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专题六 第二讲 战考场


一、选择题 1.(2011· 合肥模拟)某单位在一次春游踏青中,开展有奖答题活动.从 2 道文史题和 3 道理科题中不放回地依次抽取 2 道题,当 2 道题都是理科题时获奖,则获奖的概率为( 9 A. 25 3 C. 10 B. 6 25 )

1 D. 2 A2 3 = A2 5

2 解析:从 5 道题中抽取 2 道有 A2 5种抽法,

都是理科题有 A3种抽法,故所求概率为

3 . 10 答案:C 2. [理](2011· 东北三校)一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a, 得 2 分的概率为 b, 不得分的概率为 c,a、b、c∈(0,1),且无其他得分情况,已知他投篮一次得分的数学期望 为 1,则 ab 的最大值为( 1 A. 48 1 C. 12 ) 1 B. 24 1 D. 6

解析:依题意得 3a+2b+0×c=1,∵a>0,b>0, ∴3a+2b≥2 6ab,即 2 6ab≤1,∴ab≤ 答案:B [文 ] (2011· 郑州质量检测 )一个盒子内部有如图所示的六个小格 子,现有桔子、苹果和香蕉各两个,将这六个水果随机地放入这六个 格子里,每个格子放一个,放好之后每行、每列的水果种类各不相同 的概率是( 2 A. 15 1 C. 5 ) 2 B. 9 1 D. 3 1 . 24

解析:依题意,将这六个不同的水果分别放入这六个格子里,每个格子放入一个,共 有 A6 6=720 种不同的放法,其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有
2 1 1 2 96 种(此类放法进行分步计数: 第一步, 确定第一行的两个格子的水果放法, 共有 C3 · C2· C2· A2 1 1 =24 种放法;第二步,确定第二行的两个格子的水果放法,有 C2 · C2=4 种放法,剩余的两

96 2 个水果放入第三行的两个格子),因此所求的概率等于 = . 720 15 答案:A 3.[理](2011· 广州模拟)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4),若 P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2), 则 a 的值为( 7 A. 3 C.5 ) 5 B. 3 D.3

解析:∵ξ~N(3,4),P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2), ∴2a-3 与 a+2 关于 μ=3 对称, ∴ 2a-3+a+2 7 =3,解得 a= . 2 3

答案:A [文](2011· 重庆高考)从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克): 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 )

则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( A.0.2 C.0.4 B.0.3 D.0.5

4 解析:依题意得,样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为 =0.4. 10 答案:C 4.(2011· 陕西高考)甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点 的概率是( 1 A. 36 5 C. 36 ) 1 B. 9 1 D. 6

解析: 若用{1,2,3,4,5,6}代表 6 处景点, 显然甲、 乙两人选择结果为{1,1}、 {1,2}、 {1,3}、 ?、 {6,6},共 36 种;其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、?、{6,6},共 1 6 个基本事件,所以所求的概率值为 . 6 答案:D 二、填空题 5.(2011· 重庆高考)将一枚均匀的硬币抛掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数 多的概率为________. 解析:依题意得所求的概率为

16 11 5 1 6 6 1 6 C4 ( )= . 6( ) +C6( ) +C6· 2 2 2 32 答案: 11 32


6. 已知函数 f(x)=6x-4(x=1,2,3,4,5,6)的值域为集合 A, 函数 g(x)=2x 1(x=1,2,3,4,5,6) 的值域为集合 B,任意 x∈A∪B,则 x∈A∩B 的概率是________. 解析:根据已知条件可得 A={2,8,14,20,26,32}, B={1,2,4,8,16,32}. ∴A∪B={1,2,4,8,14,16,20,26,32},A∩B={2,8,32}. 3 1 所以任取 x∈A∪B,则 x∈A∩B 的概率是 = . 9 3 答案: 1 3

7.(2011· 江苏高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10,6,8,5,6,则该组数 据的方差 s2=________. 1 - 10+6+8+5+6 解析:5 个数据的平均数 x = =7,所以 s2= ×[(10-7)2+(6-7)2+ 5 5 (8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]=3.2. 答案:3.2 三、解答题 8.[理]有一种旋转舞台灯,外形是正六棱柱,在其每一个侧面上安装 5 只颜色各异的 彩灯,假若每只灯正常发光的概率为 0.5.若一个面上至少有 3 只灯发光,则不需要维修,否 则需要更换这个面. (1)求恰好有两个面需要维修的概率; (2)求至少三个面需要更换的概率. 解:(1)因为一个面不需要维修的概率为
3 5 C5 +C4 1 5+C5 P5(3)+P5(4)+P5(5)= = , 25 2

1 所以一个面需要维修的概率为 .因此,六个面中恰好有两个面需要维修的概率为 P6(2) 2 C2 15 6 = 6= . 2 64 (2)设需要更换的面为 ξ 个, 1 则 ξ~B(6, ), 2 又 P6(0)=
2 C0 1 C1 3 C6 15 6 6 ,P6(1)= 6 = ,P6(2)= 6 = , 6= 2 64 2 32 2 64

故至少有三个面需要更换的概率是

1-P6(0)-P6(1)-P6(2) 1 3 15 =1- - - 64 32 64 = 21 . 32

21 至少三个面需要更换的概率是 . 32 [文](2011· 全国大纲卷)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买 乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 解:记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买; E 表示事件:该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买. (1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B, P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8. (2)D= C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,
2 P(E)=C1 3×0.2×0.8 =0.384.

9.[理]某科技公司遇到一个技术难题,紧急成立甲、乙两个攻关小组,按要求各自单 独进行为期一个月的技术攻关,同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励.已 2 3 知这个技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为 ,被乙小组攻克的概率为 . 3 4 (1)设 ξ 为攻关期满时获奖的攻关小组数,求 ξ 的分布列及 Eξ; (2)设 η 为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方,记“函 7?x 数 f(x)=? ?η-2? 在定义域内单调递减”为事件 C,求事件 C 的概率. 2 解:记“甲攻关小组获奖”为事件 A,则 P(A)= ,记“乙攻关小组获奖”为事件 B, 3 3 则 P(B)= . 4 (1)由题意,ξ 的所有可能取值为 0,1,2, 2 3 1 P(ξ=0)=P( A ·B )=(1- )×(1- )= , 3 4 12 2 3 2 3 5 P(ξ=1)=P( A · B)+P(A·B )=(1- )× + ×(1- )= , 3 4 3 4 12

2 3 1 P(ξ=2)=P(A· B)= × = , 3 4 2 ∴ξ 的分布列为 ξ P 0 1 12 1 5 12 2 1 2

1 5 1 17 Eξ=0× +1× +2× = . 12 12 2 12 (2)∵获奖攻关小组数的可能取值为 0、1、2,相对应没有获奖的攻关小组的取值为 2、 1、0, ∴η 的可能取值为 0、4. 7?x 7 x 当 η=0 时,f(x)=? ?η-2? =(2) , 在定义域内是增函数; 7?x 1 x 当 η=4 时,f(x)=? ?η-2? =(2) , 在定义域内是减函数, 1 1 ∴P(C)=P(η=4)=P(A· B)+P( A ·B )= + 2 12 = 7 . 12

[文]有一种旋转舞台灯, 外形是正六棱柱, 在其每一个侧面上安装 5 只颜色各异的彩灯, 假若每只灯正常发光的概率为 0.5.若一个面上至少有 3 只灯发光,则不需要维修,否则需要 更换这个面. (1)求恰好有两个面需要维修的概率; (2)求至少三个面需要更换的概率. 解:(1)因为一个面不需要维修的概率为 P5(3)+P5(4)+P5(5)=
4 5 C3 1 5+C5+C5 = , 5 2 2

1 所以一个面需要维修的概率为 .因此,六个面中恰好有两个面需要维修的概率为 P6(2) 2 C2 15 6 = 6= . 2 64 C0 1 C1 3 C2 6 6 6 15 (2)P6(0)= 6 = ,P6(1)= 6 = ,P6(2)= 6 = , 2 64 2 32 2 64 故至少有三个面需要更换的概率是 1-P6(0)-P6(1)-P6(2) 1 3 15 =1- - - 64 32 64



21 . 32 21 . 32

至少三个面需要更换的概率是

10. [理]某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间 T(单位: 年)有关. 若 T≤1,则销售利润为 0 元;若 1<T≤3,则销售利润为 100 元;若 T>3,则销售利润为 200 元.设每台该种电器的无故障使用时间 T≤1,1<T≤3 及 T>3 这三种情况发生的概率分别 为 p1,p2,p3,又知 p1,p2 是方程 25x2-15x+a=0 的两个根,且 p2=p3. (1)求 p1,p2,p3 的值; (2)记 ξ 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和,求 ξ 的分布列; (3)求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值. 解:(1)由已知得 p1+p2+p3=1. ∵p2=p3,∴p1+2p2=1. p1,p2 是方程 25x2-15x+a=0 的两个根, 3 1 2 ∴p1+p2= .∴p1= ,p2=p3= . 5 5 5 (2)ξ 的可能取值为 0,100,200,300,400. 1 1 1 p(ξ=0)= × = , 5 5 25 1 2 4 p(ξ=100)=2× × = , 5 5 25 1 2 2 2 8 p(ξ=200)=2× × + × = , 5 5 5 5 25 2 2 8 p(ξ=300)=2× × = , 5 5 25 2 2 4 p(ξ=400)= × = . 5 5 25 随机变量 ξ 的分布列为 ξ p 0 1 25 100 4 25 200 8 25 300 8 25 400 4 25

(3)销售利润总和的平均值为 1 4 8 8 4 Eξ=0× +100× +200× +300× +400× =240. 25 25 25 25 25 ∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为 240 元. [文]每进行一次游戏,赢的话可领取 1 000 元,输的话则要罚 300 元,在这种游戏中某

1 2 人赢的概率是 ,输的概率是 ,如果这个人连续 8 次进行这种游戏. 3 3 (1)在这 8 次游戏中,求赢了多少次才能保证在扣除罚款后至少可得 6 000 元; (2)试求在这 8 次游戏中,扣除罚款后至少可得到 6 000 元的概率. 解:(1)设在这 8 次游戏中赢了 x 次,则输了 8-x 次, 6 依题意 1 000x-300(8-x)≥6 000,x≥6 , 13 故 x=7 或 8, 因此在这 8 次游戏中赢 7 次或 8 次,才能保证在扣除罚款后至少可得 6 000 元. (2)在这 8 次游戏中,至少要赢 7 次,才能使扣除罚款后至少可得到 6 000 元,即必须 在这 8 次游戏中赢 7 次或 8 次, 由于这两个事件互不相容,因此所求的概率为 1721 17 8 1 8 P=C8 ( ) +C7 . 8( ) ( ) = 3 3 3 6 561


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