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河北省唐山市开滦第二中学学高二数学下学期期中试题理-课件


开滦二中 2015~2016 学年第二学期高二年级期中考试 数学(理科)试卷
说明: 1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第(1)页至第(2) 页,第Ⅱ卷第(3)页至第(4)页。 2、本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。 3、正式开考前,考生务必将自己的准考证号、科目填涂在答题卡上。 4、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应

的题目标号涂黑。答在试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 1.设 y ? ??e x sin x, 则 y? ? ( A、 ?2e x cos x B、 ?2e x sin x ) C、 2e x sin x D、 ?2ex (sin x ? cos x) )

2. 已知 i 是虚数单位,若 z ?1 ? 3i ? ? i ,则 z 的共轭复数的虚部为( A. ?

1 10

B.

1 10

C.

i 10

D. ?

i 10
)

3.若 f ( x) 在 R 上可导, f ( x) ? x 2 ? 2 f ' (2) x ? 3 ,则 A. 16 B. ? 18 C. ? 24 D. 54

?

3 0

f ( x)dx ? (

4.三角形的面积为 S ?

1 ?a ? b ? c ? ? r , a, b, c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的半径,利用 2

类比推理,可得出四面体的体积为( )

1 1 abc B. V ? Sh C. V ? 1 (ab ? bc ? ac )h, (h为四面体的高 ) 3 3 3 1 D. V ? ?S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 ?r ( S1 , S 2 , S 3 , S 4 分别为四面体的四个面的面积, r 为四面体内切 3
A. V ? 球的半径) 5.设函数 f ?( x) ? x ? 3x ? 4, 则 y ? f ( x ? 1) 的单调减区间(
2



3 C. (?3, 2) 2 x?9 6.经过原点且与曲线 y= 相切的方程是( ) x?5
(-4,1) A.
B. ( ? , ??)

D. ( ?

1 ,?? ) 2

1

x +y=0 25 x C.x+y=0 或 -y=0 25
A.x+y=0 或

x +y=0 25 x D.x-y=0 或 -y=0 25
B.x-y=0 或

7.从 5 位男实习教师和 4 位女实习教师中选出 3 位教师派到 3 个班实习班主任工作,每班派一 名,要求这 3 位实习教师中男女都要有,则不同的选派方案共有( ) A.210 B.420 C.630 D.840 8. 与定积分
3?

?

3? 2 0

| sin x |dx 相等的是


?
3?


?
3?

A. | ? 2 sin xdx |
0

B. | ? 2 sin xdx |
0

3?

C.? sin xdx ? ? 2 sin xdx D.? 2 sin xdx ? ?? 2 sin xdx
0

?

0

2

9.某地为上海“世博会”招募了 20 名志愿者,他们的编号分别为 1 号、2 号、??..19 号、20 号。若要从中选取 4 人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人 在一组,两个编号较大的在另一组,那么确保 5 号与 14 号入选并分配到同一组的选取种数为 B .21 C .24 D .90 ( ) A .16 2 x 10.当 a>0 时,函数 f(x)=(x -2ax)e 的图象大致是( )

3 11. 函数 f ( x) ? x ? x, x ? R ,当

0 ?? ?

?

2 时, f (m sin? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则实

数 m 的取值范围是( A. ?0,1?



B. ?? ?,0?

1? ? ? ? ?, ? 2? C .?

D .

? ??,1?

' 12. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? , 其 导 函 数 为 f ? x ? , 对 任 意 正 实 数 x 满 足

x f' ? x ? ? 2 f? ? ?x,若 g ? x? ? x2 f ? x ? ,则不等式 g ? x? ? g ?1? 3x ? 的解集是( )
A. ? 0, ?

? ?

1? 4?

B. ?

?1 ? , +? ? ?4 ?

C. ? -?, ?

? ?

1? 4?

D. ? -?, ? ? ?

? ?

1? 4?

?1 ? , +? ? ?4 ?
2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 1 ? mi 13.如果复数 z ? 的实部与虚部互为相反数,则实数 m= 1 ? 2i
5 14. (2 x ? 1) 的展开式中 x 的项的系数是
3



(用数字作答) 。 .

15.已知函数 f ( x) ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是

16.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第 n 个等式为__________________________________________________. 三.解答题: 17.(本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a),其中a ? R. (1)求 f ?( x) ; (2)若 f ?(?1) ? 0, 求f ( x) 在[—2,4]上的最大值. 18.(本题满分 12 分)有 4 个不同的球,四个不同的盒子,把它们全部放人盒内。 (1)共有多少种放法? (2)恰有一个盒不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒内有 2 个球,有多少种放法? (4)恰有两个盒不放球,有多少种放法? 19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x 2 ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处 切线方程为 y ? 4 x ? 4 . (1)求 a, b 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值. 20. (本题满分 12 分)2010 年上海世博会举办时间为 2010 年 5 月 1 日--10 月 31 日.此次世博 会福建馆招募了 60 名志愿者,某高校有 13 人入选,其中 5 人为中英文讲解员,8 人为迎宾礼 仪,它们来自该校的 5 所学院(这 5 所学院编号为 1、2、3、4、5 号) ,人员分布如图所示. 若 从这 13 名入选者中随机抽出 3 人.
3

(1)求这 3 人所在学院的编号正好成等比数列的概率; (2)求这 3 人中中英文讲解员人数的分布列及数学期望. 21. (本小题满分 12 分) 已知 a、b、c 都是正数,

bc ca ab ? ? ? a ?b?c, a b c 1? a 1? b 1? c ? ? ?6 (2)若 a ? b ? c ? 1 ,求证: a b c
(1) 求证: 22.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ( x2 ? 2)ln x , g ( x) ? 2 x2 ? ax, a ? R (1)证明: f ( x) 是 (0, ??) 上的增函数; (2)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 x ? ?1, ?? ? 时, F ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

理科数学参考答案 13. m= ? 3 14.80

DABDC

ABCBB

DA
2

15. ? 0, ? 16. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ?1)

? ?

1? 2?

17. 解:(Ⅰ) f ( x) ? x 3 ?ax2 ? 4x ? 4a ,∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 4 。 (Ⅱ)由 f ?(?1) ? 0 得 3 ? 2a ? 4 ? 0 ,∴ a ?

???4

1 。????????5 分 2

1 4 则 f ( x) ? x 3 ? x2 ? 4x ? 2 ,∴ f ?( x) ? 3x2 ? x ? 4 ? 3( x ? 1)( x ? ) , ??????6 分 2 3
4

4 4 当 x ? [?2, ?1) ? ( , 4] 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调递增区间是 [?2, ?1) 和 ( , 4] ; 3 3 4 4 当 x ? (?1, ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调递减区间是 (?1, ) 。 ?????8 分 3 3

计算 f (?1) ? 18.(1)256

9 , f (4) ? 42 ,??9 分∴ f ( x) 在[ ?2 ,4]上的最大值 f max ( x) ? f (4) ? 42 。10 分 2

(2)144

(3)144

(4)84 ,

,a ? b ?8 19. 解 (Ⅰ)f ' ( x) ? e2 (ax ? a ? b) ? 2x ? 4 , 由已知得 f (0) ? 4, f ' (0) ? 4 , 故b ? 4
从而 a ? b ? 4 . ......................4 分

(II) 由(I)知, ( f x) ? 4ex ( x ? 1) ? x2 ? 4x,

1 f ' ( x) ? 4e x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 4( x ? 2)(e x ? ). 2

令 f ' ( x) ? 0 得, x =-1n2 或 x=-2 ,

从而当 x ? (??, ?2) ? (?1n2, ??) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? (?2, ?1n2) 时, f ' ( x) ? 0 .

(-?,) -2 , (-1n 2, +? ) (-2, -1n 2) 故 f ( x) 在 单调递增,在 单调递减.
当 x =-2 时,函数 f ( x) 取得极大值,极大值为 ( f -2)( =4 1-e?2 ) . ..................12 分 解: (Ⅰ)“这 3 人所在学院的编号正好成等比数列”记为事件 A, “这 3 人都来自 1 号学院”记为事件 A1,“这 3 人都来自 2 号学院”记为事件 A2, “这 3 人分别来自 1 号、2 号、4 号学院”记为事件 A3 ∴P(A1)= P(A2)=
3 C4 2 ? 3 C13 143

P(A3)=

4 ? 4 ? 2 16 = 3 143 C13

∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

20 143

(Ⅱ)设这 3 人中中英文讲解员的人数为 ? ,则 ? =0,1,2,3 P( ? =0)=
1 2 C83 C5 C8 28 70 ? , P ( =1 ) = , ? ? 3 3 143 C13 143 C13 1 3 C52 C8 C5 40 5 ? , P ( =3 ) = ? ? 3 3 143 C13 C13 143

P( ? =2)=

?

0

1

2

3
5

? 的分布列为
∴ ? 的数学期望
E? =0 ?

P

28 143

70 143

40 143

5 143

28 70 40 5 165 ? 1? ? 2? ? 3? ? 143 143 143 143 143

21.略 22. 解: (1)若证明 f ( x) 是 (0,??) 上的增函数,只需证明 f ?( x) ? 0 在 (0,??) 恒成立, 即: f ?( x) ? 2 x ln x ?

2 2 2 ? x ? 0 ? x(2 ln x ? 2 ? 1) ? 0 ? 2 ln x ? 2 ? 1 ? 0 x x x

2 4 2x 2 ? 4 2 ? 设 h( x) ? 2 ln x ? 2 ? 1, x ? (0,?? ) , h ( x) ? ? 3 ? x x x x3
所以: h( x) 在 (0, 2 ) 上递减, ( 2 ,??) 上递增, h( x) 最小值 h( 2 ) ? ln 2 ? 2 ? 0 故: f ?( x) ? 2 x ln x ?

2 ? x ? xh ( x) ? 0 ,所以: f ( x) 是 (0,??) 上的增函数. x

2 2 ( 2 ) 由 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x ? 2) ln x ? 2x ? ax ? 0 得 : a ?

( x 2 ? 2) ln x ? 2 x 2 在 x

( x 2 ? 2) ln x ? 2 x 2 ( x 2 ? 2)(ln x ? 1) ? x ? ?1,??? 上恒成立, 设 G ( x) ? ,则 G ( x) ? , 所以 g ( x) x x2
在 (1, 2 ) 递增, ( 2 , e) 递减, (e,??) 递增 , 所以 G ( x) 的最小值为 G(1), G(e) 中较小的,

G (e) ? G (1) ?

2 ? e ? 2 ? 0 , 所 以 : G(e) ? G(1) , 即 : G ( x) 在 x ? ?1,??? 的 最 小 值 为 e

G(1) ? ?2 ,只需 a ? ?2

6


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