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物理竞赛降维法


十三、降维法
方法简介
降维法是将一个三维图变成几个二维图,即应选两个合适的平面去观察,当遇到一个空 间受力问题时,将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。由于三维问题不好想像,选 取适当的角度,可用降维法求解。降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中 表示出来,使我们很容易找到各物理量之间的关系,从而正确解决问题。

赛题精讲


例 1:如图 13—1 所示,倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物 体,物体重为 G,静止在斜面上。现用与斜面底边平行的力 F=G/2 推该物体,物体恰好在斜面内做匀速直线运动,则物体 与斜面间的动摩擦因数μ等于多少?物体匀速运动的方向如 何? 解析:物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力 的作用下做匀速直线运动, 所以受力平衡。 但这四个力不在同一 平面内, 不容易看出它们之间的关系。 我们把这些力分解在两个 平面内,就可以将空间问题变为平面问题,使问题得到解决。 将重力沿斜面、垂直于斜面分解。我们从上面、侧面观察, 图 13—1—甲、图 13—1—乙所示。 如图 13—1—甲所示,推力 F 与重力沿斜面的分力 G1 的合力 F′为:
F?? F
2

? G1 ?
2

2 2

G

F′的方向沿斜面向下与推力成α角, 则 tan ? ?
G1 F ?1 ? ? ? 45 ?

这就是物体做匀速运动的方向 物体受到的滑动摩擦力与 F′平衡,即 所以摩擦因数: ? ?
f FN ? 2G / 2 G cos 30 ? ?

f ? F??
6 3

2G / 2

例 2:如图 13—2 所示,一个直径为 D 的圆柱体,其侧面刻有螺距为 h 的光滑的螺旋形 凹槽,槽内有一小球,为使小球能自由下落,必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的 绳子? 解析:将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽,如图 13—2—甲所示,
第1页

当圆柱体转一周,相当于沿斜槽下降一个螺距 h,当圆柱转 n 周时,外侧面上一共移动的水 平距离为 2 ?
D 2 n ? 1 2 1 2 gt
2

at

2



圆 弧 槽 内 小 球 下 降 的 高 度 为 nh ? ②

解①、②两式,可得,为使螺旋形槽内小球 能自由下落, 圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为
a ?

? Dg
h

例 3:如图 13—3 所示,表面光滑的实心圆 球 B 的半径 R=20cm,质量 M=20kg,悬线长 L=30cm。 正方形物块 A 的厚度△h=10cm, 质量 m=2kg, 物体 A 与墙之间的动摩擦因数μ=0.2, 2 取 g=10m/s 。求: (1)墙对物块 A 的摩擦力为多大? (2)如果要物体 A 上施加一个与墙平行的外力,使物体 A 在未脱离圆球前贴着墙沿水 平方向做加速度 a=5m/s2 匀加速直线运动,那么这个外力大小方向如何? 解析:这里物体 A、B 所受的力也不在一个平面内,混起来考虑比 较复杂,可以在垂直于墙的竖直平面内分析 A、B 间压力和 A 对墙的压 力;在与墙面平行的平面内分析 A 物体沿墙水平运动时的受力情况。 (1)通过受力分析可知墙对物块 A 的静摩擦力大小等于物块 A 的 重力。 (2)由于物体 A 贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动,所以摩擦 力沿水平方向,合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反。又因为物体受 竖直向下的重力,所以推力 F 方向应斜向上。 设物体 A 对墙的压力为 N,则沿垂直于墙的方向,物体 B 受到物体 A 的支持力大小也为 N,有 f ? ? N , 而 N ? Mg tan ? 又因为 sin ? ?
?h ? R L ? R ? 3 5 所以 tan ? ? 3 4

在与墙面平行的平面内,对物体 A 沿竖直方向做受力分析,如 图 13—3—甲所示有

F sin ? ? mg

沿水平方向做受力分析,有 F cos ? ? f ? ma 由
F ?


2


2


? 20









( mg ) ? ( f ? ma )

5 N , a ? a r c s i n (5 / 5 )
第2页

因此,对物体 A 施加的外力 F 的大小为 20 5 N,方向沿墙面斜向上且与物体 A 水平运 动方向的夹角为 arcsin(
5 / 5 ).

例 4:一质量 m=20kg 的钢件,架在两根完全相同的平行长直圆柱上,如图 13—4 所示, 钢件的重心与两柱等距,两柱的轴线在同一水平面内,圆柱的半径 r=0.025m,钢件与圆柱间 的动摩擦因数μ=0.20。 两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动, 角速度 ? ? 40 rad / s . 若沿 平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为 ? 0 ? 0 . 050 m / s 的匀速 运动,求推力是多大?(设钢件不发生横向运动) 解析:本题关键是搞清滑动摩擦力的方向,滑动摩擦力的方向 与相对运动的方向相反,由于钢件和圆柱都相对地面在运动,直接 不易观察到相对地面在运动,直接不易观察到相对运动的方向,而 且钢件的受力不在同一平面内,所以考虑“降维” ,即选一个合适的 角度观察。我们从上往上看,画出俯视图,如图 13—4—甲所示。 我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩擦力,先分析相对运动的 方向,钢件有向前的速度 ? 0 ,左边圆住有向右的速度 r ? ,则钢件相 对于圆柱的速度是 ? 0 与 r ? 的矢量差, 如图中△v, 即为钢件相对于 圆柱的速度,所以滑动摩擦力 f 的方向与△v,的方向相反,如图 13—4—甲所示。 以钢件为研究对象,在水平面上受到推力 F 和两个摩擦力 f 的作用,设 f 与圆柱轴线的 夹角为θ,当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时,应有
F ? 2 f cos ? ? 2 f v0 ?v ? 2f v0 v 0 ? (r? )
2 2



再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出 FN,如图 13—4—乙所示,钢件受重力 G 和两个向上的支持力 FN,且 G=2FN, 所以把 F N ?
G 2 , f ? ?FN

代入①式,得
? 2?
2

图 13—4—乙

推力 F ? 2 ? F N ?

v0 v 0 ? (r? )
2

mg 2

?

v0 v 0 ? (r? )
2 2

? 2N

例 5:如图 13—5 所示,将质量为 M 的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上,圆锥顶角 为α,设圆锥底面水平,链条静止时也水平,求链条内的张力。 解析:要求张力,应在链条上取一段质量元 ? m 进行研究。因为该问题是三维问题,各 力不在同一平面内,所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究。 作出俯视图 13—5—甲,设质量元 ? m 两端所受张力为 T,其合力为 F,因为它所对的圆
第3页

心角θ很小,所以 F

? 2 T sin

?
2

,即 F=Tθ。

再作出正视图 13—5—乙, 质量元受重力 ? m g、支持力 N 和张力的合力 F 而处于平衡状 态,由几何知识可得: F ? ? mg ? cot 所以链条内的张力
T ? F 2 ? Mg 2? ? cot

?
2

?

?
2?

Mg ? cot

?
2

?
2

例 6:杂技演员在圆筒 形建筑物内表演飞车走壁。 演员骑摩托车从底部开始 运动,随着速度增加,圈子 越兜越大, 最后在竖直圆筒 壁上匀速率行驶,如图 13 —6 所示。如果演员和摩托车的总质量为 M,直壁半径为 R,匀速率行驶的速率为 v,每绕一 周上升的距离为 h,求摩托车匀速走壁时的向心力。 解析:摩托车的运动速度 v,可分解为水平速度 v1 和竖直分速度为

v2,则向心力速度为 a ?

v1

2

。处理这个问题的关键是将螺旋线展开为
2? R ( 2? R ) ? h
2 2

R

一个斜面, 其倾角的余弦为 cos a ? 示。 所以有 v 1 ? v cos ? ?
2? R

, 如图 13—6—甲所

( 2? R ) ? h
2

v
2

向心加速度为: a ?

v1

2

?

v

2

(

2? R ( 2? R ) ? h
2
2

)
2

2

R

R

向心力

F ? Ma ? Mv

2

4? R ( 4? R
2 2

? h )
2

例 7:A、B、C 为三个完全相同的表面光滑的小球,B、C 两球各被一长为 L=2.00m 的 不可伸和的轻线悬挂于天花板上, 两球刚好接触, 以接触点 O 为原点作一直角坐标系 Oxyz , z 轴竖直向上,Ox 与两球的连心线重合,如图 13—7 所示。今让 A 球射向 B、C 两球,并与两 球同时发生碰撞。碰撞前,A 球速度方向沿 y 轴正方向,速率为 v A ? 4 . 00 m / s 。相碰后,
0

第4页

A 球沿 y 轴负方向反弹,速率 v A =0.40m/s。 (1)求 B、C 两球被碰后偏离 O 点的最大位移量; (2)讨论长时间内 B、C 两球的运动情况。 (忽略空气阻力,取 g=10m/s2) 解析: (1)A、B、C 三球在碰撞前、后的运动发生在 Oxy 平面内, 设刚碰完后,A 的速度大小为 v A ,B、C 两球的速度分别为 v B 与 v C , 在 x 方向和 y 方向的分速度的大小分别为 v Bx , v By 和 v Cx , v Cy ,如图 13 —7—甲所示,由动量守恒定律,有 mv Cx ? mv Bx ? 0
mv
Ax



? mv

By

? mv Cy ? mv

A



由于球面是光滑的,在碰撞过程中,A 球对 B 球的作用力方向沿 A、B 两球的连心线, A 球对 C 球的作用力方向沿 A、C 两球的连心线,由几何关系,得
v Bx ? v By tan v Cx ? v Cy ? 6? ? ? ? tan 6? ?

? ?



由对称关系可知

v Bx ? v Cy



解①、②、③、④式可得 v Bx ? v Cy ? 1 . 27 m / s
v Bx ? v Cy ? 2 . 20 m / s

图 13—7 甲

由此解得

v Bx ? v Cy ? 2 . 54 m / s

设 C 球在 x>0, y>0, z>0 的空间中的最大位移为 OQ , Q 点的 z 坐标为 zQ,则由机械能守 恒定律可写出
1 2 mv
2 C

? m g zQ



所以

zQ ?

vC 2g

2

代入数值解得 zQ=0.32m

而 Q 点到 Oz 轴的距离为

QD ?

L ? (L ? zQ )
2

2

?
2

z Q (2 L ? z Q )

所以 C 球离 O 点的最大位移量

OQ ?

z Q ? OD
2

?

2 Lz Q



第5页

代入数值,得

OQ ? 1 . 13 m



由对称性,可得 B 球在 x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 的空间的最大位移量 OP 为
OP ? OQ ? 1 . 13 m



(2)当 B、C 两球各达到最大位移后,便做回到原点的摆动,并发生两球间的碰撞,两 球第一次返回 O 点碰撞前速度的大小和方向分别为
v Bx ? 1 . 27 m / s

方向沿正 x 轴方向 方向沿 y 轴方向 方向沿正 x 轴方向 方向沿 y 轴方向

v By =2.20m/s
v Cx ? 1 . 27 m / s

v Cy =2.20m/s

设碰撞后的速度分别为 v B 和 v C , 对应的分速度的大小分别为 v B 1 x 、v B 1 y 、v C 1 x 和 v C 1 y ,
1 1

由于两球在碰撞过程中的相互作用力只可能沿 x 轴方向,故碰撞后,沿 y 轴方向的速度大小 和方向均保持不变(因为小球都是光滑的) ,即
v B 1 y = v By v C 1 y = v Cy

方向沿负 y 轴方向 ⑨ 方向沿负 y 轴方向 ⑩
mv C 1 x ? mv ? mv ? mv Cx

碰撞过程中,沿 x 轴方向的动量守恒,则 因为 v Bx ? v Cx 所以 v C 1 x ? v B 1 x

B1 x

Bx

即碰撞后两球在 x 方向的分速度大小也相等,方向相反,具体数值取决于碰撞过程中是 否机械能损失。在 A 球与 B、C 两球同时碰撞的过程中,碰撞前,三者的机械能
E 1? E2 ? 1 2 1 2 mv
2 A

mv

2 AD

? 8m 1 2 mv
2 B

碰撞后三者的机械能
? 1 2 mv
2 C

?

? 6 . 59 m

E 2 ? E1

表明在碰撞过程中有机械能损失,小球的材料不是完全弹性体,故 B、C 两球在碰撞过 程中也有机械能损失,即
1 2 m ( v B1 X ? v B1 Y ) ?
2 2

1 2

m ( v C1 X ? v C1 X ) ?
2 2

1 2

m ( v B X ? v BY )
2 2

11 ○

11 由⑨、⑩和○三式,和

vB

1X

? vC

1x

? v Bx ? v Cx
第6页

12 ○

或 v B ? vC1 ? v B ? vC
1

当 B、C 两球第二次返回 O 点时,两球发生第二次碰撞,设碰撞后两球的速度分别为
v B 2 和 v C 2 ,对应的分速度的大小分别为 v B
2X

, v B , vC 2x和 vC 2 y ,
2y

则有 v B 或

2y

? vC

2y

? vB

1y

? vC

1y

vB

2x

? vC

2x

? vB

1x

? vC

1y

v B 2 ? v B1

vC 2 ? vC1

由此可见,B、C 两球每经过一次碰撞,沿 x 方向的分速度都要变小,即
vB
X

? v Cx ? v B

1x

? vC

1x

? vB

2x

? vC

2x

? vB

3x

? vC

3x

……

而 y 方向的分速度的大小保持不变,即
v B ? v Cy ? v B
y 1y

? vC

1y

? vB

2y

? vC

2y

? vB

3t

? vC

3y

……

当两球反复碰撞足够多次数后,沿 x 方向的分速度为零,只有 y 方向的分速度。设足够 多的次数为 n,则有
vB ? vC

v B nx ? v C nx ? 0
14 ○

13 ○

ny

ny

? v B ? 2 . 20 m / s
y

14 即最后,B、C 两球一起的 Oyz 平面内摆动,经过最低点 O 的速度由○式给出,设最高

点的 z 轴坐标为 z Qn ,则 代入数值,得

1 2

mv Cny ? mgz
2

Qn

得 z Qn ?

v Cny 2g

2

z Qn ? 0 . 24 m

15 ○

最高点的 y 坐标由下式给出: y Qn ? ? L ? ( L ? z Qn )
2

2

? ?

( 2 L ? z Qn ) z Qn

代入数值,得: y Qn ? ? 0 . 95 m

16 ○

例 8:一半径 R=1.00m 的水平光滑圆桌面,圆心为 O,有一竖直的 立柱固定在桌面上的圆心附近, 立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封 闭曲线 C,如图 13—8 所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳,一端固定 在封闭曲线上某一点,另一端系一质量为 m=7.5×10—2kg 的小物块。将 小物块放在桌面上并把绳拉直, 再给小物块一个方向与绳垂直、 大小为
v 0 ? 4 . 0 m / s 的初速度,物块在桌面上运动时,绳将缠绕在立柱上。已

图 13—8

知当绳的张力为 T0=2.0N 时,绳即断开,在绳断开前物块始终在桌面上运动。 (1)问绳刚要断开时,绳的伸直部分的长度为多少?
第7页

(2)若绳刚要断开时,桌面圆心 O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与 绳的伸直部分垂直,问物块的落地点到桌面圆心 O 的水平距离为多少?已知桌面高度 H=0.80m,物块在桌面上运动时未与立柱相碰。取重力加速度大小为 10m/s2。 解析: (1)这一问题比较简单。绳断开前,绳的张力即为物块所受的向心力,因为初速 度与绳垂直,所以绳的张力只改变物块的速度方向,而速度大小不变,绳刚要断开时,绳的 伸直部分的长度可求出。 设绳的伸直部分长为 x,则由牛顿第二定律得: T 0 ? m
v0 x
2

代入已知数值得:x=0.60m (2)选取桌面为分析平面,将物块的落地点投影到此分析平面上,然后由平抛运动的 知识求解。如图 13—8—甲所示,设绳刚要断开时物块 位于桌面上的 P 点,并用 A 点表示物块离开桌面时的 位置, 先取桌面为分析平面, 将物块的落地点投影到此 分析平面上,其位置用 D 点表示,易知 D 点应在直线 PA 的延长线上, OD 即等于物块落地点与桌面圆心 O 的水平距离, AD 等于物块离开桌面后做平抛运动的 而 水平射程。 即
AD ? v 0 2H g

故 OD ?

x

2

? (

R

2

? x

2

? v0

2H g

)

2

代入已知数值得物块落地点到桌面圆心 O 的水平距离 OD ? 2 . 47 m 例 9:如图 13—9 所示是一种记录地震装置的水平摆,摆球 m 固定在边长为 L,质量可 忽略不计的等边三角形的顶点 A 上。它的对边 BC 跟竖直线成不大的夹角 ? ,摆球可以绕固 定轴 BC 摆动。求摆做微小振动的周期。 解析:若 m 做 微小振动, 则其轨迹 一定在过 A 点,垂 直于 BC 的平面内的 以 O 为圆心, 为 OA 半径的圆弧上。 因此 我们可以作一个过 A 点垂直于 BC 的平 面 M,如图 13—9— 甲所示,将重力 mg 沿 M 平面和垂直于 M 平面方向分解,则在平面 M 内,m 的振动等效于

第8页

一个只在重力 m g ? ? mg sin ? 作用下简谐运动,摆长 L ? ? L sin 60 ? ?
L? g?

3 2

L.

所以周期

T ? 2?

? 2?

3L 2 g sin ?

例 10:六个相同的电阻(阻值均为 R)连成一个电阻环, 六个结点依次为 1、2、3、4、5 和 6,如图 13—10 所示。现有五 个完全相同的这样的电阻环,分别称为 D1、D2、…、D5。现将 D1 的 1、3、5 三点分别与 D2 的 2、4、6 三点用导线连接,如图 13—10—甲所示。然后将 D2 的 1、3、5 三点分别与 D3 的 2、4、 6 三点用导线连接……依次类推,最后将 D5 的 1、3、5 三点分 别连接到 D4 的 2、4、6 三点上。 证明:全部接好后,在 D1 上的 1、3、两点间的等效是电阻为
724 627 R。

解析: 由于连接电阻 R 的导线, 连接环 D 之间的导线均不计电阻, 因此,可改变环的半径,使五个环 的大小满足:D1<D2<…<D5. 将图 13—10—甲所示的圆柱形网络变成圆台形网络,在沿与底面垂直的方向将此圆台形 网络压缩成一个平面,如图 13—10—乙所示的平面电路图。 现将圆形电阻环变成三角形,1、3、5 三点为三角形的顶点,2、4、6 三点为三角形三边 的中点,图 13—10—乙又变为如图 13—10—丙所示电路图。不难发现,图 13—10—丙所示的 电路相对虚直线 3、6 具有左右对称性。

第9页

可以用多种解法求。如将电路等效为图 13—10—丁。 A1B1 以内的电阻
R A1 B 1 ? 4 5 R

A2B2 以内的电阻
R A2 B 2 ? ? ( R A1 B1 ? 2 R ) R ( R A1 B1 ? 2 R ) ? R 14 19 R
( R A2 B 2 ? 2 R ) ? R ( R A2 B 2 ? 2 R ) ? R ?

A3B3 以内的电阻 R A

3 B3

?

?

52 71

R

A4B4 以内的电阻 R A

( R A3 B 3 ? 2 R ) ? R ( R A3 B 3 ? 2 R ) ? R ( R A4 B 4 ? 2 R ) ? R ( R A4 B 4 ? 2 R ) ? R

4B4

?

194 265 724 627

R

A5B5 以内的电阻 R A

5 B5

?

?

R

即为 D1 环上 1、3 两点间的等效电阻。 例 11:如图 13—11 所示,用 12 根阻值均为 r 的相同的电阻丝构成正立方体框架。试求 AG 两点间的等效电阻。 解析:该电路是立体电路,我们可以将该立体电路“压扁” ,使其变成平面电路,如图
第 10 页

13—11—甲所示。 考虑到 D、E、B 三点等势,C、F、H 三点等势,则电路图可等效为如图 13—11—乙所 示的电路图,所以 AG 间总电阻为
R ? r 3 ? r 6 ? r 3 ? 5 6 r

例 12:如图 13—12 所示,倾角为θ的斜面上放一木制圆制,其质量 m=0.2kg,半径为 r, 长度 L=0.1m,圆柱上顺着轴线 OO′绕有 N=10 匝的线圈, 线圈平面与斜面平行, 斜面 处于竖直向上的匀强磁场 中,磁感应强度 B=0.5T, 当通入多大电流时, 圆柱才 不致往下滚动? 解析: 要准确地表达各 物理量之间的关系, 最好画 出正视图,问题就比较容易求解了。如图 13—12—甲所示, 磁场力 Fm 对线圈的力矩为 MB=NBIL〃2r〃sinθ,重力对 D 点的力矩为: MG=mgsinθ,平衡时有:MB=MG 则可解得: I ?
mg 2 NBL ? 1 . 96 A

例 13:空间由电阻丝组成的无穷网络如图 13—13 所示, 每段电阻丝的电阻均为 r,试求 A、B 间的等效电阻 RAB。 解析: 设想电流 A 点流入, B 点流出, 从 由对称性可知, 网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电势,故可撤去这 根电阻丝,而把空间网络等效为图 13—13—甲所示的电路。 (1) 其中竖直线电阻 r′ 分别为两个 r 串联和一个 r 并 联 后 的 电 阻 值 , 所 以
r? ? 2r ? r 3r ? 2 3 r

横线每根电阻仍为 r,此 时将立体网络变成平面网络。 (2)由于此网络具有左 右对称性,所以以 AB 为轴对折,此时网络变为如图 13—13—乙所示的网络。
第 11 页

其中横线每根电阻为 r1 ?

r 2

,竖线每根电阻为 r ?? ?
2 3

r? 2

?

r 3

AB 对应那根的电阻为 r ? ?

r ,此时由左右无限大变为右边无限大。

(3)设第二个网络的结点为 CD,此后均有相同的网络,去掉 AB 时电路为图 13—13— 丙所示。再设 RCD=Rn-1(不包含 CD 所对应的竖线电阻) 则 R A B ? ? R N ,网络如图 13—13—丁所示。
r r ??R n ? 1 r ?? ? R n ? 1 ? R n ?1 ? r ? ? R n ?1

此时

R n ? 2 r1 ?

3 ? 2? ? r 2 3

r

rR n ? 1 r ? 3 R n ?1
2

当 n ? ? 时,Rn=Rn-1

∴ 上式变为 R n ? r ?

rR n r ? 3Rn

?

r

? 4 rR n

r ? 3Rn

由此解得: R n ?

3? 6

21 r

r

即 R AB? ?

3? 6

21 r

r

补上 AB 竖线对应的电阻
2 R AB ? 3 2 3

2 3

r ,网络变为如图 13—13—戊所示的电路。

r ? R AB? ? r ? R AB?

2 3 ? 21 2 ? r 3 6 2 3 r ? 3? 6 21 r

?

2 (3 ?

21 ) r

21 ? 3 21

?

2 (3 ?

21 )

21 ( 21 ? 3 )

r ?

2 21 21

r

例 14:设在地面上方的真空室内,存在匀强电场和匀强磁场, 已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的,电场强度的大小 E=4.0V/m,磁感应强度的大小 B=0.15T,今有一个带负电的质点 以 v=20m/s 的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动, 求此带电质点的电量与质量之比 q/m 以及磁场的所有可能方向 (角 度可用反三角函数表) 。 解析: 因为带负电的质点做匀速直线运动, 说明此质点所受的 合外力为零。 又因为电场强度和磁感应强度的方向相同, 所以该带
第 12 页

电质点所受的电场力和洛仑兹力的方向垂直共面,且必受重力作用,否则所受合外力不可能 为零,设质点速度方向垂直纸面向里。由此该带电质点的受力图如图 13—14 所示。由平衡条 件有 有水平方向: Eq cos ? ? Bqv sin ? ① ②

在竖直方向: Eq sin ? ? Bqv cos ? ? mg 解得: tan ? ?
4 3

? ? arct an

4 3

q/m=2

同理,当质点速度方向垂直纸面向外时受力情况如图 13—14—甲,由平衡条件可解出θ值与上式解出的一样,只 是与纸平面的夹角不同,故此带电质点的电量与质量之比 为 2。 磁场的所有可能方向与水平方向的夹角都是 ? ? arctan
4 3 或 tan ? ? 4 3

针对训练
1.如图 13—15 所示,一个重 1000N 的物体放在倾角为 30°的斜面上,物体与斜面间的 摩擦系数μ为 1/3。 今有一个与斜面最大倾斜线成 30°角的力 F 作用于物体上, 使物体在斜面 上保持静止,求力 F 的大小。

2.斜面倾角θ=37°,斜面长为 0.8m,宽为 0.6m,如图 13—16 所示。质量为 2kg 的木块 与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5,在平行于斜面方向的恒力 F 的作用下,沿斜面对角线从 A 点运动到 B 点(g=10m/s2,sin37°=0.6) 。求: (1)力 F 的最小值是多大? (2)力 F 取最小值时木块的加速度。 3.质量为 0.8kg 的长方形木块静止在倾角为 30°的斜面上,若用平行于斜面沿水平方向 大小等于 3N 的力推物体,它仍保持静止,如图 13—17 所示,则木块所受摩擦力大小 为 ,方向为 。 4.如图 13—18,四面体框架由电阻同为 R 的 6 个电阻连接而成,试求任意两个顶点 AB 间的等效电阻。
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5.如图 13—19 所示三棱柱由电阻同为 R 的电阻线连接而成,试求 AB 两个顶点间的等 效电阻。 6.将同种材料粗细均匀的电阻丝连接成立方体的形状,如图 13—20 所示,每段电阻丝 电阻均为 r。试求: (1)AB 两点间等效电阻 RAG; (2)AD 两点间等效电阻 RAD。

参考答案
1.0.288×103N≤F≤0.577×103N 2.(1)7.2N (2)0.8m/s2 3.5N 沿斜面指向右上方水平方向的夹角为 53 ° 4. R AB ? 5. R AB ?
R 2 4 9 5 6 r R

6. (1) R AG ?

(2) R AD ?

7 12

r

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