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高中数学抽象函数专题含答案


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抽象函数周期性的探究(教师版)
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式 的函数,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵 活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难 ,所以特 探究一下抽

象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定 义、紧扣函数图象特征,寻找函数的周期,从而解决问题.以下给出几个命题: 命题1: 若a是非零常数, 对于函数y=f(x)定义域的一切x, 满足下列条件之一, 则函数y=f(x) 是周期函数. (1)函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期. (2)函数y=f(x)满足f(x+a)=

1 ,则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期. f ( x)

(3)函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1,则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期. 命题2:若a、b( a ? b )是非零常数,对于函数y=f(x)定义域的一切x,满足下列条件之 一,则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b),则f(x)是周期函数,且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a,x=b对称,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是它的一 个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是它 的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a,及点M(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是它 的一个周期. 命题3: 若a是非零常数, 对于函数y=f(x)定义域的一切x, 满足下列条件之一, 则函数y=f(x) 是周期函数. (1)若f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=a对称,则f(x)是周期函数,且2a 是它的一个周期. (2)若f(x)是定义在R上的奇函数,其图象关于直线x=a对称,则f(x)是周期函数,且4a 是它的一个周期. 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的 任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3(1) ,其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C (2001年全国高考第22题第二问) ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期 ②已知A、C→B ∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)
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∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称 ③已知C、B→A ∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) 又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a) ∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数

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由命题3(2),我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数,则f(

T )=0 2

基于上述命题阐述,可以发现,抽象函数具有某些关系.根据上述命题,我们易得函数周 期,从而解决问题,以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用. 1.求函数值 例1:f(x) 是R上的奇函数f(x)=- f(x+4) ,x∈[0,2]时f(x)=x,求f(2007) 的值 解:方法一 ∵f(x)=-f(x+4) ∴f(x+8) =-f(x+4) =f(x) ∴8是f(x)的一个周期 ∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=-f(1)=-1 方法二∵f(x)=-f(x+4),f(x)是奇函数 ∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称 又∵f(x)是奇函数 ∴8是f(x)的一个周期,以下与方法一相同. 例2: 已知f(x)是定义在R上的函数, 且满足f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x), f(1)=2, 求f(2009) 的值 解:由条件知f(x) ? 1,故 f ( x ? 2) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

? f ( x ? 4) ?

1 ? f ( x ? 2) 1 ?? 1 ? f ( x ? 2) f ( x)

类比命题1可知,函数f(x)的周期为8,故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2 2. 求函数解析式 例3:已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当 x ? ? ?2,0? 时,f(x)=-2x+1, 则当 x ? ? 4,6? 时求f(x)的解析式 解:当 x ? ?0,2? 时 ? x ? [?2,0] ∴f(-x)=2x+1 ∵f(x)是偶函数∴f(-x)=f(x) ∴f(x)=2x+1 当 x ? ? 4,6? 时 ?4 ? x ? [0,2] ∴f(-4+x)=2(-4+x)+1=2x-7 又函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)= f(4-x),类比命题3(1)知函数f(x)的周期为 4 故f(-4+x)=f(x) ∴当 x ? ? 4,6? 时求f(x)=2x-7 3.判断函数的奇偶性 例4: 已知f(x)是定义在R上的函数, 且满足f(x+999)= ?
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1 , f(999+x)=f(999-x), 试 f ( x)
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判断函数f(x)的奇偶性. 解:由f(x+999)= ?

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1 ,类比命题1可知,函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x); f ( x)

由f(999+x)=f(999-x)知f(x)关于x=999对称,即f(-x)=f(1998+x) 故f(x)=f(-x) ? f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性 例5:已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当 x ? ? ?2,0? 时,f(x)是减函数, 求证当 x ? ? 4,6? 时f(x)为增函数 解:设 4 ? x1 ? x2 ? 6 则 ?2 ? ? x2 ? 4 ? ? x1 ? 4 ? 0 ∵ f(x)在[-2,0]上是减函数∴ f (? x2 ? 4) ? f (? x1 ? 4) 又函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)= f(4-x),类比命题3(1)知函数f(x)的周期为 4 故f(x+4)=f(x) ∴ f (? x2 ) ? f (? x1 ) 故当 x ? ? 4,6? 时f(x)为增函数 例6:f(x)满足f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若f(a) =-f(2000),a∈[5,9]且f(x) 在[5,9]上单调.求a的值. 解:∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于(3,0)对称 ∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称 ∴根据命题2(4)得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5, 9]且f(x)在[5, 9]上单调∴a =6 5.确定方程根的个数 例7:已知f(x)是定义在R上的函数,f(x)= f(4-x),f(7+x)= f(7-x),f(0)=0, 求在区间[-1000,1000]上f(x)=0至少有几个根? 解:依题意f(x)关于x=2,x=7对称,类比命题2(2)可知f(x)的一个周期是10 故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在区间(0,10]上,方程f(x)=0至少两个根 又f(x)是周期为10的函数,每个周期上至少有两个根, 因此方程f(x)=0在区间[-1000,1000]上至少有1+2 ? ∵ f(-x)=f(x) ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 )

2000 =401个根. 10

两类易混淆的函数问题:对称性与周期性
刘云汉

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例 1. 已知函数 y= f(x) (x∈R)满足 f(5+x)= f(5-x) ,问:y= f(x)是周期函数吗? 它的图像是不是轴对称图形? 例 2. 已知函数 y= f(x) (x∈R)满足 f(5+x)= f(5-x) ,问:y= f(x)是周期函数吗? 它的图像是不是轴对称图形? 这两个问题的已知条件形似而质异。 有的同学往往把它们混为一谈, 从而得出错误的结论。 为了准确地回答上述问题,必须掌握以下基本定理。 定理 1:如果函数 y= f(x) (x∈R)满足 f(5+x)= f(5-x) ,那么 y= f(x)的图像关于直 线 x ? a 对称。 证明:设点 P x0 ,y0 是 y= f(x)的图像上任一点,点 P 关于直线 x=a 的对称点为 Q, 易知,点 Q 的坐标为 2a ? x0 ,y0 。 因为点 P x0 ,y0 在 y= f(x)的图像上,所以 f ( x0 ) ? y0 于是 f ?2a ? x0 ? ? f a ? ?a ? x0 ? ? f a ? ?a ? x0 ? ? f ? x0 ? ? y0 所以点 Q 2a ? x0 ,y0 也在 y= f(x)的图像上。 由 P 点的任意性知,y= f(x)的图像关于直线 x=a 对称。

?

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定理 2:如果函数 y= f(x) (x∈R)满足 f(a+x)= f(b-x) ,那么 y= f(x)的图像关于直 线x ?

a ?b 的对称。 2

证明: (略) (证明同定理 1)

定理 3:如果函数 y= f(x) (x∈R)满足 f(x+a)= f(x-a) ,那么 y= f(x)是以 2a 为周 期的周期函数。 证明:令 x ? a ? x' ,则 x ? x'?a,x ? a ? x'?2a 代入已知条件 f ? x ? a? ? f ? x ? a? 得: f ? x'?2a? ? f ? x'? 根据周期函数的定义知,y= f(x)是以 2a 为周期的周期函数。

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定理 4:如果函数 y= f(x) (x∈R)满足 f ? x ? a? ? f ? x ? b? ,那么 y= f(x)是以 a ? b 为 周期的周期函数。 证明: (略) (证法同定理 3) 由以上的定理可知,在已知条件 f ?a ? x? ? f ?b ? x? 或 f ? x ? a? ? f ? x ? b? 中,等式两 端的两自变量部分相加得常数,如 ?a ? x? ? ?b ? x? ? a ? b ,说明 f ( x ) 的图像具有对称性, 其对称轴为 x ?

a ?b 。 2

等式两端的两自变量部分相减得常数,如 ? x ? a? ? ? x ? b? ? a ? b ,说明 f(x)是周期 函数,其周期 T=a+b。 容易证明:定理 1、2、3、4 的逆命题也是成立的。 牢牢掌握以上规律,则例 1、例 2 迎刃而解。 例 1 中, ?5 ? x? ? ?5 ? x? ? 10 ,因此 f(x)的图像关于直线 x=5 对称。由这个已知条件 我们不能判定 f(x)是周期函数。 例 2 中, ? x ? 5? ? ? x ? 5? ? 10 ,因此 f(x)是周期函数,其周期 T=10。由这个已知条件 我们不能判定它是轴对称图形。

例 3. 若函数 f(x)=x2+bx+c 对于任意实数 t 均有 f(3+t)= f(1-t) ,那么( A. f(2)< f(1)< f(4) C.f(2)< f(4)< f(1) B. f(1)< f(2)< f(4) D. f(4)< f(2)< f(1)



解析:在 f(3+t)= f(1-t)中(3+t)+f(1-t)=4 所以抛物线 f(x)=x2+bx+c 的对称轴为 x=2 作示意图如图 1,可见,应选 A。

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图1

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例 4. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x-2)=- f(x) ,给出下列四个结论: ①f(2)=0; ②f(x)是以 4 为周期的函数; ③f(x)的图像关于直线 x=2 对称; ④f(x+2)=f(- x) 其中所有正确命题的序号是___________。 解析 1: (1)因为 y= f(x) (x∈R)是奇函数,所以 f(-x)=- f(x) 令 x=0,得 f(-0)=-f(0)

? f (0) ? f (0) ? 0,2 f (0) ? 0
所以 f(0)=0 又已知 f(x-2)=- f(x) 令 x=2,得 f(0)=- f(2) 所以 f(2)=- f(0)=0 故①成立。 (2)因为 f(x-2)=- f(x) ,所以

f ( x ) ? ? f ? x ? 2? ? ? ? f ?? x ? 2? ? 2? ? f ? x ? 4?
由 x-(x-4)=4(两自变量相减得常数) 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数。 故②成立。 (3)由 f(x+2)= f(-x)得: (x+2)+(-x)=2(两自变量相加得常数) 所以 f(x)的图像关于直线 x=1 对称。而不是关于直线 x=2 对称。 故③是错误的。 (4)由(2)知,f(x)应满足 f(x+2)= f(x-2) 而 f(x-2)=-f(x) 所以 f(x+2)= -f(x)= f(-x) 故④成立。

?

?

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综上所述,应填①②④。 解析 2:根据题设条件,构造出函数 f ( x ) 的图像如图 2。

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图2 由图可见,①②④正确,而③不正确。

例 5. 函数 y ? log 2 ax ? 1 ?a ? 0? 的图像关于直线 x=2 对称,则 a=___________。 解析:因为函数 y ? log 2 ax ? 1 ?a ? 0? 的图像关于直线 x=2 对称 所以有 log 2 a?2 ? x? ? 1 ? log2 a?2 ? x? ? 1 (定理 1 的逆定理)

? a ? 2 ? x ? ? 1 ? a ?2 ? x ? ? 1 ? 2a ? ax ? 1 ? ??2a ? ax ? 1?
? a ? 0 (与题设矛盾,舍去)或 a ?
所以 a ?

1 2

1 。 2

例 6. 设 f(x)是 R 上的奇函数,又 f(x)的图像关于直线 x=a 对称。问函数 y= f(x)是 不是周期函数?如果是,求出它的一个周期。 解:因为 f(x)的图像关于直线 x=a 对称 由定理 1 的逆定理知:f(a+x)= f(a-x) 用 a-x 代换上式中的 x,得:f(2a-x)= f(x) 再用-x 代换 x,得:f(2a+x)= f(-x) 再用 2a+x 代换 x,得: <1>

f ???2a ? x?? ? f ?4a ? x?
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又 f(x)为奇函数,即 ? f ?2a ? x? ? f ?4a ? x? 由<1><2>得: ? f ?? x? ? f ?4a ? x? 即 f(x)= f(x+4a)

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?2?

根据周期函数的定义,f(x)是周期函数,且 T=4a 是它的一个周期。

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