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高二1班递推数列的通项求法培优资料


高二(1)班《递推数列的通项求法》培优资料(答案版)
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的 数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列 通项公式的方法,希望能对大家有帮助。

类型一. an?1 ? an ? f (n) a ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差

相加法)求解。 解法:把原递推式转化为 n?1
例 1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n 1 1 1 1 解:由条件知: a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1 分 别 令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上 式 得 (n ? 1) 个 等 式 累 加 之 , 即 (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 ) 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n

课堂练习一. n 1. 数列 {an }满足 a1 ? 1且 an?1 ? an ? 3 ,求数列 {an }的通项公式 an ;

2. 数列 {an }满足 a1 ? 1且 an?1 ? an ? (3n ?1) ,求数列 {an }的通项公式 an .

n n 1.【解】 :由已知 an?1 ? an ? 3 可得 an?1 ? an ? 3 ?a2 ? a1 ? 31 ? 2 ?a3 ? a2 ? 3 ? 3 ?a4 ? a3 ? 3 ?...... ? ?a ? a ? 3n ?1 从 而 可 得 ? n n ?1 , 这 n ?1 个 式 子 两 边 相 加 , 即 得

an ? a1 ? 3 ? 32 ? 33 ????? 3n?1,
1? (1 ? 3n ) 3n ?1 ? 1? 3 2 。 ∴ a ? an ? (3n ?1) a ? a ? 3n ?1 2. 【解】 :由已知 n?1 可得 n?1 n an ? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ??? ? 3n?1 ?

1

?a2 ? a1 ? 2 ?a ? a ? 5 ? 3 2 ? ?a4 ? a3 ? 8 ??????? ? ?a ? an ?1 ? 3(n ? 1) ? 1 从而可得 ? n ,这 n ?1 个式子两边相加, 即得: an ? a1 ? 2 ? 5 ? 8 ???? ? [3(n ?1) ?1]

(n ?1)[2 ? 3(n ?1) ?1] 3n2 ? 5n ? 4 an ? 1 ? 2 ? 5 ? 8 ? ??? ? [3(n ?1) ?1] ? 1 ? ? 2 2 ∴ 。 变式:(2004全国(I)理22/22) {a }中a1 ? 1,且 a2k ? a2k ?1 ? (?1) k , a2k ?1 ? a2k ? 3k , 其中k=1,2,3,…….(I) 已知数列 n
求a3, a5; (II)求{ an}的通项公式.

解:? a2k ? a2k ?1 ? (?1) k , a2k ?1 ? a2k ? 3k

? a2k ?1 ? a2k ? 3k ? a2k ?1 ? (?1) k ? 3k ,即 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 3k ? (?1) k ? a3 ? a1 ? 3 ? (?1) , a5 ? a3 ? 32 ? (?1) 2 ……
将以上 k 个式子相加,得 …… a2k ?1 ? a2k ?1 ? 3k ? (?1) k

3 1 a 2 k ?1 ? a1 ? (3 ? 32 ? ? ? ? ? 3k ) ? [( ?1) ? (?1) 2 ? ? ? ? ? (?1) k ] ? (3k ? 1) ? [( ?1) k ? 1] 2 2 1 k ?1 1 k 将 a1 ? 1 代入,得 a 2 k ?1 ? ? 3 ? ( ?1) ? 1 , 2 2 1 k 1 a 2 k ? a 2 k ?1 ? (?1) k ? ? 3 ? (?1) k ? 1 。 2 2 ? n ?1 ? 1 n2 1 1 2 ? ? 3 ? ? (?1) ? 1(n为奇数) ?2 2 经检验 a1 ? 1 也适合,? a n ? ? n n ? 1 ? 3 2 ? 1 ? (?1) 2 ? 1(n为偶数) ?2 2 ?

类型二. 解法:把原递推公式转化为

an?1 ? f (n)an

an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an 3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 例 2:已知 a1 ? 3 , a n ?1 ? 3n ? 2 3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 ? ? ???? ? a1 解: an ? 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2 3n ? 4 3n ? 7 5 2 6 ? ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 1 3n ? 4 8 5 3n ? 1 。

2

课堂练习二.
1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

解:由条件知


an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘之, ? an n ?1

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 2 2 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? 又? a1 ? ,? a n ? n 3 3n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n

2. 已知 {an } 中,
解:

a n ?1 ?

n an n ? 2 且 a1 ? 2 求数列通项公式。

an an?1 an?2 a3 a2 n ? 1 n ? 2 n ? 3 n ? 4 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? an?1 an?2 an?3 a2 a1 n ? 1 n n ? 1 n ? 2 4 3 n(n ? 1) an 2 4 ? an ? n(n ? 1) n(n ? 1) ∴ a1 ∴
变式:(2004,全国 I,理 15. )已知数列{an},满足 a1=1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2),则{an}的通项 an ? ?

?1 ? ___

n ?1 n?2

解:由已知,得 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 ? nan ,用此式减去已知式,得 当 n ? 2 时, an?1 ? an ? nan ,即 an?1 ? (n ? 1)an ,又 a2 ? a1 ? 1,

? a1 ? 1,

a a a2 a n! ? 1, 3 ? 3, 4 ? 4,? ? ?, n ? n ,将以上 n 个式子相乘,得 an ? (n ? 2) 2 a1 a2 a3 an?1

? ) 0) 类型三 an?1 ? kan ? b (其中 k , b 均为常数, (k b( k 1? ) 此类型的数列称为一阶线性递推数列). 通常有如下4种方法:
方法1:待定系数法(用待定系数法转化为等比数列) ; 把原递推公式转化为: 列求解(此法较简单! ) 方法2:用姊妹式相减法转化为等比数列; 方法3:两边同除以 k 方法4:用迭代法.
n ?1

an?1 ? x ? k (an ? x)

,其中

x?

b 1 ? k ,再利用换元法转化为等比数

an?1 an an?1 an b b ? n ? n?1 ? n ? n?1 n ?1 n ?1 k k ,即 k k k ,转化为类型一用累加法; 得: k

3

例 3 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 解:设递推公式 an?1 ? 2an ? 3 可以转化为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 .故递 推公式为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且

?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 .
变式 1:(2006,重庆,文,14) (key: an ? 2 n?1 ? 3 ) 在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________ 变式 2:(2006. 福建.理 22)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列{bn}滿足 4 1 4 2 ?4 n
b ?1 b ?1 b ?1

bn?1 an?1 ? 3 ? ? 2 .所以 bn an ? 3

? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明:

数列{bn}是等差数列; )证明: (Ⅲ

(I)解:? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ), ? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), ??an ?1 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项, 2 ? 为公比的等比数列 ? an ? 1 ? 2n.
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a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2


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an ? 2n ?1(n ? N * ).

(II)证法一:? 4 1 4 2 ...4 n

k ?1 k ?1

k ?1

? (an ? 1)kn . ? 4( k1 ?k2 ?...?kn )?n ? 2nkn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , ① 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1. ② ② - ① , 得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0, nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0. ③ -④ ,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),
证法二:同证法一,得

??bn ? 是等差数列

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?bn?1 ? bn ? d ,??bn ? 是等差数列
(III)证明:?

(n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 令 n ? 1, 得 b1 ? 2. 设 b2 ? 2 ? d (d ? R), 下面用数学归纳法证明 bn ? 2 ? (n ? 1)d . (1)当 n ? 1, 2 时,等式成立 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时, bk ? 2 ? (k ?1)d , 那么 k 2 k 2 bk ?1 ? bk ? ? [2 ? (k ? 1)d ] ? ? 2 ? [(k ? 1) ? 1]d . k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立 * 根据(1)和(2) ,可知 bn ? 2 ? (n ? 1)d 对任何 n ? N 都成立
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ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2 a a a n ? 1 ? 2 ? ... ? n ? . a2 a3 an?1 2

4

?

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2 a a a n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? 1 ? 2 ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2
类型四

an?1 ? pan ? rqn (其中 p,q,r 均为常数, (rpq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )

a p a r 方法一: 一般地, 要先在原递推公式两边同除以 q n?1 , 得: n ?1 ? ? n ? 引入辅助数列 ?bn ? n ?1 n q q q q a p r (其中 bn ? n ) ,得: bn ?1 ? bn ? 再待定系数法解决。 n q q q

方法二:在原递推公式两边同除以 pn?1 ,得: 例 4:已知数列 ?an ? 中, a1 ?

an?1 an r q n ,转化为类型一用累加法. ? ? ? p n?1 p n p p n

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 1 1 n ?1 2 解:在 a n ?1 ? a n ? ( ) 两边乘以 2 n ?1 得: 2 n?1 ? a n?1 ? (2 n ? a n ) ? 1 3 2 3 b 3 2 2 2 n 令 bn ? 2n ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,解之得: bn ? 3 ? 2( ) 所以 an ? n ? n ? n . n 3 3 2 2 3

变 式 1: ( 2006, 全 国 I,理 22/22 ) 设数列 ?an ? 的 前 n 项 的和 S n ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , 3 3 3 n n 3 2 n ? 1, 2,3,? ?(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; ? ? (Ⅱ)设 Tn ? , n ? 1, 2,3,? ?,证明: ? Ti ? . 2 Sn i ?1

4 4 2 解: (I)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? a1 ? ? ? a1 ? 2 ; 3 3 3
当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 即 an ? 4an?1 ? 2n , 可得: an ? 4n ? 2n 4 1 2 1 2 (Ⅱ)将 an ? 4n ? 2n 代入①得 Sn= ×(4n-2n)- ×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) = ×(2n+1 3 3 3 3 3 -1)(2n-1) Tn= 2n 3 2n 3 1 1 = × n+1 = ×( n - n+1 ) Sn 2 (2 -1)(2n-1) 2 2 -1 2 -1

4 1 2 4 1 2 a n ? ? 2 n?1 ? ? ( a n?1 ? ? 2 n ? ) , 3 3 3 3 3 3

5

所以,

?
i ?1

n

Ti =

3 2

? ( 2 -1 - 2
1
i
i?1

n

i+1

1 3 1 1 3 ) = ×( 1 - i+1 ) < 2 2 -1 2 -1 2 -1



5 : (2007 天 津 高 考 题 21/22 第 ( 1 ) 问 ) 已 知 数 列 ?an ? 满 足

( a1 ? 2, an?1 ? ?an ? ?n?1 ? (2 ? ?) ? 2n , n ? N * )其中 ? ? 0 ,求数列的通项公式 方法指导:将已知条件中的递推关系变形,应用转化成等差数列形式,从而为求 ?an ? 的通项公 式提供方便,一切问题可迎刃而解。

解: an?1 ? ?an ? ?n?1 ? (2 ? ?) ? 2n , (n ? N*,? ? 0) a a 2 2 ? n ?1 ? n ? ( ) n ?1 ? ( ) n ? 1 n ?1 n ? ? ? ? a n ?1 an 2 2 ? n ?1 ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n ? 1, 。 ? ? ? ? a 2 2 2 ? ?a ? ?a 所以 ? n?1 ? ( ) n?1 ? ? ? n ? ( ) n ? ? 1,? 1 ? ? 0 n ?1 n ? ? ?? ? ? ? ? ?? 2 ? ?a 所以 ? n ? ( ) n ? 为等差数列,其首项为 0,公差为 1; n ? ? ?? a 2 ? n ? ( ) n ? n ? 1,? a n ? (n ? 1)?n ? 2 n n ? ? 课堂练习:已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1,a1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。
解: a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 n ?1 ,得

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

? an 3
n

2 1 ? , 3 3 n ?1 ? 2 1 ? , 3 3 n ?1

则 故

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

?(

an 3
n

?

a n ?1 a a n ?2 a n ? 2 a n ?3 a 2 a1 a ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 a n ?1 a n ?1 3 3 3 3 3 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ? 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 ? (1 ? 3 n ?1 ) a n 2(n ? 1) 3 n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1? ? ? 3 1? 3 3 2 2 ? 3n 3
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? 3 2 2

6

类型五 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)
解法一(待定系数法): 先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ? 解法二(特征根法):

?s ? t ? p ?st ? ?q

叫做数列 ?an ? 的特征方程。

对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan , 1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? , 方程 x2 ? px ? q , a 结论:若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,

n n ( i )当 x1 ? x 2 时, 数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 , 其中 A, 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决 B n n 定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 ,得到关于 A、B 的方程组) ; n ( ii )当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1 ?1 , 其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决

n 定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1 ?1 ,得到关于 A、B 的方程组) 。

列 ?an ? 的通项公式。

例 5.已知数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求数
2 (a n ?1 ? a n ) , 3

解法一 (待定系数——累加法) 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0 , a n ? 2 ? a n ?1 ? :由 得 且 a2 ? a1 ? b ? a 。

2 2 n ?1 为公比的等比数列,于是 a n ?1 ? a n ? (b ? a )( ) 。 3 3 2 2 2 把 n ? 1,2,3,? ? ?, n 代入,得 a2 ? a1 ? b ? a , a 3 ? a 2 ? (b ? a ) ? ( ) , a 4 ? a3 ? (b ? a ) ? ( ) , 3 3 ??? 2 a n ? a n ?1 ? (b ? a)( ) n ? 2 。把以上各式相加,得 3 2 1 ? ( ) n ?1 2 2 2 3 a n ? a1 ? (b ? a)[1 ? ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) n ? 2 ] ? (b ? a) 。 2 3 3 3 1? 3 2 n ?1 2 n ?1 ? a n ? [3 ? 3( ) ]( b ? a) ? a ? 3(a ? b)( ) ? 3b ? 2a 。 3 3 解法二 (特征根法) 数列 ?an ? :3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b : 2 2 n ?1 2 n n 的特征方程是: 3x ? 5 x ? 2 ? 0 。? x1 ? 1, x 2 ? ,? an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 ? A ? B ? ( ) 。 3 3 又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是

则数列 ?an?1 ? an ?是以 b ? a 为首项,

7

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a 2 n ?1 ? 故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) 2 ?? ? 3 ?b ? A ? 3 B ?B ? 3(a ? b) ? 2 1 课堂练习. 1.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3 2 1 解:由 a n ? 2 ? a n ?1 ? a n 可转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 3 3 2 ? 1 ?s ? 1 ? ?s ? t ? 3 ? ? ?s ? ? 即 an?2 ? (s ? t )an?1 ? stan ? ? ?? 3 1或? ?st ? ? 1 ?t ? ? 3 ?t ? 1 ? ? ? 3 ? 1 ?s ? 1 ? ? ?s ? ? 这里不妨选用 ? 3 , 大 家 可 以 试 一 试 ), 则 1 (当然也可选用 ? ?t ? ? 3 ?t ? 1 ? ? 1 1 a n ? 2 ? a n?1 ? ? (an ?1 ? a n ) ? ?an?1 ? an ?是以首项为 a2 ? a1 ? 1 ,公比为 ? 的等比数列,所 3 3 1 n?1 以 a n ?1 ? a n ? (? ) ,应用类型 1 的方法, 分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代入上式得 (n ? 1) 个 3 1 1 ? (? ) n?1 1 0 1 1 1 n?2 3 等 式 累 加 之 , 即 a n ? a1 ? (? ) ? (? ) ? ? ? ? ? ? ? ?(? ) 又 ? a1 ? 1 , 所 以 ? 1 3 3 3 1? 3 7 3 1 a n ? ? (? ) n?1 。 4 4 3 2.已知数列 ?an ? 中 a1 ? 5, a2 ? 2, an ? 2an?1 ? 3an?2 , (n ? 3) 求这个数列的通项公式。 解:? an ? 2an ? 3an?2 ? an ? an?1 ? 3(an?1 ? an?2 ) 又 a1 ? a2 ? 7, ?an ? an?1 ?形成首项为 7,公比为 3 的等比数列,
则 an ? an?1 ? 7 ? 3n?2 ………………………① 又 an ? 3an?1 ? ?(an?1 ? 3an?2 ) ,

a2 ? 3a1 ? ?13 , ?an ? 3an?1 ?形成了一个首项为—13,公比为—1 的等比数列
则 an ? 3an?1 ? (?13) ? (?1) n?2 ………………………②

4an ? 7 ? 3n?1 ? 13? (?1) n?1 7 13 ? a n ? ? 3 n ?1 ? (?1) n ?1 4 4
①? 3 ? ② 小结:本题是两次构造等比数列,属于构造方面比较级,最终用加减消元的方法确定出数列的 通项公式。

8

变 式 1: ( 2006 , 福 建 , 文 ,22, 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列

a1 ? 1 , a2? 3 n,? ? a 2
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? n

3 ?1 a

2? ( a n n

*

(I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 N ).
1 2 n n

?an ?

满足

b ?1 (III)若数列 ?bn ? 满足 4b ?14b ?1...4 ? (an ?1)b (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差 ?an ? 的通项公式;

数列 (I)证明:? an?2 ? 3an?1 ? 2an ,
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? an? 2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ),? a1 ? 1, a2 ? 3,?

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列
(II)解:由(I)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

an? 2 ? an?1 ? 2(n ? N * ). an?1 ? an
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?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1
n n ? 2n?1 ? 2? 2? ? . ? ? ? n 2 N 1* ( . . 2 1 ? ) . (b ?b ?...?bn ) b ?1 b b ?1 b ?1 (III)证明:? 4 1 4 2 ...4 n ? (an ? 1) n , ? 4 1 2 ? 2nbn , ?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , ①2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1. ② ② -① ,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0. ③ nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0. ④ ④ -③ ,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0, ?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ), ??bn ? 是等差数列

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类型六 递推公式为 S n 与 an 的关系式(或 Sn ? f (an ) )



















an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n
行求解。 例 6.已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) an ? ? 与 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2) (n ? 2) 或与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进
利 用

1 2
n?2

.(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an .

解: (1)由 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

得:

于是 S n ?1 ? S n ? (a n ? a n ?1 ) ? ( 所以 a n ?1 ? a n ? a n ?1 ?

1 2
n?2

1 ? a n ?1 2 n?1 (2)利用类型四( an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) )的方法,

) 2 n ?1 1 1 ? an ? n . 2 2

?

1

9

上式两边同乘以 2

?

1 ? a1 ? 1 . 于是数 列 2 n 2n an 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,所以 2n an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ? a n ? n ?1 2
n ?1

得: 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2 由 a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?

1? 2

?

变式:(06 陕西,理,) 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比 数列,求数列{an}的通项 an 解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴ 1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3 又 10Sn-1=an-12+5an- 10a +6(n≥2),② 1 由① -② 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵ n+an-1>0 , ∴ n 得 a a -an-1=5 (n≥2) 当 a1=3 时,a3=13,a15=73 a1, a3,a15 不成等比数列∴ 1≠3;当 a1=2 时, a a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴ 1=2, ∴ n=5n-3 a a
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变 式 :
2=3

(05, 江 西 , 文 , 已 知 数 列 {an} 的 前

n

项 和

Sn 满 足

Sn - Sn



1 3 (? ) n ?1 (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? , 求数列{an}的通项公式. 2 2 1 n?1 解:? Sn ? Sn?2 ? an ? an?1 ,? an ? an?1 ? 3 ? (? ) (n ? 3) ,两边同乘以 (?1) n ,可得 2 1 1 (?1) n an ? an?1 (?1) n?1 ? 3 ? (?1) n (? ) n?1 ? ?3 ? ( ) n?1 令 2 2 1 bn ? (?1) n an ? bn ? bn?1 ? ?3 ? ( ) n?1 (n ? 3) 2 1 1 bn?1 ? bn?2 ? ?3 ? ( ) n?2 …… …… b3 ? b2 ? ?3 ? ( ) 2 2 2 1 1 1 n?2 ? ?( ) 1 n?1 1 n?2 1 2 4 4 2 bn ? b2 ? 3 ? [( ) ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) ] ? b2 ? 3 ? 1 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 ? b2 ? ? 3 ? ( ) (n ? 3) 2 2 3 5 5 2 又? a1 ? S1 ? 1 , a 2 ? S 2 ? S1 ? ? ? 1 ? ? ,? b1 ? (?1)1 a1 ? ?1 , b2 ? (?1) a 2 ? ? 2 2 2 5 3 1 1 ? bn ? ? ? ? 3 ? ( ) n ?1 ? ?4 ? 3 ? ( ) n?1 (n ? 1) 。 2 2 2 2 1 n ?1 ? ?4 ? 3 ? ( 2 ) , n为奇数, 1 ? ? an ? (?1) n bn ? ?4(?1) n ? 3 ? (?1) n ? ( ) n?1 ? ? 2 ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n?1 , n为偶数. ? 2 ? 课堂练习:

1. 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,已知 a1=1,an=-Sn·n-1(n≥2),则 Sn=_______________. S
(key: Sn ?

1 ) n

10

2. 已知 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项和 S n 与 an 满足 1 { } (1)求证: S n 为等差数列 (2)求 {an } 的通项公式 解:
(1)

an ?

2 2S n 2S n ? 1 ( n ? 2 )

S n ? S n?1 ?

1 1 ? ?2 S n S n ?1 1 ? 2n ? 1 Sn ∴

2 2S n 2S n ? 1 ∴ S n?1 ? S n ? 2S n S n?1 1 { } ∴ S n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列

1 2 ) ?2 2n ? 1 ? an ? (n ? 2) 2 1 1 4n ? 8n ? 3 2? ?1 Sn ? 2n ? 1 2n ? 1 (2) ∴ n ?1 ?1 ? an ? ? ?2 ? 4n 2 ? 8n ? 3 (n ? 2) ? 又 ∵ a1 ? 1 ∴ 2(

、 类型七 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 0,a ? 0)
an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) ,与已知递推式比较,解出 x, y ,从而转化为 ?an ? xn ? y? 是公比为 p 的等比数列。 例 7:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .
解:设 bn ? an ? An ? B, 则an ? bn ? An ? B ,将 a n , a n?1 代入递推式,得
解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 , 即 令

bn ? An ? B ? 3?bn?1 ? A(n ?1) ? B? ? 2n ?1 ? 3bn?1 ? (3A ? 2)n ? (3B ? 3A ? 1)
? A ? 3A ? 2 ?A ? 1 ? ?? ?? ? B ? 3B ? 3 A ? 1 ? B ? 1 ?

? 取bn ? an ? n ? 1 …(1)则 bn ? 3bn?1 ,又 b1 ? 6 ,故 bn ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n 代
入(1)得 an ? 2 ? 3 ? n ? 1
n

11

说明: (1)若 f (n) 为 n 的二次式,则可设 bn ? an ? An2 ? Bn ? C ;(2) 本题也可由 an ? 3an?1 ? 2n ? 1 , an?1 ? 3an?2 ? 2(n ? 1) ? 1 ( n ? 3 )两 式相减得 an ? an ?1 ? 3(an ?1 ? an ? 2 ) ? 2 转化为 bn?2 ? pbn?1 ? qbn 求之. 课堂练习:
已知: a1 ? 1 , n ? 2 时,

an ?

1 a n ?1 ? 2n ? 1 2 ,求 {an } 的通项公式。

1 a n ? An ? B ? [a n ?1 ? A(n ? 1) ? B] 2 解:设 1 1 1 1 a n ? a n ?1 ? An ? A ? B 2 2 2 2 ? 1 ?? 2 A ? 2 ? ? ? A ? ?4 ?? 1 A ? 1 B ? ?1 ? ? 2 ∴ ? 2 解得: ? B ? 6

∴ a1 ? 4 ? 6 ? 3

1 {an ? 4n ? 6} 是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列 ∴ 1 3 a n ? 4n ? 6 ? 3 ? ( ) n ?1 a n ? n ?1 ? 4n ? 6 2 2 ∴ ∴

变式:1(2006,山东,文,22,本小题满分 14 分) 1 2 已知数列{ an }中, a1 ? 、点(n、an ?1 ? an) 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3… 2 (Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 bn ? ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项;
(Ⅲ)设 S n、Tn 分别为数列?a n ? ?bn ? 的前 n 项和,是否存在实数 ? , 使得数列 ? 、 差数列?若存在,试求出 ? 解: (I)由已知得
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? Sn ? ?Tn ? ? 为等 ? n ?

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若不存在,则说明理由

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1 3 3 1 3 , 2an ?1 ? an ? n, ? a2 ? , a2 ? a1 ?1 ? ? 1 ? ?, ? 2 4 4 2 4 又 bn ? an?1 ? an ?1, bn?1 ? an?2 ? an?1 ?1, an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? b a ? a ?1 1 2 2 ? 2 ? n ?1 ? n ?1 n ? ? . bn an ? 2 ? an ?1 ? 1 an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2 3 1 ?{bn } 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列 4 2 a1 ?
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3 1 n ?1 3 1 ?( ) ? ? ? n , 4 2 2 2 3 1 3 1 3 1 ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , ?????? 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 1 1 ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 将以上各式相加得:? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 2 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 ? an ? n ? n ? 2. 2 S ? ?Tn } 是等差数列 (III)解法一:存在 ? ? 2 ,使数列 { n n 1 1 1 ? Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3( 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? n(n ? 1) ? 2n ? 3? 2 1 2 1? 2 1 n 2 ? 3n 3 n 2 ? 3n ? 3(1 ? n ) ? ?? n ? ? 3. 2 2 2 2 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 S n ? ?Tn S ? ?Tn } 是等差数列的充要条件是 n ? An ? B, ( A 、 B 是 常 数 ) 即 数列{ n n Sn ? ?Tn ? An2 ? Bn,
(II)由(I)知, bn ? ?
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3 n2 ? 3n 3 3 n2 ? 3n ? 1 ? ? 3 ? ? (? ? n?1 ) ? ? 3(1 ? )(1 ? n ) n 2 2 2 2 2 2 2 S ? ?Tn ? } 为等差数列 ? 当且仅当 1 ? ? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 { n 2 n S ? ?Tn } 是等差数列 由(I)(II)知, an ? 2bn ? n ? 2 解法二:存在 ? ? 2 ,使数列 { n 、 n n(n ? 1) ? 2n ? 2Tn ? ?Tn n(n ? 1) Sn ? ?Tn 2 ? S n ? 2T ? ? 2n ? 2 n n
又 Sn ? ?Tn ? ?
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3 1 ? (1 ? n ) 4 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 1 2 2n 2 2n?1 1? 2 Sn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 3 S ? ?Tn 3 ? ? (? ? n ?1 ) ? 当且仅当 ? ? 2 时,数列 { n } 是等差数列 n 2 n 2 2 n 练习: (2007 年天津文 20/22)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* .
n?3 ? ?2 ? ? Tn 又 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 2 n
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(Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明不 等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立. 解: (Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得

an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* .
又 a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为

an ? 4n?1 ? n .
所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?
4n ? 1 n(n ? 1) ? . 3 2

(Ⅲ)证明:对任意的 n ? N* ,

Sn ?1 ? 4Sn ?

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? ? 4? ? ? 3 2 3 2 ? ?

1 ? ? (3n 2 ? n ? 4) ≤ 0 . 2

所以不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立.

r 类型八 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0) 解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解。 1 2 例:已知数列{ an }中, a1 ? 1, a n?1 ? ? a n (a ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式 . a 1 2 1 解:由 a n ?1 ? ? a n 两边取对数得 lg a n ?1 ? 2 lg a n ? lg , a a 1 1 2 n ?1 令 bn ? lg an ,则 bn ?1 ? 2bn ? lg ,再利用待定系数法解得: a n ? a ( ) 。 a a

14

变式:(05 江西理)已知数列 {an } 的各项都是正数且满足 : ,

1 an (4 ? an ), n ? N . (1)证明 an ? an?1 ? 2, n ? N ; 2 (2)求数列 {an } 的通项公式 an. 1 解:用数学归纳法并结合函数 f ( x ) ? x ( 4 ? x ) 的单调性证明: 2 1 3 a (1) 方法一 用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时, 0 ? 1, a1 ? a 0 (4 ? a 0 ) ? , ∴ a0 ? a1 ? 2 , 2 2 命 题 正 确 .2 ° 假 设 n=k 时 有 则 ak ?1 ? ak ? 2. 1 1 n ? k ? 1时, a k ? a k ?1 ? a k ?1 (4 ? a k ?1 ) ? a k (4 ? a k ) 2 2 1 1 ? 2 (ak ?1 ? ak ) ? (ak?1 ? ak ) (a?1 ? a? ) (ak ?1 ? ak )(4 ? ak ?1 ? ak ). k k 2 2 而 ak ?1 ? ak ? 0. 4 ? ak ?1 ? ak ? 0, ? ak ? ak ?1 ? 0. 1 1 2 又 a k ?1 ? a k (4 ? a k ) ? [4 ? (a k ? 2) ] ? 2. ∴ n ? k ? 1 时命题正确. 2 2 由 1°、2°知,对一切 n∈N 时有 an ? an?1 ? 2. a0 ? 1, an ?1 ?
方法二:用数学归纳法证明:

1 3 a 0 (4 ? a0 ) ? , ∴ 0 ? a0 ? a1 ? 2 ; 2 2 1 2°假设 n=k 时有 ak ?1 ? ak ? 2 成立, 令 f ( x ) ? x ( 4 ? x ) , f (x) 在[0,2]上单调 2 递 增 , 所 以 由 假 设 有 : 即 f (ak ?1 ) ? f (ak ) ? f (2), 1 1 1 a k ?1 (4 ? a k ?1 ) ? a k (4 ? a k ) ? ? 2 ? (4 ? 2), 2 2 2 也即当 n=k+1 时 ak ? ak ?1 ? 2 成立,所以对一切 n ? N , 有ak ? ak ?1 ? 2 1 1 2 (2) 解法一:a n ?1 ? a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) ? 4], 所以 2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn ?1 ? ? (? bn ? 2 ) ? ? ? ( ) 2 bn ?1 ? ? ? ?( )1? 2??? 2 bn , 2 2 2 2 2 2 1 2 n ?1 1 n , 即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 又 bn=-1,所以 bn ? ?( ) 2 2 1 1 1 2 2 解法二:? a n ?1 ? a n (4 ? a n ) ? ? (a n ? 2) ? 2, ? 2 ? a n ?1 ? (2 ? a n ) 2 2 2 由(I)知, 2 ? an ? 0 ,两边取以 2 为底的对数,? log2 (2 ? an?1 ) ? ?1 ? 2 log2 (2 ? an ) n 1 2n ?1 令 bn ? log2 (2 ? an ) ,则 bn?1 ? ?1 ? 2bn ? bn ? 1? 2n ? an ? 2 ? 21?2 或 a n ? 2 ? ( ) 2
1°当 n=1 时, a 0 ? 1, a1 ?
2 n ?1 n

变式:(06 山东理)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,…
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an} 的通项;

15

(3)记 bn=

1 1 2 ,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1 ? an an ? 2 3Tn ? 1

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2 解: (Ⅰ)由已知 an?1 ? an ? 2an ,

? a1 ? 2 lg( ? an?)1 1 ? 2 ?{lg( ? an 是 ? an ? 1 ? 1,两边取对数得 lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,即 1 )} lg( ? a) 1 n

?an?1 ? 1 ? (an ? 1)2

公比为 2 的等比数列

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1 ? an ) ? 2n?1 ? lg(1 ? a1 ) ? 2n?1 ? lg3 ? lg32

n?1

?1 ? an ? 32
=3
2n -1

n?1

(*)

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+an ) ? 32 ? 32 ? 32 ?…? 32
0 1 2

n-1

? 31?2?2

2

?…+2n-1

由(*)式得

an ? 32 ? 1
1 1 1 1 ? ( ? ) an?1 2 an an ? 2 1 1 2 1 1 1 1 ,又 bn ? ,? bn ? 2( ? ? ? ? ? ) an ? 2 an an ?1 an an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? 2( ? ) ? Sn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 2( ? ? ? ? …+ ? a1 a2 a2 a3 an an ?1 a1 an ?1 n?1 n n 2 2 ,又 Tn ? 32 ?1 ,? Sn ? ?1 ? an ? 32 ? 1, a1 ? 2, an?1 ? 32 ? 1 ? Sn ? 1 ? 2n 3Tn ? 1 3 ?1
2 (Ⅲ)? an?1 ? a0 ? 2an , ?an?1 ? an (an ? 2) ,?

n?1

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f ( n) a n g ( n) a n ? h( n) 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。

类型九 an?1 ?

例 1:已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

解:取倒数:

?1? 1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? 3? an an?1 an?1 ? a n ? 1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1

课堂练习:数列 {an } 中, 解:

a n ?1 ?

2 n ?1 ? a n 2 n ?1 ? a n , a1 ? 2 ,求 {an } 的通项。
?
1 2
n ?1

2 n?1 ? a 1 ? n?1 n an?1 2 an


1
∴ a n ?1

1 1 ? n ?1 an 2


bn ?

1 an



bn ?1 ? bn ?

bn ? bn ?1 ?

1 2n

16



bn ? bn ?1 ?

1 2n

bn ?1 ? bn ? 2 ?

1 2
n ?1

bn ? 2 ? bn ? 3 ?

1 2
n?2

……

b3 ? b2 ?

1 23

? b2 ? b1 ?

1 22

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2 1 1 2 ? 2 ? ? n 1 1 1 1 2 2 bn ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 1? 2 2 2 2 n 1 1 1 2 ?1 2n bn ? ? n ? ? an ? n 2 2 2 2n 2 ?1 ∴ ∴ an 课堂练习:1. :数列 ?an ? 中,若 a1 ? 2 , a n ?1 ? ,求 an . 1 ? 3a n an 1 ? 3an 1 1 解:? a n ?1 ? ,? ? ? ?3 1 ? 3an an?1 an an


1 1 ?1? 1 ? ,? ? ? 是首项为 公差 3 的等差数列。 a1 2 ? a n ? 2

1 1 5 6n ? 5 2 ? ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? ? ,? a n ? an 2 2 2 6n ? 5

2a n ,求 an . 1 ? 3a n 2an 1 ? 3an 3 1 1 1 解:? a n ?1 ? ,? ? ? ? ? 1 ? 3an an?1 2a n 2 2 an 1 1 1 ? 3 ?令 ? ? ? ( ? ? ),则 ? ? ,? ? ? ?3 an?1 2 an 2 2 1 1 1 1 5 ? ? 3 ? ( ? 3), 又 ? 3 ? ? a n?1 2 an a1 2
2.数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a n ?1 ?

?1 ? 5 1 ? ? ? 3? 是首项为 ? 公比为 的等比数列 2 2 ? an ? 1 5 1 1 5 1 ? 3 ? ? ( ) n?1 ,? ? 3 ? ( ) n?1 an 2 2 an 2 2 1 ? an ? 5 1 3 ? ( ) n?1 2 2

例 2. (2011 广东理 20/21)

设 b>0,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ?

nban?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

17

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , an ?

b n ?1 ?1. 2n ?1

练习:1. (2011 广东文 20/21)

设 b>0,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ?

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? n ? 1
n?1

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , 2an ? b

?1 .

2(2006 江西理 22/22)已知数列{an}满足:a1=

3 3na n-1 ,且 an= (n ? 2,n ? N?) 2 2a n-1+n- 1

(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2?……an?2?n!

解: (1)将条件变为:1-

1 n-1 n n =(- ,因此{1- }为一个等比数列,其首项为 1 ) a n-1 an 3 an

1 1 n ? 3n 1 1 n 1- = ,公比 ,从而 1- = ,据此得 an= n (n?1)…………1? 3 3 -1 a1 3 a n 3n n! (2)证:据 1?得,a1?a2?…an= 为证 a1?a2?……an?2?n! 1 1 1 ( - ) 1- 2 )…( - n ) 1 ? ( 1 3 3 3 1 1 1 1 ( ? ( 1 只要证 n?N?时有 1- ) 1- 2 )…( - n ) …………2? ? 3 3 3 2 1 1 1 ( ? ( 1 显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个 n?N?,有 1- ) 1- 2 )…( - n ) ?1 3 3 3 1 1 1 -( + 2 +…+ n )…3?用数学归纳法证明 3?式:n=1 时,3?式显然成立,设 n=k 时, 3 3 3
3?式成立,

1 1 1 1 1 )…( - k ) 1 ?1-( + 2 +…+ k ) 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ( ? ( ? 则当 n=k+1 时, 1- ) 1- 2 ) …(1- k ) 1- k+1 ) ?〔1-( + 2 +…+ k ) 〕 3 3 3 3 3 3 3 1 ?( 1- k+1 ) 3 1 1 1 1 1 1 1 1 =1-( + 2 +…+ k )- k+1 + k+1 ( + 2 +…+ k ) 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ? ( 即 1- ) 1-

1 3

18

?1-( +

故对一切 n?N?,3?式都成立

1 3

1 1 1 +…+ k + k+1 )即当 n=k+1 时,3?式也成立 2 3 3 3
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利用 3?得,

1 1 n 〔 -( ) 1 〕 1 1 1 1 1 1 3 3 ( - ) 1- 2 )…( - n ) 1 ? ( 1 ?1-( + 2 +…+ n )=1- 1 3 3 3 3 3 3 1- 3 1 1 n 1 1 1 n 1 1 〕= + ( )? 故 2?式成立,从而结论成立 =1- 〔 -( ) 2 3 2 2 3 2
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类型十 an?1 ?

pan ? q (分式线性递推数列) ra n ? h

pan ? q (其中 ra n ? h h px ? q p、q、r、h 均为常数,且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? ) ,那么,可作特征方程 x ? ,当特征 r rx ? h ? 1 ? 方程有且仅有一根 x0 时,则 ? ? 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 x1 、 x2 时,则 ? an ? x0 ? ? an ? x1 ? ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?
解法:如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有 an?1 ?
例 10:已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ? 解: 数列 {an } 的特征方程为 x ?

an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3

x?4 , 变形得 2x 2 ? 2 x ? 4 ? 0, 其根为 ?1 ? 1, ?2 ? ?2. 故特 2x ? 3

征方程有两个相异的根,使用定理 2 的第(2)部分,则有

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 3 ? 1 1 ? 1 ? 2 n?1 ?( ) ? ?( ) , n ? N. a1 ? ?2 p ? ?2 r 3 ? 2 1? 2 ? 2 2 1 n ?1 ∴ c n ? (? ) , n ? N. 5 5 2 1 ? 2 ? (? ) n?1 ? 1 ? c ? ?1 5 5 ∴ an ? 2 n ? , n ? N. 2 1 n?1 cn ? 1 (? ) ? 1 5 5 n (?5) ? 4 即 an ? , n ? N. 2 ? (?5) n 13an ? 25 . 例 11:已知数列 {an } 满足:对于 n ? N, 都有 an?1 ? an ? 3 (1)若 a1 ? 5, 求 a n ; (2)若 a1 ? 3, 求 a n ; (3)若 a1 ? 6, 求 a n ; cn ?

19

(4)当 a1 取哪些值时,无穷数列 {an } 不存在?

13 x ? 25 . 变形得 x 2 ? 10x ? 25 ? 0, x?3 特征方程有两个相同的特征根 ? ? 5. 依定理 2 的第(1)部分解答. (1)∵ a1 ? 5,? a1 ? ?. ?对于 n ? N, 都有 an ? ? ? 5;
解:作特征方程 x ? (2)∵ a1 ? 3,? a1 ? ?.

1 r ? (n ? 1) a1 ? ? p ? r? 1 1 ? ? (n ? 1) ? 3?5 13 ? 1 ? 5 1 n ?1 ?? ? , 2 8 令 bn ? 0 ,得 n ? 5 .故数列 {an } 从第 5 项开始都不存在, 1 5n ? 17 当 n ≤4, n ? N 时, a n ? . ?? ? bn n?5 (3)∵ a1 ? 6, ? ? 5, ∴ a1 ? ?. 1 r n ?1 ∴ bn ? ? (n ? 1) ? 1? , n ? N. a1 ? ? p ? ?r 8 令 bn ? 0, 则 n ? ?7 ? n. ∴对于 n ? N, b n ? 0. 1 1 5n ? 43 ?? ? ?5? , n ? N. ∴ an ? n ?1 bn n?7 1? 8 (4)、 显然当 a1 ? ?3 时, 数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第 (1) 小题的解答过程知,a1 ? 5 时 , 数 列 {an } 是 存 在 的 , 当 a1 ? ? ? 5 时 , 则 有 5n ? 13 1 r 1 n ?1 ,n? N 且 n bn ? ? (n ? 1) ? ? , n ? N. 令 bn ? 0, 则得 a1 ? n ?1 a1 ? ? p ? ?r a1 ? 5 8
∴ bn ? ≥2. ∴当 a1 ?

5n ? 13 (其中 n ? N 且 N≥2)时,数列 {an } 从第 n 项开始便不存在. n ?1 5n ? 13 : n ? N , 且 n ≥2}上取值时,无穷数列 {an } 都不存在. 于是知:当 a1 在集合 {?3 或 n ?1

变式:(2005,重庆,文,22,本小题满分 12 分) 数列 {an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 记 bn ? (Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {an bn } 的前 n 项和 S n .

1 1 an ? 2

(n ? 1).

20

解法一:由已知,得 an?1 ?

2a n ? 5 2x ? 5 1 5 ,其特征方程为 x ? 解之得, x1 ? 或 x 2 ? 16 ? 8 x 2 4 16 ? 8an 1 5 6(a n ? ) 12(a n ? ) 1 5 2 ,a ? ? 4 ? a n ?1 ? ? n ?1 2 16 ? 8a n 4 16 ? 8a n 1 1 1 1 a n?1 ? a ? an ? a1 ? 1 n 2 2? ? 2? 2 ? ( 1 ) n?1 ? ? 4 , ? ? 5 2 5 5 5 2 2n a n?1 ? an ? an ? a1 ? 4 4 4 4 n ?1 2 ?5 ? an ? n 2 ?4
(I) a1 ? 1, 故b1 ?

解法二:

? 2; 1 1? 2 7 1 8 a2 ? , 故b2 ? ? ; 7 1 3 8 ? 8 2 3 1 a3 ? , 故b3 ? ? 4; 3 1 4 ? 4 2 13 20 a4 ? , 故b4 ? . 20 3 4 4 2 8 4 2 (II)因 (b1 ? )( b3 ? ) ? ? ? ( ) , 3 3 3 3 3 4 2 4 2 4 4 4 (b2 ? ) ? ( ) , (b1 ? )( b3 ? ) ? (b2 ? ) 2 3 3 3 3 3 4 2 故猜想 {bn ? }是首项为 , 公比 q ? 2的等比数列 . 3 3 因 an ? 2 , (否则将 an ? 2 代入递推公式会导致矛盾) 5 ? 2a 故a n ?1 ? (n ? 1). 16 ? 8a n

1

因bn ?1 ?

4 ? 3

1 a n ?1 ? 2 an ? 1 2 1 2 ?

?

4 16 ? 8a n 4 20 ? 16a n ? ? ? , 3 6a n ? 3 3 6a n ? 3

4 2(bn ? ) ? 3
故 | bn ?

8 20 ? 16a n 4 4 ? ? bn ?1 ? , b1 ? ? 0, 3 6a n ? 3 3 3

4 | 确是公比为 q ? 2 的等比数列. 3

21

因b1 ?

1 n 4 4 2 4 1 ? , 故bn ? ? ? 2 n , bn ? ? 2 ? ( n ? 1) 3 3 3 3 3 3

由bn ?

1 1 an ? 2

1 得an bn ? bn ? 1, 2

故S n ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn 1 (1 ? 2n ) 1 5 3 1 ? n ? (2n ? 5n ? 1) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n ? 3 2 1? 2 3
解法三: (Ⅰ)由 bn ?

1 an ? 1 2

得an ?

1 1 ? , 代入递推关系 an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0, 8 bn 2

4 6 3 4 ? ? ? 0,即bn?1 ? 2bn ? , bn?1bn bn?1 bn 3 8 20 由a1 ? 1, 有b1 ? 2, 所以 b2 ? , b3 ? 4, b4 ? . 3 3 4 4 4 4 2 (Ⅱ)由 bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ), b1 ? ? ? 0, 3 3 3 3 3 4 2 所以 {bn ? }是首项为 , 公比 q ? 2的等比数列 , 故 3 3 4 1 1 4 bn ? ? ? 2n , 即bn ? ? 2n ? (n ? 1). 3 3 3 3 1 1 由bn ? 得anbn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2 1 故Sn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2 1 (1 ? 2n ) 1 5 3 ? ? n ? (2 n ? 5n ? 1). 3 1? 2 3
整理得 解法四: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ) b2 ? b1 ?

2 4 8 2 8 4 , b3 ? b2 ? , b4 ? b3 ? , ? ? ( ) 2 3 3 3 3 3 3 2 1 猜想{bn ?1 ? bn }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列 bn ?1 ? bn ? ? 2 n , 3 3 5 ? 2a n 又因a n ? 2, 故a n ?1 ? (n ? 1).因此 16 ? 8a n 1 1 1 2 bn ?1 ? bn ? ? ? ? 1 1 5 ? 2a n 1 2a n ? 1 a n ?1 ? an ? ? 2 2 16 ? 8a n 2

22

16 ? 8an 10 ? 8an 6 ? ? ; 6an ? 3 6an ? 3 6an ? 3 16 ? 8a n ?1 16 ? 8a n 1 1 bn ? 2 ? bn ?1 ? ? ? ? 1 1 6a n ?1 ? 3 6a n ? 3 an?2 ? a n ?1 ? 2 2 36 ? 24an 16 ? 8an 20 ? 16an ? ? ? ? 2(bn?1 ? bn ). 6an ? 3 6an ? 3 6an ? 3 2 1 因b2 ? b1 ? ? 0,{bn ?1 ? bn }是公比 q ? 2的等比数列 , bn ?1 ? bn ? ? 2 n , 3 3 从而 bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1 1 1 1 4 ? (2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 21 ) ? 2 ? (2n ? 2) ? 2 ? ? 2 n ? ( n ? 1). 3 3 3 3 1 1 由bn ? 得anbn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2 1 故Sn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2 1 (1 ? 2n ) 1 5 3 ? ? n ? (2 n ? 5n ? 1). 3 1? 2 3 ?
类型十一 an?1 ? an ? pn ? q 或 an?1 ? an ? pqn

解法:这种类型一般可转化为 ?a2n?1 ?与 ?a2 n ?是等差或等比数列求解。
例: (I)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 6n ? an ,求 an (II)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an an?1 ? 3n ,求 an

类型十二 归纳猜想法(先猜后证)
解法:数学归纳法 变式:(2006,全国 II,理,22)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,…(Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) n}的通项公式 {a
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提示:1 Sn ? 1, n ? 1, 2,3,... 为方程的根,代入方程可得 (Sn ?1) ? an (Sn ?1) ? an ? 0
2

将 n=1 和 n=2 代入上式可得 a1 ?
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1 2

a2 ?

1 6

2 求出 a1 , a2 , a3 , a4 等,可猜想 an ?
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1 并用数学归纳法进行证明, 本题主要考察 一般数列 n(n ? 1)

的通项公式与求和公式间的关系

23

3 方程的根的意义(根代入方程成立)
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4 数学归纳法证明数列的通项公式(也可以把 an ?
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1 分开为 n(n ? 1)

an ?

1 1 1 ? ? 然后求和,中间项均抵消, 只剩下首项和末项 ,可得 Sn n(n ? 1) n n ? 1
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解:(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1,
1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2 2 1 - , 2 1 1 1 于是(a2- )2-a2(a2- )-a2=0,解得 a1= 2 2 6 2 (Ⅱ)由题设(Sn-1) -an(Sn-1)-an=0,即 Sn2-2Sn+1-anSn=0 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代 入上式得 1 1 1 2 3 Sn-1Sn-2Sn+1=0 ①由(Ⅰ)知 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = 由①可得 S3= 2 2 6 3 4 n 由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,… ……8 分 n+1 下面用数学归纳法证明这个结论 k (i)n=1 时已知结论成立 (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk= , k+1 k+1 1 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= ,即 Sk+1= ,故 n=k+1 时结论也成立 2-Sk k+2 n 综上,由(i)、(ii)可知 Sn= 对所有正整数 n 都成立 ……10 分 n+1 n-1 n 1 于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - = , n n+1 n(n+1) 1 1 又 n=1 时,a1= = ,所以 2 1×2 n {an}的通项公式 an= ,n=1,2,3,… ……12 分 n+1 本题难度较大,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现
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例 6.已知 ?an ? 是由非负整数组成的数列,满足 。 a1 ? 0 , a2 ? 3 , an?1 ? an ? (an?1 ? 2)(an?2 ? 2) (n=3,4,5…) (1)求 a3 ; (2)证明 an ? an?2 ? 2 (n=3,4,5…) ; (3)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项的和。 分析与略解: (1)由条件知 a3 ? a4 ? 10 且 a3 、 a4 均为非负数,故 a3 可能值为 1、2、5、 10。对其逐一讨论,并保证 an 均为非负整数,知 a3 ? 2 。 (2)用数学归纳法证明: 易知 n=3 时, a3 ? a1 ? 2 ,等式成立。 假设 n=k(k≥3)时等式成立,即 ak ? ak ?2 ? 2 。

24

由条件 ak ?1 ? ak ? (ak ?1 ? 2)(ak ?2 ? 2) 。而 ak ? ak ?2 ? 2 ? 0 ,则上式化为

ak ?1 ? ak ?1 ? 2 ,
即 n=k+1 时等式也成立。 综合上述,对 n≥3 时,有 an?1 ? an?1 ? 2 成立。 (3) ,由(2)知 a2k ?1 ? a2 k ?3 ? 2 , a1 ? 0 , 则 a2k ?1 ? 2(k ? 1) (k=1,2,3…) ;

a2k ? a2k ?2 ? 2, a2 ? 3 , 故 a2k ? 2k ? 1(k ? 1,2,3?).
从而 an ? n ? (?1) n (n=1,2,3…)
?1 ? n(n ? 1)(n为常数时), 可求得 S ? ? 2 ? n ? 1 n(n ? 1) ? 1(n为奇数时). ?2 ?

练习题: 已知 ?an ? 是非负整数组成的数列,a1 =0,a2 =3 且 an?1an ? (an?1 ? 2)(an?2 ? 2) , 1.

n =3,4,5,……。(1)求 a3 ;(2)证明: an ? an?2 ? 2 ;(3)求 ?an ? 的通项公式 an 及前 n 项
和 Sn 。

……① ?a4 a3 ? (a2 ? 2)(a1 ? 2) ? 10 ? 解:(1)由已知有 ?a5 a4 ? (a3 ? 2)(a2 ? 2) ? 5(a3 ? 2) ……② ?a a ? (a ? 2)(a ? 2) ……③ 4 3 ? 6 5 * ∵ an ≥0, an ? N( n ? N ), a3 ? 1, a4 ? 1,由① a3 只能是 1 或 2 或 5 或 10。
当 a3 ? 1 ? a4 ? 10 ? 10a5 ? 15 ? a5 ? N ,不合题意。 当 a3 ? 5 ? a4 ? 2 ? 2a5 ? 35 ? a5 ? N ,不合题意 当 a3 ? 10 ? a4 ? 1 ? a5 ? 60 ? 60a6 ? 36 ? a6 ? N ,不合题意 ∴ a3 =2 (2)数学归纳法证明。由(1)得 a3 =2,从而 a4 =5 ①当 n =3 时,显然 a3 =2= a1 +2,命题成立。 ②假设 n = k ( k ≥3)时命题成立,即 ak ? ak ?2 ? 2 ,则当 n = k +1 时

ak ?1ak ? (ak ?1 ? 2)(ak ?2 ? 2) ? ak ?1 (ak ?2 ? 2) ? (ak ?1 ? 2)(ak ?2 ? 2) 又 ak ?2 ? 2 ≥2>0 ∴ ak ?1 ? ak ?1 ? 2 ? a( k ?1)?2 ? 2 即 n = k +1 时命题也成立。 综合①②命题对于 n ≥3 成立。 * (3)由(2)令 bk = a2 k ?1 ( k ? N ),则 bk ?1 ? bk ? a2k ?1 ? a2k ?1 ? 2 ,∴ ?bk ? 是以 b1 = a1 =0,公
差为 2 的等差数列,∴ bk = b1 +( k -1)×2=2( k -1),∴ a2 k ?1 =2( k -1)=2 k -2。 令 ck ? a2k , k ? N ,则 ck ?1 ? ck ? a2 k? 2 ? a2k ? 2 ,∴{ ck }是以首项为 c1 = a2 =3,
*

公差为 2 的等差数列,∴ ck ? c1 ? (k ?1) ? 2 ? 3 ? 2(k ?1) ? 2k ? 1 ? a2 k ? ck ? 2k ? 1

25

∴ an ? ?

?n ? 1, n为奇数 ?2k ? 2, n ? 2k ? 1 * ( k ? N )= ? = n + (?1) n 。 2k ? 1, n ? 2k ? ?n ? 1, n为偶数

类型十三

双数列型

解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、消元、化归等方法求解。 例1. 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1 ; 数 列 ?bn ? 中 , b1 ? 0 。 当 n ? 2 时 , 1 an ? 2an ?1 ? bn ?1 , , 求 , . bn ? 3an?1 ? 2bn?1 an bn 3 1 n ?1 3 n ?1 (key: an ? (3 ? 1), bn ? (3 ? 1)( n ? 1) ) 2 2 解法:由第一个递推式子中解出 bn-1 代入第二个式子消去{bn}的项. (本题参见《高中数学竞赛热点专题》P.212-213 例 9) 例 2 : 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1 ; 数 列 ?bn ? 中 , b1 ? 0 。 当 n ? 2 时 , 1 1 a n ? (2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) ,求 an , bn . 3 3 1 1 解:因 an ? bn ? (2a n ?1 ? bn ?1 ) ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) ? an?1 ? bn?1 3 3 所 以 an ? bn ? an?1 ? bn?1 ? an?2 ? bn?2 ? ? ? ? ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ? 1 即 an ? bn ? 1 … … … …
(1)

1 1 1 (2a n ?1 ? bn ?1 ) ? (a n?1 ? 2bn?1 ) ? (a n ?1 ? bn ?1 ) 3 3 3 1 1 2 1 n ?1 所以 an ? bn ? ( a n ?1 ? bn ?1 ) ? ( ) a n ? 2 ? bn ? 2 ) ? …… ? ( ) ( a1 ? b1 ) 3 3 3 1 1 1 1 ? ( ) n ?1 . 即 an ? bn ? ? ( ) n ?1 … … … ( 2 ) 由 ( 1 ) ( 2 ) 得 : a n ? [1 ? ( ) n ?1 ] , 、 2 3 3 3 1 1 bn ? [1 ? ( ) n ?1 ] 2 3
又因为 an ? bn ?
?an=?an-1+?bn-1+1, 练习:已知数列{an}、{bn}满足 a1=2 ,b1=1,且? (n≥2) ?+?=1. , ?bn=?an-1+?bn-1+1 (1)令 cn= an+bn,求数列{cn}的通项公式; 1 (2)当?-?= 时,求数列{an}的通项公式. 2

26

3.已知 O 为 A, B, C 三点所在直线外一点,且 OA ? ?OB ? ?OC .数列 {an } , {bn } 满足

??? ?

??? ?

??? ?

?a n ? ?a n ?1 ? ?bn ?1 ? 1 ? a1 ? 2 , b1 ? 1 ,且 ? ?b ? ?a ? ?b ? 1 n ?1 n ?1 ? n
(Ⅰ) 求 ? ? ? ;

( n ? 2 ).

(Ⅱ) 令 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的通项公式;

1 时,求数列 {an } 的通项公式. 2 ??? ? ??? ? (I)解: A, B, C 三点共线,设 AB ? mBC ,则 ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? AB ? OB ? OA ? mBC ? m(OC ? OB) ,………………………………………………2 分 ??? ? ??? ? ??? ? 化简得: OA ? (m ? 1)OB ? mOC ,所以 ? ? m ? 1, ? ? ?m, 所以 ? ? ? =1。……………………………………………………………………………4 分 (II)由题设得 an ? bn ? (? ? ? )(an?1 ? bn?1 ) ? 2 ? an?1 ? bn?1 ? 2 (n ? 2) …… 6 分 即 cn ? cn?1 ? 2 ( n ≥ 2 ) ,所以 {cn } 是首项为 a1 ? b1 ? 3 ,公差为2的等差数列,通项公式为
(III) 当? ? ? ?

cn ? 2n ? 1 .

……………………………………………………………… 8 分

1 (a n ?1 ? bn ?1 ) (n ? 2) ,……10 分 2 1 1 令 dn ? an ? bn ,则 d n ? d n ?1 (n ≥ 2) .所以 {dn } 是首项为 a1 ? b1 ? 1 ,公比为 的等比数列, 2 2 1 通项公式为 d n ? n ?1 .…………………………………………………12 分 2 ?an ? bn ? 2n ? 1, 1 1 ? 由? 解得 an ? n ? n ? ·························14 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 1 2 2 ?an ? bn ? 2n ?1 ?
(III)由题设得 a n ? bn ? (? ? ? )( a n ?1 ? bn ?1 ) ?

27

类型十四 解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。
例:若数列 ?an ? 满足 a n ?1

周期型

1 ? ?2a n , (0 ? a n ? 2 ) 6 ? ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n ? n 2 ?

变式:(2005,湖南,文,5) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =





A.0

B. ? 3

C. 3

D.

3 2

课堂练习: 1. 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? b? b? 0? , an ?1 ? ? ( C 2. ) (A) 14 (B)15 (C)

1 ? n ? N ? ? 则 能 使 an ? b 的 n 的 数 值 是 an ? 1

16 (D)17

28


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