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山东省青岛市平度市四校2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年山东省青岛市平度市四校高一(下)期中数学试 卷

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.与角﹣420°终边相同的角是( ) A. B. C. D.

2.sin50°sin70°﹣cos50°sin20°的值等于( A. B.

/>
) C. D.

3.已知△ ABC 中,a=5,b=3,C=120°,则 sinA 的值为( A. B. C.

) D.

4.已知 cosα=﹣ ,α∈( A.﹣ B.

,π) ,sinβ=﹣

,β 是第三象限角,则 sinα?tanβ=( C. D.﹣

)

5.在△ ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 6.将函数 y=sin2x 的图象向左平移 式是( ) B.y=2cos x
2

个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析

A.y=cos2x

C.

D.y=2sin x?

2

7.已知等腰三角形顶角的余弦值等于 ,则这个三角形底角的正弦值为( A. B. C. D.

)

8.设 a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则( A.a>b>c B.b>c>a

) C.c>b>a

D.c>a>b

9.已知 tan(α+β)= ,tan(β﹣ A. B.

)= ,那么 tan(α+ C.

)等于( D.

)

10.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA, 终边为射线 OP,过点 P 做直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f(x) ,则 y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设 sin( +θ)= ,则 sin2θ=__________.

12.△ ABC 中,A= 长为__________.

,则在△ ABC 的外接圆中,大小为 30°的圆心角所对的弧

13.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示, 则 的值是__________.

14.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π,且 当 x∈[0, ]时,f(x)=sinx,则 f( )的值为__________.

15.给出下列四个命题: ①函数 的一条对称轴是 x= ,0)对称; ;

②函数 y=tanx 的图象关于点( ③正弦函数在第一象限为增函数 ④存在实数 α,使 sinα+cosα=

以上四个命题中正确的有__________(填写正确命题前面的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 tan2α 的值. 17.如图,要计算东湖岸边两景点 B 与 C 的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取 A 和 D 两点,现测得 AD⊥CD,AD=10km,AB=14km,∠BDA=60°,∠CBD=15°,试求两景点 B 与 C 的距离. 的值: .

18.已知函数 (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;

(2)若 f(2α)﹣3=

,求



19.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期和对称轴方程; (2)求不等式 f(x)≥ 中 x 的取值范围.

,x∈R.

20. (13 分)已知函数 f(x)= 数,且相邻两对称轴间的距离为 (1)当 x∈(﹣ ,

sin(ωx+φ)+2sin .

2

﹣1(ω>0,0<φ<π)为奇函

)时,求 f(x)的单调递减区间; 个单位长度,再把横坐标缩短到原来的 , ]时,求函数 g(x)的值域.

(2)将函数 y=f(x)的图象沿 x 轴方向向右平移

(纵坐标不变) ,得到函数 y=g(x)的图象.当 x∈[﹣

21. (14 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知 2bcosA=acosC+ccosA (1)求角 A 的大小; (2)若△ ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值. (3)若 2sin
2

=1,试判断△ ABC 的形状.

2014-2015 学年山东省青岛市平度市四校高一(下)期中 数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.与角﹣420°终边相同的角是( ) A. B. C. D.

考点:终边相同的角. 专题:三角函数的求值. 分析:根据终边相同的角的表示方法,结合角度制与弧度制的关系,即可得出结论. 解答: 解:与﹣420°角终边相同的角为:n?360°﹣420°(n∈Z) ,

化为弧度制为:2nπ﹣ 当 n=2 时,2nπ﹣ =

(n∈Z) , .

故选:D. 点评:本题是基础题,考查终边相同的角的表示方法及角度制和弧度制的转化. 2.sin50°sin70°﹣cos50°sin20°的值等于( A. B. ) C. D.

考点:两角和与差的正弦函数. 专题:三角函数的求值. 分析:由诱导公式五可得 sin70°=cos20°,进而利用两角差的正弦公式,可得答案. 解答: 解:sin50°sin70°﹣cos50°sin20° =sin50°cos20°﹣cos50°sin20° =sin(50°﹣20°) =sin30° = , 故选:C. 点评:本题考查的知识点是两角差的正弦函数公式,其中将 sin70°转化为 cos20°,是解答的 关键. 3.已知△ ABC 中,a=5,b=3,C=120°,则 sinA 的值为( A. B. C. ) D.

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:计算题. 分析:由 C 的度数求出 sinC 和 cosC 的值,再由 a,b 的值,利用余弦定理求出 c 的值,然 后再由 a,c 及 sinC 的值,利用正弦定理即可求出 sinA 的值. 解答: 解:由 a=5,b=3,C=120°, 根据余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=25+9﹣30×(﹣ )=49, 解得 c=7, 由正弦定理 = 得:
2 2 2

sinA=

=

=



故选 A 点评:此题考查了正弦定理,余弦定理,以及特殊角的三角函数值,正弦、余弦定理很好的 建立了三角形的边角关系,熟练掌握定理是解本题的关键.

4.已知 cosα=﹣ ,α∈( A.﹣ B.

,π) ,sinβ=﹣ C.

,β 是第三象限角,则 sinα?tanβ=( D.﹣

)

考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:由 cosα 与 sinβ 的值,利用同角三角函数间基本关系求出 sinα 与 cosβ 的值,进而求 出 tanβ 的值,代入原式计算即可得到结果. 解答: 解:∵cosα=﹣ ,α∈( ∴sinα= 则 sinα?tanβ= , = ,cosβ=﹣ ,π) ,sinβ=﹣ ,β 是第三象限角, ,即 tanβ= ,

=﹣

故选:B. 点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 5.在△ ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ ABC 的形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 )

考点:三角形的形状判断. 专题:计算题. 分析:利用正弦定理化简已知的等式,再根据二倍角的正弦函数公式变形后,得到 sin2A=sin2B,由 A 和 B 都为三角形的内角,可得 A=B 或 A+B=90°,从而得到三角形 ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解答: 解:由正弦定理 asinA=bsinB 化简已知的等式得:sinAcosA=sinBcosB, ∴ sin2A= sin2B, ∴sin2A=sin2B,又 A 和 B 都为三角形的内角, ∴2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= ,

则△ ABC 为等腰或直角三角形. 故选 D 点评:此题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有正弦定理,二倍角的正弦函数公式,以 及正弦函数的图象与性质, 其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系, 利用正弦定理化 简已知的等式是本题的突破点.

6.将函数 y=sin2x 的图象向左平移 式是( )

个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析

A.y=cos2x

B.y=2cos x

2

C.

D.y=2sin x?

2

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案. 解答: 解:令 y=f(x)=sin2x, 则 f(x+ 再将 f(x+ )=sin2(x+ )=cos2x,
2

)的图象向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 y=cos2x+1=2cos x,

故选:B. 点评:本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查升幂公式的应用,属于中档题. 7.已知等腰三角形顶角的余弦值等于 ,则这个三角形底角的正弦值为( A. B. C. D. )

考点:二倍角的正弦. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:设出三角形的底角,表示出三角形的顶角,利用等腰三角形顶角的余弦值等于 ,即 可求得结论. 解答: 解:设三角形底角为 α,则顶角为 180°﹣2α ∴cos(180°﹣2α)=﹣cos2α= ∴2sin α﹣1= ∵α 为三角形的内角 ∴sinα= 故选 C. 点评:本题考查二倍角的三角函数,考查学生的计算能力,属于基础题. 8.设 a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a 考点:正切函数的单调性. 专题:三角函数的求值. 分析:可得 b=sin35°,易得 b>a,c=tan35°= >sin35°,综合可得.
2

D.c>a>b

解答: 解:由诱导公式可得 b=cos55°=cos(90°﹣35°)=sin35°, 由正弦函数的单调性可知 b>a,

而 c=tan35°=

>sin35°=b,

∴c>b>a 故选:C 点评:本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题.

9.已知 tan(α+β)= ,tan(β﹣ A. B.

)= ,那么 tan(α+ C.

)等于( D.

)

考点:两角和与差的正切函数. 专题:计算题. 分析:把已知的条件代入 )]= =tan[(α+β)﹣(β﹣ ,运算求得结果.

解答: 解:∵已知 ∴ =tan[(α+β)﹣(β﹣



)]=

=

=



故选 C. 点评:本题主要考查两角和差的正切公式的应用,属于中档题. 10.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA, 终边为射线 OP,过点 P 做直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f(x) ,则 y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

考点:抽象函数及其应用. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:在直角三角形 OMP 中,求出 OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角 三角函数的定义即可得到 f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选 择. 解答: 解:在直角三角形 OMP 中,OP=1,∠POM=x,则 OM=|cosx|, ∴点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f(x)=OM|sinx| =|cosx|?|sinx|= |sin2x|, 其周期为 T= ,最大值为 ,最小值为 0,

故选 C. 点评:本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考 查二倍角公式的运用. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设 sin( +θ)= ,则 sin2θ=﹣ .

考点:二倍角的正弦;两角和与差的正弦函数. 专题:计算题. 分析:利用两角和的正弦公式可得 此解得 sin2θ 的值. 解答: 解:∵sin( 得 sin2θ=﹣ , 故答案为﹣ . 点评:本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦的应用,属于基础题. +θ)= ,即 + = ,平方可得 + sin2θ= ,解 + = ,平方可得 + sin2θ= ,由

12.△ ABC 中,A= 长为 .

,则在△ ABC 的外接圆中,大小为 30°的圆心角所对的弧

考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:由题意和正弦定理求出△ ABC 的外接圆半径为 R,利用弧长公式求出大小为 30°的圆 心角所对的弧长. 解答: 解:设△ ABC 的外接圆半径为 R, 由题意知,△ ABC 中,A= ∴2R= = =4,则 R=2, ,

∴大小为 30°的圆心角所对的弧长 L= 故答案为: .

=



点评:本题考查正弦定理的比值与三角形的外接圆半径关系,以及弧长公式的应用,属于中 档题. 13.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示, 则 的值是 .

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:计算题. 分析:根据顶点的纵坐标求 A,根据周期求出 ω,由五点法作图的顺序求出?的值,从而求 得 f(x)的解析式,进而求得 解答: 解:由图象可得 A= 再由五点法作图可得 2× , = , 的值 ﹣ ,解得 ω=2.

+?=π,?=

故 f(x)= 故 故答案为 =

sin(2x+ sin(2×

) , + )= sin(2× )= ,



点评:本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+?)的部分图象求函数的解析式,属于中档题. 14.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π,且 当 x∈[0, ]时,f(x)=sinx,则 f( )的值为 .

考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的求值. 分析:由题意利用函数的周期性偶函数,转化 f( )为 f( ) ,即可求出它的值.

解答: 解:定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期 是 π,且当 x∈[0, 所以 f( 故答案为: ]时,f(x)=sinx, )=f( )=sin = .

)=f(﹣ .

点评:本题是基础题,考查函数的周期性,偶函数,函数值的求法,利用性质化简 f( =f(﹣ )=f( )=sin 是解题关键,仔细体会.



15.给出下列四个命题: ①函数 的一条对称轴是 x= ,0)对称; ;

②函数 y=tanx 的图象关于点( ③正弦函数在第一象限为增函数 ④存在实数 α,使 sinα+cosα=

以上四个命题中正确的有①②(填写正确命题前面的序号) 考点:命题的真假判断与应用. 专题:三角函数的图像与性质;简易逻辑. 分析:①把 x= 代入函数得 y=2,为最大值,判断①. ,0)是函数 y=tanx 的图象的对称中心,判断②.

②由正切函数的图象特征可得(

③通过举反例可判断③. ④利用两角和与差的三角函数以及三角函数的值域判断④; 解答: 解:对于①,把 x= 代入函数得 y=2,为最大值,故①正确. ,0)是函数 y=tanx 的图象的对称中心,故②正

对于②,由正切函数的图象特征可得(

确. 对于③, 正弦函数在第一象限为增函数, 不正确, 如 390°>60°, 都是第一象限角, 但 sin390° <sin60°. 对于④,对于①,sinα+cosα= ,∴④不正确;

故答案为:①②. 点评:本题考查正弦函数的单调性、奇偶性、 周期性、对称性, 掌握正弦函数的图象和性质, 是解题的关键,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 tan2α 的值. 考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析: (Ⅰ) 由 α 的终点经过 P 点, 根据 P 坐标, 利用任意角的三角函数定义求出 sinα, cosα, tanα 的值,原式利用诱导公式化简,变形后将各自的值代入计算即可求出值; (Ⅱ)原式利用二倍角的正切函数公式化简,将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ)∵角 α 的终边经过 P(﹣3, ) , ∴sinα= = ,cosα=﹣ =﹣ ,tanα=﹣ , 的值: .

则原式=

=



= ﹣2=﹣ ;

(Ⅱ)∵tanα=﹣



∴tan2α=

=

=﹣



点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

17.如图,要计算东湖岸边两景点 B 与 C 的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取 A 和 D 两点,现测得 AD⊥CD,AD=10km,AB=14km,∠BDA=60°,∠CBD=15°,试求两景点 B 与 C 的距离.

考点:解三角形的实际应用. 专题:应用题;解三角形. 分析:利用余弦定理求出 BD,再用正弦定理求 BC 即可. 解答: 解:在△ ABD 中,设 BD=x, 2 2 2 则 BA =BD +AD ﹣2BD?AD?cos∠BDA, 2 2 2 即 14 =x +10 ﹣2?10x?cos60°, 2 整理得:x ﹣10x﹣96=0, 解之:x1=16,x2=﹣6(舍去) ,… 由正弦定理,得: ∴ . , …

点评:本题考查余弦定理、正弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

18.已知函数 (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)若 f(2α)﹣3= ,求 .

考点:五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;正弦定理的应用. 专题:三角函数的求值. 分析: (1)利用五点法即可画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)根据条件进行化简,结合同角的三角函数关系进行化简即可. 解答: 解: (1)列表 x + y … 0 3 6 2π 3 2π 0 2π 3

… (2)∵ ∴ ∴ , … ,

点评:本题主要考查三角函数图象和三角函数值的化简,利用五点法是解决本题的关键. ,x∈R.

19.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期和对称轴方程; (2)求不等式 f(x)≥ 中 x 的取值范围.

考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简可得 f(x)= 数的周期性及其求法可求最小正周期,由 方程. (2)由 ,结合正弦函数图象可得 ,化简可得 x 的取值范围. 解答: 解: (1)由已知,有 = = = = .… ,由三角函 得 f(x)的对称轴

所以,f(x)的最小正周期 由 所以 f(x)的对称轴方程为 (2)由 结合图象可得 化简可得 所以不等式 得 得

.…

… , ,… ,

中 x 的取值范围为



点评:本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数 的图象和性质,属于基本知识的考查.
2

20. (13 分)已知函数 f(x)= 数,且相邻两对称轴间的距离为 (1)当 x∈(﹣ ,

sin(ωx+φ)+2sin .

﹣1(ω>0,0<φ<π)为奇函

)时,求 f(x)的单调递减区间; 个单位长度,再把横坐标缩短到原来的 , ]时,求函数 g(x)的值域.

(2)将函数 y=f(x)的图象沿 x 轴方向向右平移

(纵坐标不变) ,得到函数 y=g(x)的图象.当 x∈[﹣

考点:二倍角的正弦;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象变换. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析: (1)f(x)=2sin(ωx+φ+ 距离为 ,即可求出当 x∈(﹣ ) ,利用函数是奇函数,0<φ<π,且相邻两对称轴间的 , )时,f(x)的单调递减区间; , ]

(2)根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得 y=g(x) ,即可求出当 x∈[﹣ 时,求函数 g(x)的值域. 解答: 解: (1)f(x)= =2sin(ωx+φ+ ) sin(ωx+φ)+2sin
2

﹣1=

sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)

∵函数是奇函数,0<φ<π

∴φ=﹣



∴f(x)=2sinωx, ∵相邻两对称轴间的距离为 ∴ =π, ,

∴ω=2, ∴f(x)=2sin2x, ∵x∈(﹣ , ) , ) , ,﹣ ) . π,﹣ ,﹣1]. ], ) ;

∴2x∈(﹣π,

∴f(x)的单调递减区间为(﹣ (2)由题意,g(x)=2sin(x﹣ 当 x∈[﹣ , ]时,x﹣ ∈[﹣

∴函数 g(x)的值域为[﹣

点评:本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题. 21. (14 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知 2bcosA=acosC+ccosA (1)求角 A 的大小; (2)若△ ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值. (3)若 2sin
2

=1,试判断△ ABC 的形状.

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:三角函数的求值;解三角形. 分析: (1)由题意可得 2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,可求得 cosA 的值,进而求得 A. (2)利用三角形面积公式和已知条件求得 c,然后利用余弦定理求得 a,进而根据正弦定理 求得 2R,最后代入 sinBsinC 的表达式中求得答案. (3)化简可得 ,结合 B 的范围,可求 B,C,即可得解.

解答: 解: (1)由 2bcosA=acosC+ccosA 得 2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA, 即 2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,所以 (2)由
2 2 2

,所以

. …

,得 bc=20.…

又 b=5,知 c=4.由余弦定理可得:a =b +c ﹣2bccosA=21,…

又由正弦定理得△ ABC,4R =

2

=

=28.

∴sinBsinC= (3)∵

=

= .… ,

∴1﹣cosB+1﹣cosC=1 即 cosB+cosC=1… ∴ ∴ ∵ 由(1)得 ,所以 , …(13 分) 即 ,

所以△ ABC 为等边三角形.…(14 分) 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用. 解题的关键是利用正弦定理完成边角问 题的转化和化归,属于中档题.


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