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6正、余定理


教学过程
知识分析: 一. 正弦定理和余弦定理应用举例 1. 解三角形应用题的基本思路 (1)建模思想 解三角形应用问题时,通常都要根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三 角形,得出三角形的边角的大小,从而得出实际问题的解。这种数学建模思想,从实际问题出发,经过抽象 概括,把它转化为具体问题中的数学模型,然后通过推理演算,得出数学模型的解,再还原成实际问题的解, 用流程图可表示为:

(2)解三角形应用题的基本思路:
画图 解三角形 检验、结论 实际问题 ?? ? ?数学问题(解三角形) ???? ?数学问题的解 ???? ?实际问题的解

2. 解 三 角 形

应用题常见的几种情况: (1)实际问题经抽象概括,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解。 (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三 角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方 程,解方程得出所要求的解。 (3)实际问题抽象概括后,涉及到的三角形只有一个,但由已知条件解三角形需选择使用正弦定理或 余弦定理去求问题的解。 注意:①解三角形应用题中,由于具体问题中给出的数据通常均为有效近似值,故运算过程一般较为复 杂,可以借助于计算器进行运算,当然还应注意达到算法简练、算式工整、计算准确等要求。 ②如果将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话,那么解三角形应用题的实质就是把已知量按方 程的思想进行处理,解题时应根据已知量与未知量,合理选择一个比较容易解的方程,从而使解题过程简洁。 3. 实际应用问题中有关的名称、术语 在解决与三角形有关的实际问题时,经常出现一些有关的名词、术语,如仰角、俯角、方位角、方向角、 铅直平面等。 (1)铅直平面是指与海平面垂直的平面。 (2)仰角与俯角在同一铅直平面内,视线与水平线的夹角,当视线在水平线之上时,称为仰角,当视 线在水平线之下时,称为俯角(如图所示)。

(3)方位角:从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。方位角的取值范 围为 0°~360°。 -1-

如:方位角是 60°的图形如图。

(4)方向角:一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线 所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度。 4. 解三角形应用题的一般步骤: 解三角形在实际中应用非常广泛,如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识,解题时 应认真分析题意,并做到算法简练,算式工整,计算正确。 其解题的一般步骤是: (1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语; (2)画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解,并 作答。 5. 熟悉三角形中有关公式解三角形主要应用正弦定理和余弦定理,有时也会用到周长公式和面积公式,比 如:

P ? a ? b ? c( P为三角形的周长) ;
S? 1 aha (ha 表示a边上的高 ) 2 ; 1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2 ; abc 4 R (可用正弦定理推得); 1 r ( a ? b ? c) 2 (r 为内切圆半径)。

S?

S?

S?

6. 常见问题及解决办法: (1)测量一个底部不能到达的建筑物的高度的步骤: 关键点:怎样克服 B 点不能到达带来的测量不变?

A

B θ α C
方法一:(忽略测量仪器的高度) S1 在地面上任取 C、D 两点,连接 CD,AC,AD; -2-

β m

D

S2 测出∠ACD=α 、∠ADC=β 的大小及在 C 点测点 A 的仰角θ 和 CD 的长 m;

AC ?
S3 在△ACD 中,利用正弦定理求得 S4 在 Rt△ABC 中,得 AB ? AC ? sin ? 方法二:(忽略测量仪器的高度)

m ? sin(? ? ? ? ?) sin ?

A

B

α C

β m

D

S1 在地面上取点 C、D,使 C、D 与 AB 在同一个平面内(这样可以保证 B、C、D 三点共线); S2 在 C、D 两点分别测得 A 点的仰角α 、β 及 CD 的长 m;

x x ? ?m S3 设 AB=x,则由 tan ? tan ? 得

x?

m 1 1 ? tan ? tan ? ,即为 AB 的长。

(2)测量底面上两个不能到达的地方之间的距离的步骤:
A B

α β N m

γ

θ M

S1 在可到达之地取两点 M、N,连接 MN, MA, MB, NA, NB; S2 测出∠ANB=α ,∠BNM=β ,∠AMN=γ ,∠AMB=θ ,及 MN 的长 m; S3 在△AMN 中,利用正弦定理求得:

AN ?

m? s i n ? sin(? ? ? ? ? ? ? )

在△BMN 中,利用正弦定理求得:

BN ?

m? s i n ?( ?? ) sin(? ? ? ? ? ? ?)

S4 在△ABN 中,利用余弦定理求得:

AB ? AN2 ? BN2 ? 2 ? AN ? BN ? cos ?
2. 解三角形常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要知三个(除三角外)才能求解,常见类型及其解法见下表:

-3-

已知条件 一边和二角 (如 a,B,C)

应用定理

一般解法

由 A+B+C=180°,求角 A;由正弦定理求出 b 正弦定理 与 c。

S? ?
两边和夹角 (如 a,b,C)

1 ac sin B 在有解时只有一解 2

由余弦定理求第三边 c;由正弦定理求出小边所 余弦定理 对的角;再由 A+B+C=180°求出另一角。

S? ?
三边 (a,b,c)

1 ab sin C 在有解时只有一解 2

由余弦定理求出角 A、B;再利用 A+B+C=180 余弦定理 °,求出角 C

S? ?

1 ab sin C 在有解时只有一解。 2

两边和其中一边的对角 由正弦定理求出角 B;由 A+B+C=180°,求出 1 (如 a,b,A) 正弦定理 S ? ? ab sin C 角 C; 再利用正弦定理求出 c 边,

2

可有两解,一解或无解。
3. 三角形解的个数的确定 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形,解这类三角形问题可能出现一解,两解、无解的情况, 这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解,此时一般用正弦定理,但也可用余弦定理。

a b b sin A ? sin B ? a 。 (1)利用正弦定理讨论:若已知 a 、 b 、 A ,由正弦定理 sin A sin B 得
若 sin B ? 1 ,无解;若 sinB=1,一解;若 sinB<1,两解。
2 2 2 (2)利用余弦定理讨论:已知 a、b、A,由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,这可以看作关于 c 的一

元二次方程。若方程无解或无正数解,则三角形无解;若方程有唯一正数解,则三角形一解;若方程有两不 同正数解,则三角形有两解。 4. 三角形形状的判定方法 判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如: a ? 2 R sin A ,

a2 ? b2 ? c2 ? 3ab cos C 等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三
角等式所体现的内角关系。如:sinA=sinB ? A=B ; sin(A-B)=0 ? A=B;sin2A=sin2B ? A=B 或

a b2 ? c 2 ? a 2 ? sin A ? , cos A ? 2R 2bc A+B= 2 等;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,如 等,通过代数
恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断。 5. 解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决,其基本解题思路是:首先分析此题属 于哪种类型的问题(如:测量距离、高度、角度等),然后依题意画出示意图,把已知量和未知量标在示意 图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解,并进行作答。 解题时还要注意近似计算的要求。 【典型例题】 -4-

例 1. 在△ABC 中,已知 a ? 3, b ? 2, B ? 45 , 求边 c。 解析:解法 1(用正弦定理)

?

a b ? sin A sin B

?s i n A?

as i n B 3?sin 45? 3 ? ? b 2 2
? ?

又? b ? a, ? B ? A, ? A ? 60 或120 当 A=60°时,C=75°

bs i n C ?c ? ? sin B

2sin 75? ? sin 45?

6? 2 2

当 A=120°时,C=15°

?c ?

bs i n C ? sin B
2

2sin 15? ? sin 45?
2 2

6? 2 2

解法二:? b ? a ? c ? 2ac cos B

? 2 ? 3 ? c 2 ? 2 3c cos 45?
即 c ? 6c ? 1 ? 0
2

解之,得

c?

6? 2 2

点评:此类问题求解需要注意解的个数的讨论,比较上述两种解法,解法 2 较简单。 例 2. 在△ABC 中,若 B=60°,2b=a+c,试判断△ABC 的形状。 解析:解法一 由正弦定理,得 2 sin B ? sin A ? sin C ∵B=60°,∴A+C=120° A=120°-C,代入上式,得

2 sin 60? ? sin(120? ? C) ? sin C
展开,整理得:

3 1 sin C ? cos C ? 1 2 2

? s i nC ( ? 30? ) ? 1, ? C ? 30? ? 90?
∴C=60°,故 A=60° ∴△ABC 为正三角形 解法二 由余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

-5-

? B ? 60 ? ,b ? ?(

a?c 2

a?c 2 ) ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos 60 ? 2
2

整理,得 (a ? c) ? 0, ? a ? c 从而 a=b=c ∴△ABC 为正三角形 点评:在边角混合条件下判断三角形形状时,可考虑利用边化角,从角的关系判断,也可考虑角化边, 从边的关系判断。 例 4. 如图所示,a 是海面上一条南北方向的海防警戒线,在 a 上点 A 处有一个水声监测点,另两个监测点 B、C 分别在 A 的正东方 20km 处和 54km 处。某时刻,监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波,8s 后监 测点 A,20s 后监测点 C 相继收到这一信号。在当时气象条件下,声波在水中的传播速度是 1.5km/s。 (1)设 A 到 P 的距离为 xkm,用 x 表示 B、C 到 P 的距离,并求 x 的值; (2)求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离。(结果精确到 0.0lkm)

解析:(1)依题意,PA-PB=1.5×8=12km PC-PB=1.5×20=30km 因此 PB ? ( x ? 12) km,PC ? (18 ? x) km 在△PAB 中,AB=20km

cos ?PAB ?

PA 2 ? AB 2 ? PB 2 x 2 ? 20 2 ? ( x ? 12) 2 3x ? 32 ? ? 2 PA ? AB 2 x ? 20 5x
72 ? x 3x

同理,

cos ?PAC ?

由于 cos ?PAB ? cos ?PAC

3x ? 32 72 ? x ? 3x 即 5x x? 132 km 7

解得

(2)作 PD⊥a,垂足为 D,在 Rt△PDA 中

PD ? PA cos ?APD ? PA cos ?PAB ? x ? 3? 132 ? 32 7 ? 17.71km 5

3x ? 32 5x

?

故静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为 17.71km。 点评:由实际出发,构建数学模型是解应用题的基本思路。如果涉及三角形问题,我们可以把它抽象为 -6-

解三角形问题,进行解答,之后再还原成实际问题,即
实际问题 ???? ? 解三角形问题 ????? 三角形问题的解 ????? 实际问题的解
抽象概括 推理演算 还原说明

例 5. 为了测量上海东方明珠塔的高度,某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 75.5°,前进 38.5m 后,到达 B 处测得塔尖的仰角为 80.0°。试计算东方明珠塔的高度(精确到 lm)。

解析:由于∠CAD=75.5°,∠CBD=80.0°,所以∠ACB=4.5°

AB BC ? 在△ABC 中,由于 sin ?ACB sin A

AB ? sin A 38.5 ? sin 755 . ? ? BC ? ? sin ?ACB sin 4.5?
∴CD=BC·sin80.0°

?

38.5 ? sin 755 . ? ? sin 80.0? ? 468(m) ? sin 4.5

故东方明珠塔的高度为 468m。 点评:本例是计算高度的问题,由于塔高 CD 难以直接求解,因此放在直角三角形 BCD 中求解,而 BC 长的求解利用正弦定理在△ABC 中求解。 例 6. 要测量河对岸两地 A、 B 之间的距离, 在岸边选取相距 100 3 米的 C、 D 两点, 并测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A、B、C、D 在同一平面内),求 A、B 两地的距离。 解析:如图所示,在△ACD 中∠CAD=180°-(120°+30°)=30°

? AC ? CD ? 100 3
在△BCD 中, ?CBD ? 180 ? (45 ? 75 ) ? 60
? ? ? ?

由正弦定理得

BC ?

100 3 sin 75? ? 200 sin 75? ? sin 60

在△ACB 中,由余弦定理,得 -7-

AB 2 ? (100 3) 2 ? (200 sin 75? ) 2 ? 2 ? 100 3 ? 200 sin 75? ? cos 75?
? 100 2 ? (3 ? 4 ? ? 100 2 ? 5 1 ? cos150? ? 2 ? 3 ? sin 150? ) 2

? AB ? 100 5
故 A、B 两地间的距离为 100 5 米。 点评:此题是测量计算河对岸两点间的距离,给出的角度较多,涉及几个三角形,重点应注意依次解哪 几个三角形才较为简便。 例 7. 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为 45°距离为 10n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向,以 9n mile/h 的速度向小岛靠拢,我海 军舰艇立即以 21n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间。 解析:设所需时间为 t h,则 AB’=21t,CB’=9t 在△AB’C 中,根据余弦定理,则有

AB' 2 ? AC 2 ? B' C 2 ? 2 AC ? B' C cos120?
可得,

212 t 2 ? 10 2 ? 81t 2 ? 2 ? 10 ? 9t ?

1 2

整理得 360t ? 90t ? 100 ? 0
2

36t 2 ? 9t ? 10 ? 0,(12t ? 5)(3t ? 2) ? 0
t? 2 5 t?? 3或 12 (舍去)

2 h 舰艇须 3 靠近渔轮
此时 AB' ? 196,B' C ? 36
2 2

∴AB’=14,B’C=6

B' C AB' ? ? 由正弦定理: sin ?CAB ' sin 120
-8-

sin ?C A B '?

6?

3 2 ?3 3 14 14

??C A B ' ? 218 . ?
∴舰艇航行的方位角为 66.8°。 点评:熟悉各种术语对我们解应用题很有帮助。

-9-


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