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2013届南京盐城一模数学(含附加含答案)


盐城市、南京市届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案
选修 4——2 矩阵与变换 已知矩阵 M ? ?

?1 2 ? ? 的一个特征值为 3,求 M 的另一个特征值,及对应的特征向量 ?2 x ?

解:M 的特征多项式为 f (? ) ? (? ? 1)(? ? x) ? 4 ,令 f (? ) ? (? ?

1)(? ? x) ? 4 ,由题意,

f (3) ? (3 ? 1)(3 ? x) ? 4 ? 0 ,故 x ? 1 ,所以 f (? ) ? (? ?1)(? ?1) ? 4 ,
再由 f (? ) ? (? ? 1)(? ? 1) ? 4 =0,得 ? ? ?1, 或 ? ? 3 ,所以,M 的另一个特征值为 ? ? ?1, 当 ? ? ?1, 时,由 ?

?(? ? 1) x ? 2 y ? 0 ?1? 得对应的特征向量为 ? ? ? ? ??2 x ? 2 y ? 0 ? ?1?

选修 4-4 参数方程极坐标 在极坐标系中, 为曲线 ? 2 ? 2? cos? ? 3 上的懂点, 为直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 7 ? 0 上 A B 的动点,求 AB 的最小值。 解:点 A 在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上,点 B 在直线 x ? y ? 7 ? 0 上,圆心 (? 1, 0) 到直线

x ? y ? 7 ? 0 的距离为 d ?
选修 4——5 不等式选讲

| ?1 ? 7 | ? 4 2 ,所以 AB 的最小值为 4 2 ? 2 2

设 a1 , a2 ?an 都是正数,且 a1a2 ? an ? 1,求证: (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ? 2n ( 证明:由 a1 , a2 ?an 都是正数得 1 ? a1 ? 2 a1 ,1 ? a2 ? 2 a2 ,? 1 ? an ? 2 an ,将以上 不等式相乘,由 a1a2 ? an ? 1即得所证。 22、某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为 P1=

2 ,乙的命中率为 P2,在射击比武 3

活动中每人射击两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少 于一发,则称该射击小组为“和谐组” (1) 若 P2=

1 ,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率; 2

(2)若计划在 2013 年每月进行一次检测,记这 12 次检测中 该小组获得“和谐组”的次数 为 X ,如果 EX ? 5 ,求 P2 的取值范围. 解:(1) P ? C2
1

21 111 1 2 1 C2 ? C2 ( ) 2 ? 33 22 2 3

(2)该小组在一次检测中获得“和谐组”的概率为
1 p ? C2

12 1 8 4 2 2 2 C2 p2 (1 ? p2 ) ? C2 p2 ? p2 ? p2 33 9 9

由于 X ~B(12,P),所以 EX ? 12 p ,由 EX ? 5 ,得 12 p ? 5, 12(

8 4 2 p2 ? p2 ) ? 5 ,解得 9 9

3 ? p2 ? 1 。 4
23、已知 f ( x) ? (2 ? x )n (n ? N ? ) , (1)若展开式中含 x3 的系数为 14.求 n 的值; (2)当 n ? 3 时,求证 f ( x ) 必可表示成 s ? s ?1 ( s ? N ? )的形式。 证明: (1) n ? 7 (2)由二项式定理得
o 1 n (2 ? 3)n ? Cn 2n ? Cn 2n?1 3 ??? Cn ( 3)n ? P ? Q ,

其中 P 为正整数,Q 为含有 3 的无理数, 所以 (2 ? 3)n ? P ? Q ,两式相乘,得

[(2 ? 3)(2 ? 3)]n ? P2 ? Q2 ,即 P2 ? Q2 ? 1 ,记 P2 ? S , 则 Q2 ? S ?1 ,
所以 (2 ? 3)n ?

s ? s ?1 。得证。


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