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2016-2017学年高中数学阶段质量评估1新人教A版选修4-4讲义


2016-2017 学年高中数学 阶段质量评估 1 新人教 A 版选修 4-4
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四小选项中, 只有一项是符合题目要求的). 1.原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-2,-2 3)的极坐标是( )

? π? A.?4, ? 3? ?
2π ? ? C.

?-4,- ? 3 ? ?

? 4π ? B.?4, ? 3 ? ? ? 2π ? D.?4, ? 3 ? ?
y x

解析: 由直角坐标与极坐标互化公式: ρ =x +y ,tan θ = (x≠0). 把点(-2,-2 3)代入即可得 ρ =4,tan θ = 3, 4π 因为点(-2,-2 3)在第三象限,所以 θ = . 3 答案: B 2.在极坐标系中有如下三个结论:①点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标满足曲线 C 的 π 极坐标方程; ②tan θ =1 与 θ = 表示同一条曲线; ③ρ =3 与 ρ =-3 表示同一条曲线. 在 4 这三个结论中正确的是( A.①③ C.②③ ) B.① D.③
2 2 2

解析: 在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内, 曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程,故①是错误的; π 5π tan θ =1 不仅表示 θ = 这条射线,还表示 θ = 这条射线,故②亦不对;ρ =3 4 4 与 ρ =-3 差别仅在于方向不同,但都表示一个半径为 3 的圆,故③正确. 答案: D 3.可以将椭圆 + =1 变为圆 x +y =4 的伸缩变换( 10 8

x2

y2

2

2

)

?5x′=2x A.? ? 2y′=y
C.?

B.?

? 2x′= 5x ?y′= 2y ? 5x′= 2x ? 2y′=y
2 2

? 2x′=x ? 5y′= 2x
2 2

D.?

x y 2x y 解析: 方法一:将椭圆方程 + =1 化为 + =4, 10 8 5 2
1

∴?

? 2x?2 ? y ?2 ? +? ? =4, ? 5 ? ? 2?

2 ? x′= x, ? 5 令? y y′= , ? ? 2 即 x +y =4, ∴伸缩变换?
2 2

得 x′ +y′ =4,

2

2

? 5x′= 2x, ? 2y′=y
2 2

为所求.
2 2

方法二:将 x +y =4 改写为 x′ +y′ =4, 设满足题意的伸缩变换为?
2 2

?x′=λ ? ? ?y′=μ
2 2

x?λ >0?, y?μ >0?,

代入 x′ +y′ =4 得 λ x +μ y =4, 即 λ x μ y + =1, 4 4
2 2 2 2

2 2

与椭圆 + =1 比较系数得 10 8

x2

y2

? ? ?μ 1 ? ? 4 =8,
2

λ 1 = , 4 10

2

2 ? λ = , ? 5 解得? 1 μ = , ? ? 2

2 ? ?x′= 5x, ∴伸缩变换为? 1 ? ?y′= 2y, 答案: D

即?

? 5x′= 2x, ? 2y′=y

.

? π? 4.在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ =4sin θ ,过点?4, ?作曲线 C 的切线,则 6? ?
切线长为( A.4 C.2 2 ) B. 7 D.2 3

? π? 2 2 解析: ρ =4sin θ 化为普通方程为 x +(y-2) =4, 点?4, ?化为直角坐标为(2 3, 6? ?
2) , 切 线 长 、 圆 心 到 定 点 的 距 离 及 半 径 构 成 直 角 三 角 形 , 由 勾 股 定 理 : 切 线 长 为

2

?2 3? +?2-2? -2 =2 2. 答案: C 5.在极坐标中,与圆 ρ =4sin θ 相切的一条直线方程为( A.ρ sin θ =2 C.ρ cos θ =4 B.ρ cos θ =2 D.ρ cos θ =-4 )

2

2

2

? π? 解析: 圆 ρ =4sin θ 的圆心为?2, ?,半径为 r=2, 2? ?
对于选项 A,方程 ρ sin θ =2 对应的直线 y=2,与圆相交; 对于选项 B,方程 ρ cos θ =2 对应的直线 x=2,与圆相切; 选项 C,D 对应的直线与圆相离. 答案: B 6.圆 ρ = 2(cos θ +sin θ )的圆心坐标是( )

? π? A.?1, ? 4? ?
π? ? C.? 2, ? 4? ?

?1 π ? B.? , ? ?2 4 ? ? π? D.?2, ? 4? ? ? ?
2? 2 ? 2?2 ? +?y- ? =1, 2? ? 2?

解析: 将圆的极坐标方程化成直角坐标方程?x- 圆心直角坐标为? 答案: A

2? ? 2 ? π? , ?,故其极坐标为?1, 4 ?. ? ? 2? ?2

? π? 7.极坐标系内曲线 ρ =2cosθ 上的动点 P 与定点 Q?1, ?的最近距离等于( 2? ?
A. 2-1 C.1 B. 5-1 D. 2
2 2

)

解析: 将曲线 ρ =2cosθ 化成直角坐标方程为(x-1) +y =1,点 Q 的直角坐标为 (0,1),则 P 到 Q 的最短距离为点 Q 与圆心的距离减去半径,即 2-1. 答案: A 8.已知点 P 的坐标为(1,π ),则过点 P 且垂直极轴的直线方程是( A.ρ =1 1 C.ρ =- cos θ B.ρ =cos θ 1 D.ρ = cos θ )

解析: 由点 P 的坐标可知,过点 P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为 x=-1, 即 ρ cos θ =-1,故选 C. 答案: C

3

π? ? 9.圆 ρ =r 与圆 ρ =-2rsin?θ + ?(r>0)的公共弦所在直线的方程为( 4? ? A.2ρ (sinθ +cosθ )=r B.2ρ (sinθ +cosθ )=-r C. 2ρ (sinθ +cosθ )=r D. 2ρ (sinθ +cosθ )=-r 解析: 圆 ρ =r 的直角坐标方程为 x +y =r ① π? ? 圆 ρ =-2rsin?θ + ? 4? ? π π? ? =-2r?sinθ cos +cosθ sin ?=- 2r(sinθ +cosθ ). 4 4? ? 两边同乘以 ρ 得 ρ =- 2r(ρ sinθ +ρ cosθ ), ∵x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ ,ρ =x +y , ∴x +y + 2rx+ 2ry=0②
2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

①-②整理得 2(x+y)=-r,即为两圆公共弦所在直线的普通方程.再将直线 2(x +y)=-r 化为极坐标方程为 2ρ (cosθ +sinθ )=-r. 答案: D π 10. 已知曲线 C1, C2 的极坐标方程分别为 ρ cos θ =3,ρ =4cos θ (ρ ≥0,0≤θ < ), 2 则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为( 5 ? ? A.?2 3, π ? 6 ? ? 7π ? ? C.?2 3, ? 6 ? ?
? ?ρ cos θ =3?①?, 解析: ∵? ?ρ =4cos θ ?②?, ?

) π? ? B.?2 3, ? 6? ? 11 ? ? D.?2 3, π ? 6 ? ?

∴4cos θ =3.∴cos θ =±

2

3 . 2

π 3 π ∵0≤θ < ,∴cos θ = ,∴θ = . 2 2 6 π 将 θ = 代入②,得 ρ =2 3, 6 π? ? ∴C1 与 C2 交点的极坐标为?2 3, ?. 6? ? 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在题中的横线上)
4

? π? 11.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ρ sin θ =3,则点?2, ?到直线 l 的距离为 6? ?
________. 解析: 直线 l 的极坐标方程为 ρ sin θ =3,化为直线方程得 y=3;

? π? ? π? 点?2, ?化为直角坐标即为( 3,1),于是点?2, ?到直线 l 的距离为 2. 6? 6? ? ?
答案: 2 π 12.在极坐标系中,由三条直线 θ =0,θ = ,ρ cos θ +ρ sin θ =1 围成图形的 3 面积是________. 解析: 三条直线在直角坐标系下的方程依次为 y=0,y= 3x,

x+y=1.如图可知, S△POQ= ×|OQ|×|yp|
1 3 3- 3 = ×1× = . 2 4 3+1 答案: 3- 3 4 1 2

π ? π? 13.已知极坐标系中,极点为 O,将点 A?4, ?绕极点逆时针旋转 得到点 B,且|OA| 6? 4 ? =|OB|,则点 B 的直角坐标________.

? 5π ? 解析: 依题意,点 B 的极坐标为?4, ?, 12 ? ?
∵cos =cos = 5π ?π π ? =cos? + ? 12 ?4 6? π π π π cos -sin sin 4 6 4 6

2 3 2 1 × - × 2 2 2 2 6- 2 , 4 5π ?π π ? =sin? + ? 12 ?4 6? π π π π cos +cos sin 4 6 4 6

= sin

=sin =

2 3 2 1 6+ 2 × + × = , 2 2 2 2 4

5

∴x=ρ cos θ =4×

6- 2 = 6- 2, 4

y=ρ sin θ =4×

6+ 2 = 6+ 2. 4

∴点 B 的直角坐标为( 6- 2, 6+ 2). 答案: ( 6- 2, 6+ 2) 14.从极点作圆 ρ =2acos θ 的弦,则各条弦中点的轨迹方程为________.

? ? 解析: 数形结合,易知所求轨迹是以? ,0?为圆心, 为半径的圆.求得方程是 ρ = 2 2 ? ?
a a

? ? acos θ ?- ≤θ ≤ ?. 2? ? 2
π π π? ? π 答案: ρ =acos θ ?- ≤θ ≤ ? 2? ? 2 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12 分)设极点 O 到直线 l 的距离为 d,由点 O 向直线 l 作垂 线,由极轴到垂线 OA 的角度为 α (如图所示).求直线 l 的极坐标方 程. 解析: 在直线 l 上任取一点 M(ρ ,θ ). 在直角三角形 OMA 中, 由三角知识得 ρ cos(α -θ )=d, 即ρ = .这就是直线 l 的极坐标方程. cos?α -θ ? 2 16.(12 分)已知⊙C:ρ =cos θ +sin θ ,直线 l:ρ =2 .求⊙C 上点到 π? ? cos?θ + ? 4? ? 直线 l 距离的最小值. 解析: ⊙C 的直角坐标方程是 x +y -x-y=0,
2 2

d

? 1?2 ? 1?2 1 即?x- ? +?y- ? = . ? 2? ? 2? 2
又直线 l 的极坐标方程为 ρ (cos θ -sin θ )=4, 所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y-4=0. 2 1 2 ?1 ? 设 M? + cos θ , + sin θ ?为⊙C 上任意一点,M 点到直线 l 的距离 2 2 ?2 2 ? 2 ?1 2 ?1 ? ? ?2+ 2 cos θ -? + sin θ ?-4? ? ?2 2 ? ? 2

d=

6

π? ? 4-cos?θ + ? 4? ? = , 2 7π 3 3 2 当 θ = 时,dmin= = . 4 2 2 17.(12 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 π? ? C 的极坐标方程为 ρ cos?θ - ?=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点.

?

3?

(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π? 3 ?1 ? ? 解析: (1)由 ρ cos?θ - ?=1,得 ρ ? cos θ + sin θ ?=1. 3 ? ? 2 ?2 ? 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1,即 x+ 3y=2. 2 2 当 θ =0 时,ρ =2,得 M(2,0); π 2 3 ?2 3 π ? 当 θ = 时,ρ = ,得 N? , ?. 2 3 2? ? 3

? 2 3? (2)M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为?0, ?. 3 ? ?
所以 P 点的直角坐标为?1, 则 P 点的极坐标为?

? ?

3? ?, 3?

?2 3 π ? , ?. 6? ? 3

π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ = ,ρ ∈R. 6 1 18.(14 分)△ABC 底边 BC=10,∠A= ∠B,以 B 为极点,BC 为极轴,求顶点 A 的轨迹 2 的极坐标方程. 解析: 如图:令 A(ρ ,θ ), θ △ABC 内,设∠B=θ ,∠A= , 2 又|BC|=10,|AB|=ρ . 于是由正弦定理, 得 10 = , 3θ ? θ ? π - sin sin? 2 ? 2 ? ? ρ

化简,得 A 点轨迹的极坐标方程为

7

ρ =10+20cosθ .

8


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