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第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第4套


2013 年物理竞赛复赛模拟试题-第四套
命题人 蔡子星 孙鹏
一、 我们想用一些匀质的光滑的长度为 l 的木条在桌角搭出一个尽量远的“露台” 。逐

层叠放并不一定是最好的方案。比如图(a)用三个木条拉出了 拉开了

l l l ? ? 的距离。而图(b) 2 4 6

l l ? 的距离。问题用四

根木条,分别采用图(c)和图(d)的方式,可以用四个木 2 2

条最远能拉开多少距离?

图(a)

图(b)

图(c)

图(d)

二、 水波严格说来并不是简单的横波或者纵波, 因为表面的水运动既不是垂直于波速方 向也不是平行于波速方向,而是二者的叠加。水足够深的时候,表面点每个点原地做圆 周运动。设振幅为 A ,波长为 ? ,周期为 T 。 假设 A ? 。跟着波形移动的参考系中看到的就是稳恒流速,波的最高点和最低点的 流速为多少?不考虑表面张力和摩擦损耗,设水密度为 ? ,重力加速度为 g 。考虑能 量守恒,证明波长和周期满足关系: ? ?

gT 2 。 2?

三、

空间中有两个线圈电阻可以忽略的线圈 A 、 B ,分别接入可控电流源 I A 和 I B 。初

时 I A ? IB ? 0 。 (1) 保持 I B 不变,将 I A 缓慢的从 0 增加到 I1 ,然后保持 I A 不变,缓慢的将 I B 从 0 增加到 I 2 。此时线圈 A 和线圈 B 的磁通量分别为? A ? L11I1 ? L12 I 2 ,

? B ? L21I1 ? L22 I 2 。求这个过程中电流源做的总功为多少 Wa 等于多少。
(2) 保持 I A 不变,将 I B 缓慢的从 0 增加到 I 2 ,然后保持 I B 不变,缓慢的将 I A 从 0

增加到 I1 。此时线圈的磁通量和(1)中相同,求此过程中电流源做的总功,并由 此证明 L21 ? L12 。 (3) 如图线圈 A 、 B 的半径分别为 r1 、 r2 的圆圈,两个圆共轴,间距 z ?? r 。两个 。利用(2)中的结论,通过功能原理, 线圈中分别保持恒定电流 I1 和 I 2 (同向) 计算两个线圈之前的相互作用力。(提示 y ? x ; y ' ? nx
n n ?1

)

I1

I2

四、 如图所示,在光滑桌面上有三个洞 ABC ,两两相距 l 。有三个质量为 m 的质点, 各连一根细线,穿过小孔,连接在平面上一个质量为 M 的质点上。
A M B

O
m

C

m m

(1) 初态 M 位于三角形中心处,沿 OA 方向给 M 一个小速度 v0 。求证 M 做简谐振动,并 求出周期。 (2) 初态 M 在 OA 连线上,距离 O 间距 ?x ?? l ,初速度 v0 很小,沿着垂直于 OA 的方向, 求解 M 以后的运动。 (提示 cos(? ? ?? ) ? cos ? ? sin ??? ?

(1 ? x)n ? 1 ? nx ?

n(n ? 1) 2 x , x ?? 1 ) 2

1 cos ? (?? )2 , ?? ?? 1 ; 2

五、 某人设计了一种潜艇, 利用电磁推进提到了螺旋桨。 潜艇推进器的结构简化为下图 所示。水从推进管道中流过。不考虑管道中水流于管壁以及水之间的粘滞阻力作用。 管道中有一个长方体状的区域,该区域横截面积和入水口一样的,尺寸为 a ? b ? c ,其 中由超导磁铁产生了稳定磁场 B ,沿着 b 方向。在上下两个面上各有一块 a ? b 大小的 电极,进入直流电源。假设电流只在这个长方体区域内存在,并且是均匀的。稳定状态 电流大小为 I 。海水密度为 ? m ,海水电阻率为 ? 。 假设稳定流动后潜艇进水口压强为 p1 ,出水口的压强 p2 。入水口面积为 S1 ? b ? c ,

出水口面积为 S 2 。 用 p1 、 p2 、S1 、 (1) 求出稳定流动后, 以潜艇为参照系, 进、 出水口的流速 v1 和 v2 。

S 2 、 ? 、 B 、 I 、 b 表达。
(2) 计算稳定流动后直流电源的功率是多少。用 p1 、 p2 、 S1 、 S 2 、 ? 、 B 、 I 、

b 、 a 、 ? m 表达
注:本题改编于 2013 年浙江高考理综第 25 题。
I

b c
B

a

六、 回音壁效应 在应用光学中用这样一项技术。在折射率为 n ? 1.33 的介质中,有一些半径为 某些角度的光在小球的内壁上做全反射 n 次后 r ? 120nm 的折射率为 n ? 1.48 的小球。 能恰好回到出发点,而光波转一圈回到出发点时相位和初态相比恰好相差 2? ? l ,其中 l 为正整数,则有可能引发一些量子效应,使得小球对介质中该频率的光波进行吸收。 (1) 利用 n 和 l 表达出对应的光波波长 ? (n, l ) (2) 对于 545nm 到 555nm 范围内的光波, 那些波长的光会被吸收?标记出对应的 n, l 。

七、 如图两个底面积分别为 2S 和 S 的绝热圆筒,用一个细的绝热阀门连接。左右各有 一密闭的,绝热的,不记阻力不记重力的活塞,活塞上端通过一个理想的滑轮组连接。 大气压为 P0 。初态阀门关闭,左边充满体积为 2V0 温度为 T0 的理想气体,定体摩尔热 容量为 CV ?

3 R ,右边真空,体积为 V0 。 2

VR , TR 。 (1) 慢慢打开阀门至左右气压平衡的时候, 求左右体积 VL 、 及左右温度 TL 、
(2) 把绝热活塞换成导热活塞,把左边的面积换为 xS ,左边初态体积换为 xV0 ,打 开活塞,平衡态时左边体积是否可能不为 0,若存在求出对应 x 的范围。 提示:理想气体热导率非常低,即活塞绝热,且左右气体保持力平衡不再流动的时候,

两边温度可以在很长时间内维持不一样。

2S

S

2V0

V0

八、? 介子一种可能的衰变模式为 ? ? e ? e ? ? 。 某个 ? 介子在以 0.2c 的速度运动中
0
0 ? ?

0

发生上述衰变。在和 ? 介子前进方向夹角为 ? ? 30? 方向上接受到一个电子。求这个电子
0

速度大小的可能的范围。已知 m? 0 ? 135MeV , me ? 0.511MeV ,普朗克常数

h ? 6.64 ?10?34 J ? s


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