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2012年高考文科数学解析分类汇编:


第一章
【知识概要】

集合与常用逻辑用语知识结构

一、集合的概念、关系与运算 ●1. 集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. 在应用集合的概念求解集合问题时,要特别注意这 三个性质在解题中的应用,元素的互异性往往就是检验的重要依椐。 ●2. 集 合 的 表 示 方 法 : 列 举 法 、 描 述 法 . 有 的 集 合 还

可 用 Venn 图 表 示 , 用 专 用 符 号 表 示 , 如
N , N? , N , Z , R, Q, 等。 ? ?

●3. 元素与集合的关系:我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,若元素 x 是集 合 A 的元素,则 x? A ,否则 x? A 。 ●4. 集合与集合之间的关系: ①子集:若 x? A ,则 x?B ,此时称集合 A 是集合 B 的子集,记作 A? B 。 ②真子集:若 A? B ,且存在元素 x?B ,且 x? A ,则称 A 是 B 的真子集,记作:A ? B. ? ③相等:若 A? B ,且 A ? B ,则称集合 A 与 B 相等,记作 A=B.。 ●5. 集合的基本运算: ①交集: AI B ??x x? A且x?B? ②并集: AUB ?{x x? A或x?B}

③补集: CU A ?{x| x?U , 且x? A} ,其中 U 为全集, A?U 。 ●6. 集合运算中常用结论: ① AI A? A , AI ? ?? , AI B ? BI A , AI B ? A? A? B 。 ② AUA? A , AU? ? A , AUB ? BUA , AUB ? A? B ? A 。 ③由 n 个元素所组成的集合,其子集个数为 2n 个。 ④空集是任何集合的子集, ? ? A 。 即 在解题中要特别留意 空集的特殊性,它往往就是导致我们在解题中出现错误的一个 对象,避免因忽视空集而出现错误。 ●7.含参数的集合问题是本部分的一个重要题型, 应多根据 集合元素的互异性挖掘题目的隐含条件, 并注意分类讨论思想、 数形结合思想在解题中的运用。 若 q,则 p 互逆 互为 互 否 互为 逆否 逆否 互 否 逆命题

若 p,则 q 原命题

二、命题及其关系 ●1.命题的概念:用语言、符号或式子表达的,可以判断 否命题 逆否命题 真假的陈述句叫做命题。 互逆 若?p, 则?q 若?q, 则?p ●2.四种命题的相互关系: ●3. “若 p 则 q ”是真命题,即 p ? q ; “若 p 则 q ”是假命题,则 p ? q 。 ? ●4. 在判断命题真假的问题中,一方面可以直接写出命题进行判断, 也可以通过命题的等价性进行判断, 即原命题与逆否命题等价,否命题与逆命题等价。 ●5. 充分必要条件的判断是本部分的一个重要题型,在解题中应注意: (1)注意问题的设问方式,我们知道,① p 是 q 的充分不必要条件是指 p ? q 且 p ? q ;② p 的必要不 ? 充分条件是 q 是指 p ? q 且 q ? p 。这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法,在 ? 解题中一定要注意问题的设问方式,弄清它们的区别,以免出现判断错误。 (2)要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的。 (3)恰当地进行转化,由原命题与逆否命题等价可知:若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ?p 是 ?q 的必 要不充分条件;若 p 是 q 的必要不充分条件,则 ?p 是 ?q 的充分不必要条件。 ●6. 证明 p 是 q 的充要条件

(1)充分性:把 p 当作已知条件,结合命题的前提条件,推出 q ; (2)必要性:把 q 当作已知条件,结合命题的前提条件,推出 p 。 三、逻辑联结词与量词 ●1.含有“且( ? )“或( ? )” ” “非( ? ) ”命题的真假性: ? p p ?q p?q

p 真、 q 真 p 真、 q 假 p 假、 q 真 p 假、 q 假

真 假 假 假

真 真 真 假

假 假 真 真

●2.全称量词与存在量词:命题中的“对所有”“任意一个”等短语叫做全称量词,用符号“ ? ”表示, 、 “存在”“至少有一个”等短语叫做存在量词,用符号“ ? ”表示。 、 含有全称量词的命题叫做全称命题,全称命题: “对 M 中任意一个 x ,有 p(x) 成立”可用符号简记为 ?x?M , p( x) 。 含有存在量词的命题叫做特称命题,特称命题: “存在 M 中任意一个 x ,使 p(x) 成立”可用符号简记为 ?x?M , p(x) 。 ●3.全称命题与特称命题的关系: P 全称命题: ?x?M , p(x) 特称命题: ?x?M , p(x)

p 的否定
特称命题: ?x?M , ?p(x) 全称命题: ?x?M , ?p(x)

2012 年高考文科数学解析分类汇编:集合与简易逻辑
一、选择题 1 . (2012 年高考(浙江文) )设全集 U={1,2,3,4,5,6} ,设集合 P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则 P∩(CUQ)= ( ) A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5} C.{1,2,5} D.{1,2}

2 . (2012 年高考(四 川文) )设集合 A ? {a, b} , B ? {b, c, d} ,则 A ? B ? ( A. {b} B. {b, c, d } C. {a, c, d } D. {a, b, c, d}



3 . 2012 年高 考(陕 西 文) 集 合 M ? { x | lg x? 0} N ? {x | x 2 ? 4} , 则 M ? N ? ( ( ) , ( A. (1, 2) B. [1, 2) C. (1, 2] D. [1, 2] )

)

4 . (2012 年高考(山东文) 已知全集 U ? {0,1, 2, 3, 4} ) ,集合 A ? {1, 2, 3}, B ? {2, 4} ,则 (?U A) ? B 为 A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} ( D.{0,2,3,4} )

5 . (2012 年高考(辽宁文) )已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B={2,4,5,6,8},则 (CU A) ? (CU B) ? A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6} ) ( )

6 . (2012 年高考(课标文) )已知集合 A={x| x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 ( A.A?B ? B.B?A ? C.A=B D.A∩B=?

7 . (2012 年高考(江西文) )若全集 U={x∈R|x2≤4} A.|x∈R |0<x<2| C.|x∈R |0<x≤2|

A={x∈R||x+1|≤1}的补集 CuA 为 ( ) B.|x∈R |0≤x<2| D.|x∈R |0≤x≤2| ( )

8 . (2012 年高考(湖南文) )设集合 M ? ??1, 0,1? , N ? ? x | x 2 ? x? ,则 M ? N ? A. ??1, 0,1? B. ?0,1? C. ?1? D. ?0?

9 . (2012 年高考(湖北文) )已知集合 A ? ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0, x ? R? , B ? ? x | 0 ? x ? 5, x ? N ? ,则 满足条件 A ? C ? B 的集合 C 的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( ) ( )

10. (2012 年高考(广东文) )(集合)设集合 U ? ?1,2,3,4,5,6? , M ? ?1,3,5? ,则 CU M ? A. ?2,4,6? B. ?1,3,5? C. ?1,2,4? D. U

11. (2012 年高考(福建文) )已知集合 M ? ?1, 2,3, 4? , N ? ??2, 2? ,下列结论成立的是 ( A. N ? M B. M ? N ? M C. M ? N ? N D. M ? N ? ?2?



12. (2012 年高考(大纲文) )已知集合
A ? ? x | x是平行四边形? , B ? ? x | x是矩形? , C ? ? x | x是正方形? , D ? ? x | x是菱形? ,则 (



A. A ? B

B. C ? B

C. D ? C

D. A ? D

13. (2012 年高考 (北京文) 已知集合 A ? ? x ? R 3x ? 2 ? 0? , B ? ? x ? R ( x ? 1)( x ? 3) ? 0? ,则 A ? B = ) ( )

2 2 B. (?1, ? ) C. (? ,3) D. (3, ??) 3 3 14. (2012 年高考(重庆文) )命题“若 p 则 q”的逆命题是 (
A. (??, ?1)



A.若 q 则 p

B.若 ? p 则 ? q C.若 ?q 则 ?p

D.若 p 则 ?q

15. (2012 年高考(天津文) )设 x ? R ,则“ x ? A.充分不必要条件

1 ”是“ 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的 ( ) 2 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

16. (2012 年高考 (上海文) 对于常数 m 、n ,“ mn ? 0 ”是“方程 mx 2 ? ny2 ? 1 的曲线是椭圆” ) 的( ) A.充分不必要条件. B.必要不充分条件 C.充分必要条件. D.既不充分也不必要条件. 17. (2012 年高考(山东文) )设命题 p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 图象关于直线 x ? A.p 为真
?
2

? ;命题 q:函数 y ? cos x 的 2

对称.则下列判断正确的是 C. p ? q 为假

( D. p ? q 为真



B. ?q 为假

18. (2012 年高考(辽宁文) )已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≥0 ,则 ? p 是(



A. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≤0 C. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)<0
19. (2012 年高考(湖南文) )命题“若 α =

B. ? x1,x2? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≤0 D. ? x1,x2? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)<0


? ,则 tanα ≠1 4 ? C.若 tanα ≠1,则 α ≠ 4
A.若 α ≠

? ,则 tanα =1”的逆否命题是 ( 4 ? B.若 α = ,则 tanα ≠1 4 ? D.若 tanα ≠1,则 α = 4

20. (2012 年高考(湖北文) )设 a, b, c ? R ,则“ abc ? 1 ”是“

1 1 1 ? ? ? a ? b ? c ”的 a b c

( A.充分条件但不是必要条件, C.充分必要条件 B.必要条件但不是充分条件 D.既不充分也不必要的条件



21 . 2012 年 高 考 ( 湖 北 文 ) 命 题 “ 存 在 一 个 无 理 数 , 它 的 平 方 是 有 理 数 ” 的 否 定 是 ( ) ( ) A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 22. (2012 年高考(安徽文) )命题“存在实数 x ,,使 x ? 1 ”的否定是 ( A.对任意实数 x , 都有 x ? 1 B.不存在实数 x ,使 x ? 1 C.对任意实数 x , 都有 x ? 1 D.存在实数 x ,使 x ? 1 二、填空题 )

23. (2012 年高考(天津文) )集合 A ? ? x ? R| x ? 2 ? 5? 中最小整 数位_________. 24. (2012 年高考(上海文) )若 集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B =_________ .

2012 年高考文科数学解析分类汇编:集合与简易逻辑参考答案
一、选择题

【答案】D 【 命题意图】本题主要考查了集合的并集和补集运算. 【解析】?Q{3,4,5},?CUQ={1,2,6},? P∩(CUQ)={1,2}. 2. [答案]D [解析]集合 A 中包含 a,b 两个元素,集合 B 中包含 b,c,d 三个元素,共有 a,b,c,d 四个元素,所以
1.

A ? B ? {a、b、c、d}
[点评]本题旨在考查集合的并集运算,集合问题属于高中数学入门知识,考试时出题难度不大,重点是掌 握好课本的基础知识.
3. 4. 5.

解析: M ? {x | lg x ? 0} ? {x | x ? 1} , N ? {x | ?2 ? x ? 2} , M ? N ? {x 1 ? x ? 2} ,故选 C. 解析: CU A ? {0,4}, (CU A) ? B ? {0,2,4} .答案选 C. 【答案】B 【 解 析 一 】 因 为 全 集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 集 合 A={0,1,3,5,8}, 集 合 B={2,4,5,6,8}, 所 以

CU A ? ?2,4,6,7,9?, CU B ? ?0,1,3,7,9?,所以 (CU A) ? (CU B) {7,9}.故选 B
【解析二】 集合 (CU A) ? (CU B) 即为在全集 U 中去掉集合 A 和集 合 B 中的元素,所剩的元素形成的集 合,由此可快速得到答案,选 B 【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算,属于容易题.采用解析二能够更快地得到答案. 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系,是简单题. 【解析】A=(-1,2),故 B?A,故选 B. ?
7. 8.

6.

C【解析】 U ? {x | ?2 ? x ? 2} , A ? {x | ?2 ? x ? 0} ,则 CU A ? {x | 0 ? x ? 2} . 【答案】 B 【解析】? N ? ?0,1? M={-1,0,1} ?M∩N={0,1} 【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出 N ? ?0,1? ,再利用交集定义得出 M∩N.

9.

D【解析】求解一元二次方程,得

A ? ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0, x ? R? ? ? x | ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0, x ? R?

? ?1, 2? ,易知 B ? ? x | 0 ? x ? 5, x ? N? ? ?1, 2, 3, 4? .因为 A ? C ? B ,所以根据子集的定义,集合 C 必
须含有元素 1,2,且可能含有元素 3,4,原题即求集合 ?3, 4? 的子集个数,即有 2 ? 4 个.故选 D.
2

【点评】本题考查子集的概念,不等式,解一元二次方程.本题在求集合个数时,也可采用列举法.列出集 合 C 的所有可能情况,再数个数即可.来年要注意集合的交集运算,考查频度极高.
10.解析:A. CU M ? ?2,4,6? . 11. 【答案】D 【解析】显然 A, B, C 错,D 正确

12.答案 B

【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形,矩形是特殊的平行四边形 ,可知集合 C 是最小的,集合 A 是最大的,故选答案 B.
13. 【答案】D 【解析】 A ? ? x | x ? ? ? ,利用二次不等式的解法可得 B ?

? ?

2? 3?

?x | x ? 3或x ? ?1? ,

画出数轴易得 A? ? ? x | x ? 3? .
14. 【答案】A

【解析】根据原命题与逆命题的关系可得:“若 p,则 q”的逆命题是“若 q,则 p”,故选 A.
15. 【解析】不等式 2 x ? x ? 1 ? 0 的解集为 x ?
2

1 1 或 x ? ?1 ,所以“ x ? ”是“ 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”成立的 2 2

充分不必要条件,选 A. 16. [解析] 取 m=n=-1,则方程不表示任何图形,所以条件不充分; 反之,当然有 mn ? 0 ,即条件必要,故选 B. 17.解析:命题 p 和命题 q 都是假命题, 依据“或”“且”“非”复合命题的真假性真假性判断可知 p ? q 为 假命题.故答案应选 C.
18. 【答案】C 【解析】命题 p 为全称命题,所以其否定 ? p 应是特称命题,又(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0

否定为(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0,故选 C
19. 【答案】 【解析】 因为“若 C

p ,则 q ”的逆否命题为“若 ?p ,则 ?q ”,所以 “若 α =

的逆否命题是 “若 tanα ≠1,则 α ≠

? ”. 4

? ,则 tanα =1” 4

【点评】本题考查了“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题的能力.
20. A【解析】当 abc ? 1 时,

1 1 1 abc abc abc ? ? ? ? ? ? ab ? bc ? ca , a b c a b c

而 2 ? a ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca (当且仅当 a ? b ? c ,且 abc ? 1 ,即

a ? b ? c 时等号成立),故

1 1 1 ? ? ? ab ? bc ? ca ? a ? b ? c ;但当取 a ? b ? c ? 2 ,显然 a b c



1 1 1 1 1 1 ? ? ? a ? b ? c , 但 abc ? 1 , 即 由 ? ? ? a ? b ? c 不 可 以 推 得 abc ? 1 ; 综 a b c a b c 1 1 1 ? ? ? a ? b ? c 的充分不必要条件.应选 A. a b c

上, abc ? 1 是

21. B【解析】根据特称命题的否定,需先将存在量词改为全称量词,然后否定结论,故该命题的否定为“任意

一个无理数,它的平方不是有理数”.故选 B. 22. 【解析】选 C 存在---任意, x ? 1 --- x ? 1
二、填空题 23. 【 解析】? 3 不等式

x ? 2 ? 5 ,即 ? 5 ? x ? 2 ? 5 , ? 3 ? x ? 7 , 所以集合 A ? {x ? 3 ? x ? 7} ,所以最小

的整数为 ? 3 .
24. [解析] A ? ( 1 , ? ?) , B ? (?1, 1) ,A∩B= ( 1 , 1) . 2 2


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