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广东省实验中学09-10学年高二上学期期中考试(数学理)


广东实验中学 09-10 学年高二上学期模块考试 数
命题:杨庆元

学(理)
审定:翁之英 校对:杨庆元

本试卷分第一部分(模块基础)和第二部分(综合)两部分, 本试卷分第一部分(模块基础)和第二部分(综合)两部分,共 4 页,满分 150 分, 分钟。 考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分(共 100 分)
一.选择题: 每小题 5 分,共 50 分) 选择题: (每小题 ( 1.在程序框图中表示判断功能的是: ( )

A.

B.

C.

D.

2. 某高校为了解学生家庭经济收入情况,从来自城镇的 150 名学生和来自农村的 150 名学生 中抽取 100 名学生的样本;②某车间主任从 100 件产品中抽取 10 件样本进行产品质量检 验. 若记 I. 随机抽样法; Ⅱ. 分层抽样法. 则上述两问题和两方法配对正确的是 A.①配 I,②配Ⅱ B. ①配Ⅱ,②配Ⅰ C.①配 I,②配 I 3. 如果右边程序执行后输出的结果是 132,那么在程序 UNTIL 后面的“条件”应为( A. i > 11 4. 下列说法: ①必然事件的概率为1. ②如果某种彩票的中奖概率为 ③某事件的概率为 1.1 . ④互斥事件一定是对立事件. ⑤在适宜的条件下种下一粒种子,观察它是否发芽,这个试验为古典概型. 其中正确的说法是 A.①②③④ B.① C.③④ D.①⑤ ( )
1 10





D.①配Ⅱ,②配Ⅱ

) C. i <=11 D.i<11

B. i >=11

,那么买1000张这种彩票一定能中奖.

5. 在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中摸出 3 个球,至
-1-

少摸到 2 个黑球的概率等于 A.

2 7

B.

3 8

C.

3 7

D.

9 28

6.已知在函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续且 f ( a ) f (b) < 0 , 用二分法求方程 f ( x ) = 0 精确到 δ 时的解所用的程序如下: Input a,b,δ ____ x0 = “

a+b 2

if f (a ) f ( x0 ) < 0

then b = x0 else a =x0 end if
的两个“_____”处应该填 A. When ; Do B. While ; Do

____ abs (a ? b) ≤ δ

Pr int" x = ", a


end if “中


C. Do ; Loop Until

D.以上均不对

7. 甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计如右面的茎叶图所示,若甲、乙两人的平均 成绩分别是 X 甲、X 乙,则下列结论正确的是( A.X 甲<X 乙;乙比甲成绩稳定 B.X 甲>X 乙;甲比乙成绩稳定 C.X 甲>X 乙;乙比甲成绩稳定 D.X 甲<X 乙;甲比乙成绩稳定 8. 在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos A. )

πx
2

的值介于 0 到 C.

1 3

B.

2

π

1 2

1 之间的概率为( 2 2 D. 3

).

9. 甲组有 5 名男同学、3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学,若从甲、乙两组中各 选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 A.150 种 B. 180 种 C. 300 种 D. 345 种 ( D.19 )

10.若 (1 + 2) 4 = a + b 2( a, b 为有理数) ,则 a + b = w.w.wA.33 B. 29 C.23

二.填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 填空题: 11. 某市纺织工人的月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为 y=50+80x,则 当劳动生产率提高 1000 元时,月工资提高约为_______________. 12. 将一个正方形各边三等分,然后如图连线,在图 中的 16 个点中任取三个,这三点能构成三角形的 概率是 (结果用分数表示) .

13. 8251 与 9287 的最大公约数为__________.

-2-

14. 某人有 3 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多) ,要在如图 所示的 6 个点 A、B、C、A1、B1、C1 上各安装一个灯泡,要求同 一条线段两端的灯泡不同色,则不同的安装方法共有 (用数字作答). 种

三.解答题:(共 30 分) 解答题: 15. (本题满分 10 分) 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均 为 整 数 ) 分 成 六 段

[40,50)


频频 组组

[50,60) … [90,100] 后画出如下部分频率分布
直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求第四小组的频率,并补全这个频率分 布直方图; (Ⅱ)估计这次考试的及格率(60 分及以上为 及格)和平均分; (Ⅲ) 从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学 生中选两人,求他们在同一分数段的概率.

0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分分

16.(本题满分 10 分) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 均未命中的概率为

1 与 p ,且乙投球 2 次 2

1 . (Ⅰ)求乙投球的命中率 p ; 16

(Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命

中 1 次的概率; (Ⅲ)若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 2 次的概率.

17. (本题满分 10 分) 已知数列 {a n } (n 为正整数)是首项是 a1,公比为 q 的等比数列. (1)求和: a1C 2 ? a 2 C 2 + a3 C 2 , a1C 3 ? a 2 C 3 + a3 C 3 ? a 4 C 3 ;
0 1 2 0 1 2 3

(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明. (3)设 q≠1,Sn 是等比数列 {a n } 的前 n 项和,求:
0 1 2 3 n S1C n ? S 2 C n + S 3C n ? S 4 C n + K + (?1) n S n +1C n

-3-

第二部分( 第二部分(共 50 分)
四、填空题(共 10 分) 填空题(
18.在给定的圆周上取定 6 个点,每两个点连成一个线段,其中任意两条不平行,任意三条 不共点,则这些线段确定的圆上或圆内三角形个数为___________.

19.阅读右图的程序框图,若输入 m = 4 , n = 6 , 则输出 a = ,i = (注:框图中的赋值 符号“ = ” 也可以写成“ ← ”或“ := ” )

五.解答题(共 40 分) 解答题(
20.(本题满分 10 分) 设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , ?4 sin β ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值; (2)求 | b + c | 的最大值; 21(本题满分 10 分) 已知过点 A (0, , 1) 且方向向量为 a = (1, k )的直线l与C : ( x ? 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 1 , 相交于 M、 N 两点.(1)求实数 k 的取值范围; (2)求证: AM ? AN = 定值 ;

r

r

r

r

r

r

r r

(3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b .

r

r

r

uuuu uuur r

(3)若 O 为坐标原点,且 OM ? ON = 12, 求k的值 . 22.(本题满分 10 分) 已知数列 an } , an =

uuuu uuur r

{

αn ? βn 2 (n=1,2,…),其中 α , β 为方程 x ? x ? 1 = 0 的两个根。 α ?β

(1)证明:对于任意正整数 n ,都有 an + 2 = an +1 + an ; (2)证明:数列 an } 中任意相邻两项都互质(最大公约数为 1) ; (3)若 α > β ,设 S n =

{

∑ (1 ? a
k =1

n

ak
k +1

)

1 (n = 1, 2,...) 。证明: 0 ≤ S n < 2 。 ak +1

-4-

广东实验中学 2009—2010 学年(上)高二级模块考试·数学(理)

答案及说明
一、选择题: DBDBA CAADB 填空题: 11. 80元 ;

12.

129 ; 13. 37; 140

14.

12;

15. 解: (Ⅰ)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率:

频频 组组

f 4 = 1 ? (0.025 + 0.015 ? 2 + 0.01 + 0.005) ?10 = 0.3
直方图如右所示 (Ⅱ)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为 (0.015 + 0.03 + 0.025 + 0.005) ?10 = 0.75
0.03 0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分分

所以,抽样学生成绩的合格率是 75 %利用组中值估算抽样学生的平均分

45 ? f1 + 55 ? f 2 + 65 ? f 3 + 75 ? f 4 + 85 ? f 5 + 95 ? f 6
= 45 × 0.1 + 55 × 0.15 + 65 × 0.15 + 75 × 0.3 + 85 × 0.25 + 95 × 0.05 =71 估计这次考试的平均分是 71 分。 (Ⅲ) [70, 80) , [80, 90) , [90, 100] ”的人数是 18,15,3。所以从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,他们在同一分数段的概率。

P=

2 2 C18 + C15 + C32 29 = 2 C36 70

16.解: (Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B.

1 1 1 ,于是 P ( B ) = 或 P ( B ) = ? (舍去) , 16 4 4 3 3 故 p = 1 ? P ( B ) = .所以乙投球的命中率为 4 4 1 1 (Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知 P ( A) = , P A = .故甲投球 2 次至少命中 1 次 2 2 3 的概率为 1 ? P A ? A = 4 1 1 3 1 (Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知, P ( A) = , P A = , P (B ) = , P B = 2 2 4 4
由题意得 P ( B ) P ( B ) =

()

(

)

()

()

甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次, 乙两次均不中; 甲两次均不中, 乙中 2 次。 概率分别为 C 2 P ( A)P A ? C 2 P (B )P B =
1 1

()

()

P ( A ? A)P B ? B =

(

)

1 9 , P A ? A P(B ? B ) = 64 64

(

)

3 , 16

-5-

所以甲、乙两人各投两次,共命中 2 次的概率为 17.解: (1)由题设可知 an = a1q
3
n ?1

3 1 9 11 + + = . 16 64 64 32

,故∴

∑C
k =0

2

k 2 1

a (? q )k = a1 (1 ? q ) 2 ,

, ∑ C3k a1 (? q ) k = a1 (1 ? q )3 。
k =0 n

(2)

∑ (?1)
k =0 n

k

ak +1Cnk = a1 (1 ? q ) n ,将 an = a1q n ?1 代入左边可得:
n

∑ (?1)k ak +1Cnk = a1 ∑ Cnk (?q)k ?1n?k = a1 (1 ? q)n
k =0 k =0

(3) q≠1 时,S n = 当

n a1 a n (1 ? q n ) , ∑ C nk (?1) k S k +1 = 1 ∑ C nk (?1) k (1 ? q k +1 ) 故 1? q 1 ? q k =0 k =0

=

n a1 ? n k a ? C n (?1) k ? q ∑ C nk (?1)k q k ? = 1 ( 0 ? q (1 ? q ) n ) = ? a1q (1 ? q )n ?1 ?∑ 1 ? q ? k =0 k =0 ? 1? q

18.111 ;

简解:约定在圆周上的点称为界点,在圆内的点称为内点。 这样我们将这些三角形按顶点分成分成如下几类: 1.三个顶点都是内点: 6 C
6


4

2.三个顶点都是界点: 6 C
5

3

3.两个界点,一个内点: 6 ? 4; 4.一个界点,两个内点: 6 ? 5 C C

19. 12;3; 20.解:

-6-

21. 解: (1)Q直线l过点(0,1)且方向向量a = (1, k ), ∴ 直线l的方程为y = kx + 1

r

k +1 ( 2 ) 设C的一条切线为AT ,T 为切点,则AT 2 =7 uuuu uuur uuuu uuur r r uuuu uuur r ∴ AM ? AN = AM AN cos 0° = AT 2 = 7 ∴ AM ? AN为定值.
2



2k ? 3 + 1

< 1, 得

4? 7 4+ 7 <k< . 3 3

(3)设M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

将y = kx + 1代入方程(x-2)2 +(y-3)2 =1得 4(1+k ) 7 , x1 x2 = 2 1+ k 1+ k 2

(1+k 2 )x2 -4(1+k )x+7=0 ,∴ x1 +x2 =

uuuu uuur r 将上式代入OM ? ON = x1 x2 + y1 y2 = 12 解得k = 1 又当k = 1时, ? > 0,∴ k = 1 .

22. 证明: (1)由题意可得 α + β = 1, αβ = ?1 ,故 (α n +1 ? β n +1 ) + (α n ? β n ) =

(α n +1 ? β n +1 )(α + β ) + (α n ? β n ) = (α n + 2 ? β n + 2 ) + αβ (α n ? β n ) + (α n ? β n ) = α n + 2 ? β n + 2 ,故命题成立。
(2)由(1)以及 a1 = a2 = 1 可知 an ∈ N ,对于任意相邻两项 an , an +1 设其最大公约数为
*

d ,则有 d = (an , an +1 ) = (an , an +1 ? an ) = (an , an ?1 ) = ...(a2 , a1 ) = (1,1) = 1 。
故命题成立。 (3)当 α > β 时由 α + β = 1, αβ = ?1 知 α >| β | ,故当 n ≥ 1 时,有 α n ?1 ? β n ?1 > 0 故 an +1 ? an =

(α n +1 ? β n +1 ) ? (α n ? β n ) (α n +1 ? β n +1 ) ? (α n ? β n )(α + β ) = α ?β α ?β

=

?αβ (α n ?1 ? β n ?1 ) α n ?1 ? β n ?1 = ≥ 0 ,故 1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... 。 α ?β α ?β

所以 0 ≤ S n =

∑ (1 ?
k =1

n

n ak a 1 1 1 ) = ∑( ? ) k ak +1 ak +1 k =1 ak ak +1 ak +1

-7-

n ? n ? a ak a ? 1 1 1 ? 1 1 1 = ∑? k ( + )?( ? ) = ∑? + k )?( ? ) ? a ? ? a ? ak +1 ? ak ak ak +1 ? ak ak +1 ak +1 k =1 ? k =1 ? k +1 k +1

≤ 2∑ (
k =1

n

1 1 1 ? ) = 2(1 ? )<2 ak ak +1 an +1
故命题成立。

-8-

-9-


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