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2014届四川省成都七中高三二诊模拟考试文科数学试题


成都七中高 2014 届高三二诊数学模拟考试(文科)
考试时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知复数 z = A. 1 - i

2i ,则 z 的共轭复数 z 是() 1+ i B. 1 + i C. i
N

D. - i

2.设全集是实数集 R, M = {x|-2 ? x ? 2} , N = {x| x < 1} ,则 (C R M ) I N = () A. {x| x < -2} B. {x|-2 < x < 1} C. {x| x < 1} D. {x|-2 ? x < 1}

3.正项等比数列 {a n } 中,若 log 2 ( a2 a98 ) = 4 ,则 a40 a60 等于() A.-16 B. 10 C. 16 D.256 4.某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的函数是 () A. f ( x) = x 2 C. f ( x) = e x B. f ( x) =

1 x

D. f ( x) = sin x

5. 已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点, 过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点,若 DABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是()

A.

2 2

B.

2 3

C.

3 3

D.

3 2

ì x ? 1, y -1 ? 6. 实数 x 、 y 满足 í y ? 0, 的取值范围是() 则z= x ? x - y ? 0, ?
A. [-1,0] B. ( -∞,0] C. [-1,+∞ ) D. [-1,1 )

7.已知 m, n 是不重合的直线, a , b 是不重合的平面,有下列命题: ①若 m ? a , n ∥ a ,则 m ∥ n ; ②若 m ∥ a , m ∥ b ,则 a ∥ b ; ③若 a I b = n , m ∥ n ,则 m ∥ a 且 m ∥ b ; ④若 m ^ a , m ^ b ,则 a ∥ b 其中真命题的个数是 A.0 B.1 ( ) C.2 D.3
第 1 页 共 8 页

8.设 a > 0, b > 0, 则以下不等式中不 恒成立的是 .... A. ( a + b)(
2 2


3 2



1 1 + )?4 a b

B. a + b ? 2ab
3

C. a + b + 2 ? 2a + 2b

D. | a - b | ?

a- b

9.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( 2 - x) 为奇函数,函数 f ( x + 3) 关于直线 x = 1 对称, 则 函数 f ( x) 的最小正周期为() A.4 B.8 C. 12 D.16 10.在平面直角坐标系中,已知三点 A( m, n), B ( n, t ), C (t , m) ,直线 AC 的斜率与倾斜角为 钝角的直 线 AB 的斜率之和为 且与抛 物线交于 P、Q 两点(P 在 Y 轴左侧) 。则 B. 4

5 ,而直线 AB 恰好经过抛物线 x 2 = 2 p ( y - q ), ( p > 0 )的焦点 F 并 3 PF = () QF
173 2
D.

A.9

C.

21 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11、把命题“ $x0 ? R, x0 - 2 x0 + 1 < 0 ”的否定写在横线上 12、 12、一个空间几何体的三视图如图所示,其正视图、侧视图、 俯视图均为等腰直角三角形,且直角边长都为 1,则这个几 何体的体积是
2

正视图

侧视图

ì4 x - 4 , 13. 设函数 f ( x) = í 2 ?x - 4x + 3 ,

x ? 1, x > 1,

俯视图 则函数 g ( x) = f ( x) - log 4 x 的零点个数为 个

14. 过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 | AB | 等于 15、O 是面 a 上一定 点, A、B、C 是面 a 上 DABC 的三个 顶 点, ?B, ?C 分别 是 边

AC , AB 对应的角。以下命题正确的序号是

第 2 页 共 8 页

①动点 P 满足 OP = OA + PB + PC ,则 DABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合中。 ②动点 P 满足 OP = OA + l ( 集合中。 ③动点 P 满足 OP = OA + l ( 条件的 P 点集合中。 ④动点 P 满足 OP = OA + l ( 条件的 P 点集合中。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分)等比数列 {an } 中,已知 a1 = 2, a4 = 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 Sn 。
w.w.w.k.s. 5.u.c. o.m

AB AB

+

AC AC

)(l > 0) , 则 DABC 的内心一定在满足条件的 P 点

AB AB sin B AB AB cos B

+

AC AC sin C AC

)(l > 0) ,则 DABC 的重心一定在满足

+

AC cos C

)(l > 0) , 则 DABC 的垂心一定在满足

17. (本小题满分 12 分)已知向量 a = (1 + cos w x,1) , b = (1, a + 3 sin w x) ( w 为常数且 , w >0) 函数 f ( x) = a × b 在 R 上的最大值为 2 . (Ⅰ)求实数 a 的值; ( Ⅱ ) 把 函数 y = f ( x) 的图 象 向 右平 移

r

r

p y = g ( x) 在 [0, ] 上为增函数,求 w 取最大值时的单调增区间. 4

p 个 单 位 ,可 得 函数 y = g ( x) 的图 象 ,若 6w

第 3 页 共 8 页

18、如图,三棱柱 ABC - A1 B1C1 中, CA = CB , AB = AA1 , ?BAA1 = 60o . (Ⅰ)证明: AB ^ A1C ; (Ⅱ)若 AB = CB = 2 , A1C =

C
6 ,求三棱柱 ABC - A1 B1C1 的体积.

C1 B1 A1

B A

19、从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1).根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2). 用 分 层抽样 的 方法从 重 量 在 [80,85) 和 [95,100) 的 苹果 中共 抽 取 4 个 , 其中重 量 在

[80,85) 的有几个?
(3).在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率.

20、 (本题满分 13 分)已知椭圆 C:

x2 y2 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )的短轴长为 2,离心率为 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的方程 (2)若过点 M (2,0) 的引斜率为 k 的直线与椭圆 C 相交于两点 G、 H, 设 P 为椭圆 C 上一点, 且满足 OG + OH = t OP (O 为坐标原点) ,当 PG - PH <

2 5 时,求实数 t 的取值范围? 3

21、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) = x - 1 +

a ( a ? R , e 为自然对数的底数). ex

(1)若曲线 y = f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的极值; (3)当 a = 1 的值时,若直线 l : y = kx - 1 与曲线 y = f ( x ) 没有公共点,求 k 的最大值. (注:可能会用到的导数公式: (e - x ) / = -e - x ; ( xe x ) / = ( x + 1)e x )

第 4 页 共 8 页

成都七中高 2014 届高三二诊数学模拟考试答案(文科)
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. A A C D C D B B B A 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11. "x ? R, x 2 - 2 x + 1 ? 0 12、

1 6

13.3

14.8

15.②③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 = 2q 3 ,解得 q = 2 ,所以 an = 2 ………………(5 分)
n

(Ⅱ)由(I)得 a2 = 8 , a5 = 32 ,则 b3 = 8 , b5 = 32 设 {bn } 的公差为 d ,则有 í

ìb1 + 2d = 8 ìb1 = -16 解得 í ?d = 12 ?b1 + 4d = 32

从而 bn = -16 + 12( n - 1) = 12n - 28

n(-16 + 12n - 28) = 6n 2 - 22n ………(12 分) 2 p 17.解: (Ⅰ) f ( x) = 1 + cos w x + a + 3 sin w x = 2sin(w x + ) + a + 1 …………………(3 6
所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n = 分) 因为函数 f ( x) 在 R 上的最大值为 2 ,所以 3 + a = 2 故 a = -1 …………………(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x) = 2sin(w x + 把函数 f ( x) = 2sin(w x +

p p ) 的图象向右平移 个单位, 6 6w

p ) 6

可得函数 y = g ( x) = 2sin w x …………………(7 分)

p 2p ] 上为增函数\ g ( x) 的周期 T = ? p 即w ? 2 4 w 所以 w 的最大值为 2 …………………(10 分) p p 此时单调增区间为 [ kp - , kp + ], k ? Z …………………(12 分) 4 4
又Q y = g ( x) 在 [0, 18、解:(I)取 AB 的中点 O ,连接 OC O 、 OA1O 、 A1 B , 因为 CA=CB,所以 OC ^ AB ,由于 AB = AA1 , ?BAA1 = 60o ,故 DAA1 B 为等边三角形,

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所以 OA1 ^ AB , 因为 OC I OA1 = O , 所以 AB ^ 平面 OA1C .又 A1C ? 面OA1C ,故 AB ^ AC. …………(6 分) (II)由题设知

DABC与DAA1 B都是边长为2的等边三角形, AA1 B都是边长为2的等边三角形,所以 OC = OA1 = 3, 又A1C = 6,则A1C 2 + OA12,故OA1 ^ OC. 因为OC I AB = O, 所以OA1 ^ 平面ABC,OA1为棱柱ABC -A1 B1C1的高, 又DABC的面积SV ABC = 3,故三棱柱ABC-A1 B1C1的体积V =SV ABC ? OA1 = 3. … … ( 12
分) 19、解:(1)重量在 [90,95 ) 的频率 =

20 = 0.4 ; …………(3 分) 50

(2) 若采用 分层抽样 的方法从 重量 在 [80,85) 和 [95,100 ) 的 苹果 中共抽 取 4 个 ,则重量 在

[80,85) 的个数 =

5 ? 4 = 1 ; …………(6 分) 5 + 15

(3)设在 [80,85) 中抽取的一个苹果为 x ,在 [95,100 ) 中抽取的三个苹果分别为 a, b, c ,从抽 出的 4 个 苹果 中 , 任 取 2 个共有 ( x, a ), ( x, b), ( x, c), ( a, b), ( a, c), (b, c) 6 种情况 , 其中 符 合 “ 重 量 在 [80,85) 和 [95,100 ) 中 各 有 一个 ”的 情况 共有 ( x, a ), ( x, b), ( x, c) 种 ; 设 “ 抽出的

4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100 ) 中各有一个”为事件 A ,则事件 A 的
概率 P ( A) =

3 1 = ;…………(12 分) 6 2

x2 + y 2 = 1 ………………………(3 分) 2 1 2 (2)设直线 y = k ( x - 2) ,联立椭圆, D > 0, 得 k < ,………………………(5 分) 2 2 5 2 5 1 2 条件 PG - PH < 转换一下一下就是 GH < , 根据弦长公式, 得到 k > 。 …… 3 3 4
20、解: (1) (7 分) 然后把 OG + OH = t OP 把 P 点的横纵坐标用 t , x1 , x2 表示出来,设 G ( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ) , 其 中 要 把 y1 , y2 分 别 用 直 线 代 换 , 最 后 还 要 根 据 根 系 关 系 把 x1 , x2 消 成 k , 得
第 6 页 共 8 页

P(

8k 2 - 4k , ) (9 分) 2 t (1 + 2k ) t (1 + 2k 2 )
2

16k 2 然后代入椭圆,得到关系式 t = ,………………………(11 分) 1 + 2k 2 16 2 6 2 6 1 1 2 2 )U( ,根据 < k < 利用已经解的范围得到 (-2,,2) ……… 所以 t = 1 4 2 3 3 +2 k2
(13 分) 21.解:(Ⅰ)由 f ( x ) = x - 1 +

a a ,得 f ? ( x ) = 1 - x . x e e

又曲线 y = f ( x ) 在点 1, f (1) 处的切线平行于 x 轴, 得 f ? (1) = 0 ,即 1 (Ⅱ) f ? ( x ) = 1 -

(

)

a = 0 ,解得 a = e . e

a , ex

①当 a ? 0 时, f ? ( x ) > 0 , f ( x ) 为 ( -?, +? ) 上的增函数,所以函数 f ( x ) 无极值. ②当 a > 0 时,令 f ? ( x ) = 0 ,得 e x = a , x = ln a .

x ? ( -?, ln a ) , f ? ( x ) < 0 ; x ? ( ln a, +? ) , f ? ( x ) > 0 .
所以 f ( x ) 在 ( -?, ln a ) 上单调递减,在 ( ln a, +? ) 上单调递增, 故 f ( x ) 在 x = ln a 处取得极小值,且极小值为 f ( ln a ) = ln a ,无极大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极小值; 当 a > 0 , f ( x ) 在 x = ln a 处取得极小值 ln a ,无极大值. (Ⅲ)当 a = 1 时, f ( x ) = x - 1 +

1 ex 1 , ex

令 g ( x ) = f ( x ) - ( kx - 1) = (1 - k ) x +

则直线 l : y = kx - 1 与曲线 y = f ( x ) 没有公共点, 等价于方程 g ( x ) = 0 在 R 上没有实数解. 假设 k > 1 ,此时 g ( 0 ) = 1 > 0 , g ?

1 ? 1 ? ÷ = -1 + 1 < 0 , è k -1 ? e k -1

又函数 g ( x ) 的图象连续不断,由零点存在定 理,可知 g ( x ) = 0 在 R 上至少有一解 ,与

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“方程 g ( x ) = 0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k ? 1 . 又 k = 1 时, g ( x ) =

1 > 0 ,知方程 g ( x ) = 0 在 R 上没有实数解. ex

所以 k 的最大值为 1 . 解法二: (Ⅰ)(Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)当 a = 1 时, f ( x ) = x - 1 +

1 . ex

直线 l : y = kx - 1 与曲线 y = f ( x ) 没有公共点, 等价于关于 x 的方程 kx - 1 = x - 1 +

1 在 R 上没有实数解,即关于 x 的方程: ex

( k - 1) x =

1 ex

(*)

在 R 上没有实数解. ①当 k = 1 时,方程(*)可化为

1 = 0 ,在 R 上没有实数解. ex 1 ②当 k ? 1 时,方程(*)化为 = xe x . k -1
x x

令 g ( x ) = xe ,则有 g ? ( x ) = (1 + x ) e . 令 g ? ( x ) = 0 ,得 x = -1 , 当 x 变化时, g ? ( x ) 的变化情况 如下表:

x
g? ( x ) g ( x)
当 x = -1 时, g ( x ) min = -

( -?, -1)
]

-1

( -1, +? )
+
Z

0
1 e

1 ,同时当 x 趋于 +? 时, g ( x ) 趋于 +? , e ? ?

从而 g ( x ) 的取值范围为 ê - , +? ÷ .

é 1 ? e

所以当

1 1? ? ? ? -?, - ÷ 时,方程(*)无实数解, 解得 k 的取值范围是 (1 - e,1) . k -1 è e?

综上,得 k 的最大值为 1 .

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