个终点,方向指向被减向量的终点就是两个 向量的差,可简记为“共起点,连终点,方向指向被减点”.

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2.两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用.一般 地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为 λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后

代入λa即可得到欲求向量.

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失误防范
1.0 与实数 0 有区别,0 的模为数 0,它不是没有方向,而是 方向不定.0 可以看成与任意向量平行. 2.相等向量一定是共线向量,共线向量不一定是相等向量. a 3.与 a 共线的单位向量有两个,它们是± . |a| 4.利用两个向量共线的充要条件解题时,忽视其中“非零向 量”的限制, 会造成不该有的错误, 要注意到零向量的特殊性、 方向的任意性. 5. 利用共线向量定理证明三点共线问题时, 应注意向量共线与 三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得 出三点共线.

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考向瞭望把脉高考
命题预测
关于向量基本概念及其相关的基本理论在高考试题中多以选 择、填空的形式出现,特别是向量加减法的运算及其几何意 义在试题的难易程度上加强了一些,近几年全国的新课程试 卷,要求考生能在深刻理解向量的相关概念及运算的基础上 综合运用,具有一定的创新理念.尤其是向量与三角形的结 合.试题虽小,但巧妙新颖.

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2011年的高考中,四川卷在正六边形中考查向量的线性运算.

山东卷、上海卷等考查了向量的共线等.2012年的高考中,浙
江卷、辽宁卷考查了向量的共线、垂直及模.

预测2014年高考中,对这部分的考查,其题目属基本运算类,
以填空题或选择题的形式出现1个题目,特别是向量的共线的 有关概念或与三角形性质结合的题目,可能性较大.

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典例透析
高考山东卷)设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系 例 (2011· → → → → 中两两不同的四点,若A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2 (μ∈ 1 1 R),且 + =2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2.已知平面上的 λ μ 点 C,D 调和分割点 A,B,则下面说法正确的是( ) A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

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→ → 【解析】 依题意, C,D 调和分割点 A,B,则有AC=λAB, 若 1 1 → → → 1→ AD =μAB, + =2.若 C 是线段 AB 的中点, 且 则有AC= AB, 2 λ μ 1 1 1 1 此时 λ= .又 + =2,所以 =0,不可能成立.因此 A 不对, 2 λ μ μ 同理 B 不对. → → → → 当 C,D 同时在线段 AB 上时,由AC =λAB ,AD =μAB 知 1 1 1 1 0<λ<1,0<μ<1,此时 + >2,与已知条件 + =2 矛盾, λ μ λ μ 因此 C 不对.

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→ → → 若 C,D 同时在线段 AB 的延长线上,则AC=λAB时,λ>1,AD 1 1 → =μAB时,μ>1,此时 + <2, λ μ 1 1 与已知 + =2 矛盾, λ μ 故 C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上.

【答案】

D

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【名师点评】

本题考查了对向量共线的理解及应用、利用所

学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力,求解时应明 → → 确,若点 C 在线段 AB 上,则当AC=λAB时,0<λ<1,而当点 C → → 在线段 AB 的延长线上时,若AC=λAB,则有 λ>1,求解时还 要注意不等式性质及反证法思想的应用.

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知能演练轻松闯关

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