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【二轮专用】2014届高三名校数学(理)试题分类精选精析汇编Ⅱ(广东专版):数列


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一.基础题组 1. 【广东省中山市一中 2014 届高三第二次统测】 等差数列 ? an ? 中, “ a1 ? a3 ” 是 “ an ? an ?1 ”
的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

/>2.【广东省中山市一中
q ? 2 ,则

2014 届高三第二次统测】已知等比数列 ? an ? 的首项 a1 ? 1, 公比

log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 a11 ?
( A. 50 46 ) B. 35 C. 55 D.

3.【广东省惠州市 2014 届高三第二次调研考试】设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,
a1 ? 2, a5 ? 3a3 ,则 S9 ?

1

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) B. ?54 C. 54

A. ?72 D. 72

【广东省广州市海珠区 2014 届高三上学期综合测试二】 在各项都为正数的等比数列 ? an ? 4. 中, a1 ? 3 ,前三项的和为 21 ,则 a3 ? a4 ? a5 ? A. 33 D. 189 B. 72 ( ) C. 84

5.【广东省中山市一中 2014 届高三第二次统测】已知等差数列 ?an ? ,满足 a3 ? 1, a8 ? 6 ,
则此数列的前 10 项的和 S10 ? 【答案】 35 . 【解析】 试题分析:由于数列 ? an ? 是等差数列,则 a1 ? a10 ? a3 ? a8 ? 1 ? 6 ? 7 ,所以

S10 ?

10 ? a1 ? a10 ? 2

?

10 ? 7 2

? 35 .
考点:1.等差数列的性质;2.等比数列求和
2

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6.【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中 2014 届高三
第一次联考】已知数列 ? an ? 的首项 a1 ? 1 ,若 ?n ? N ? , an ? an ?1 ? ?2 ,则 an ? .

7.【广东省揭阳一中、潮州金山中学 2014 届高三 10 月期中联考】设数列 ?an ? 、?bn ? 都是
等差数列,若 a1 ? b1 ? 7 , a3 ? b3 ? 21 ,则 a5 ? b5 ? .

8. 【 广 东 省 深 圳 市 宝 安 区
a1 ? a5 ? a9 ? 8? ,则 cos(a 2 ? a8 ) 的值为________.

2014 届 高 三 调 研 考 试 】 已 知 {a n } 为 等 差 数 列 , 若

3

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9. 【 广 东 省 百 所 高 中
Sn , 若

2014 届 高 三 11 月 联 考 】 设 等 差 数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 为 .

S12 S9 ? ? 2 ,则数列 ?an ? 的公差 d 为 4 3

二.能力题组 1.【广东省中山市实验高中 2014 届高三 11 月阶段考试】数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等
差数列且 bn ?

an ?1 ? an
( A.0 D.11 【答案】B 【解析】 )





b3 ? ?2



b10 ? 12





a8 ?

B.3

C.8

4

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1 2. 【广东省佛山市石门中学 2014 届高三第二次月考】 数列 ? an ? 前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? , 3
且对任意正整数 m 、n , 都有 am? n ? am ? an , 若 Sn ? a 恒成立则实数 a 的最小值为 ( A. D. 2 ) C.

1 2

B.

2 3

3 2

3. 【广东省佛山市石门中学 2014 届高三第二次月考】 数列 ? an ? 满足:a1 ? 2 ,an ? 1 ?

1 an ?1

? n ? 2,3, 4,?? ,若数列 ?an ? 有一个形如 an ?
? 均为实数,且 ? ? 0 , ? ?

3 sin ?? n ? ? ? ?

?
2

1 的通项公式,其中 ? 、 2
.

,则 ? ? ________, ? ?

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4. 【 广 东 省 执 信 中 学

2014 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 】 若 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 3 ,

an ? an?1 ? 4(n ? 2) ,则 a2013 =________.

三.拔高题组 1.【广东省中山市一中
a2 ? a3 ? a4 ? 28
, 2014 届高三第二次统测】已知单调递增的等比数列 ? an ? 满足:

且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项.

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 bn ? an log 2 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n

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2.【广东省中山市一中 2014 届高三第二次统测】已知 f ( x) ? ? 4 ?
n 项和为 S n ,

1 数列 {a n } 的前 x2 ,

1 ) 在曲线 y ? f ( x) 上 (n ? N * ) ,且 a1 ? 1 , an ? 0 an ?1 (1)求数列 {a n } 的通项公式; T T (2)数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn 且满足 n ?21 ? n 2 ? 16n 2 ? 8n ? 3 ,b1 ? 1 ,求数列 {bn } , an an ?1
点 Pn (an , ? 的通项公式; (3)求证: S n

?

1 4n ? 1 ? 1, n ? N * . 2

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试题解析: (1) ?

1 a n ?1

? f (a n ) ? ? 4 ?

1 an
2

且a n ? 0




1 a n ?1
2

?

1 an
2

? 4(n ? N *)


∴数列 {

1 an

} 是等差数列,首项 2

1 1 ,公差 d ? 4 ,∴ 2 ? 1 ? 4( n ? 1) 2 a1 an

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3.【广东省中山市实验中学 2014 届高三 11 月阶段考试】已知数列 ?an ?, ?bn ?, a1 ? 1 ,
an ? an ?1 ? 2 n ?1 , bn ?

an ?1 ? 1 , S n 为数列 ?bn ?的前 n 项和, Tn 为数列 ?S n ? 的前 n 项和. an an ?1

(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n ; (3)求证: Tn ?

n 1 ? . 2 3
n

【答案】 (1) an ? 2 ? 1 ; (2) Sn ? 【解析】

2n ? 1 ; (3)详见解析. 2n ?1 ? 1

试题分析: (1)解法一是根据数列 ? an ? 递推式的结构选择累加法求数列 ? an ? 的通项公式; 解法二

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4.利用放缩法证明数列不等式

4.【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中 2014 届高三
第一次联考】 设 S n 为数列 ? an ? 的前 n 项和, 对任意的 n ? N ? , 都有 S n ? ? m ? 1? ? man( m 为正常数).
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(1)求证:数列 ? an ? 是等比数列; (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn ?1 ? n ? 2, n ? N ? ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn ?1

(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

试题解析: (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? (m ? 1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? man ?1 ? man .即 (1 ? m)an ? man ?1 . 又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴

an m ? (n ? 2) . an ?1 1 ? m

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为 (2) b1 ? 2a1 ? 2 …5 分 ∵ bn ?

m 的等比数列. 1? m

bn ?1 1 1 1 1 ,∴ ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) . bn bn ?1 bn bn ?1 1 ? bn ?1

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5.【广东省佛山市石门中学 2014 届高三第二次月考】数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项的和
是 S n ,且 Sn ? 2an ? 1 , n ? N ? . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)记 bn ? log 2 ? 2an ? ,求 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn . 【答案】 (1) an ? 2n ?1 ; (2) Tn ? 【解析】 试题分析: (1)先利用 an 与 S n 之间的关系 an ? ?

n ? n ? 1? 2

.

n ?1 ? S1 , 对 n ? 2 时,利用 ? S n ? S n ?1 , n ? 2

an ? Sn ? Sn?1 求出数列 ?an ? 在 n ? 2 时的表达式,然后就 a1 ? 1 进行检验,从而求出数列
(2)在(1)的基础下,先求出数列 ?bn ? 的通项公式,然后利用公式法求 ?an ? 的通项公式; 出数列 ?bn ? 的通项公式. 试题解析: (1)当 n ? 2 且 n ? N ? 时,由 Sn ? 2an ? 1 ,得 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 ,
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6.【广东省佛山市石门中学
An ? xn , yn ? 作一斜率为 kn ? ?

2014 届高三第二次月考】已知曲线 C : xy ? 1 ,过 C 上一点

1 的直线交曲线 C 于另一点 An ?1 ? xn ?1 , yn ?1 ? ( xn ? xn ?1 xn ? 2

且 xn ? 0 ,点列 ? An ? 的横坐标构成数列 ? xn ? ,其中 x1 ? (1)求 xn 与 xn ?1 的关系式; (2)令 bn ?

11 . 7

1 1 ? ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; xn ? 2 3

(3)若 cn ? 3n ? ?bn ( ? 为非零整数, n ? N ? ) ,试确定 ? 的值,使得对任意 n ? N ? ,都 有 cn ?1 ? cn 成立.

分类讨论,结合参数分离法求出 ? 在相应条件的取值范围,最终再将各范围取交集,从而确 定非零整数 ? 的值.
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7.【广东省增城市 2014 届高三调研考试】已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 2an?1 ? an ? 1.
2
(1)求 {an } 的通项公式; (2)证明:

a1 ? a2 ? ... ? an ? 1. n

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1 1 ?1? ? ?? ? n n ? 1 ? 1 ?2 ? 2 2 ?2? ?1? ?1? ? n? ? n ?1? ? ? , (2) ∵ a1 ? a2 ? ... ? an ? n ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? , 1 ?2? ? ?2? ?2 ? 2 ? ? ? 1? 2
?1? 1? ? ? a ? a2 ? ... ? an 2 ? 1? ? ? , ∴ 1 n n
?1? 1? ? ? n n ?1? ?1? ?2? ?0, ∵ n 是正整数,∴ 0 ? ? ? ? 1 , 0 ? 1 ? ? ? ? 1, n ?2? ?2?

n

n

n

a1 ? a2 ? ... ? an ? 1. n

考点:1.待定系数法求数列的通项公式;2.分组求和法求数列的和;3.数列不等式

8.【广东省惠州市 2014 届高三第二次调研考试】已知数列 {an } 的前 n 项和是 S n ,且

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1 Sn ? an ? 1(n ? N * ) . 2
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn ? log 3 (1 ? Sn ?1 )(n ? N * ) , 求适合方程 的值.

1 1 1 25 的正整数 n ? ? ??? ? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 51

试题解析: (1) 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 s1 ? 当 n ? 2 时,∵ sn ? 1 ? ∴ sn ? sn ?1 ? ∴ an ?

1 2 a1 ? 1 ,得 a1 ? , 2 3

1 1 an , sn ?1 ? 1 ? an ?1 , 2 2

1 1 ? an?1 ? an ? ,即 an ? ? an?1 ? an ? 2 2

1 a n ?1 (n ? 2) 3 2 1 为首项, 为公比的等比数列. 3 3

∴ ?an ? 是以

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考点:1.定义法求数列通项公式;2.裂项相消法求和

9.【广东省执信中学

2014 届高三上学期期中考试】已知数列 {an },{bn } 中, a1 ? b1 ? 1 ,

且当 n ? 2 时, an ? nan?1 ? 0 , bn ? 2bn ?1 ? 2n ?1 .记 n 的阶乘 n(n ? 1)(n ? 2)?3 ? 2 ?1 ? n ! (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:数列 { (3)若 cn ?

bn } 为等差数列; 2n

an ? bn ? 2n ,求 {cn } 的前 n 项和. an ? 2

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10.【广东省揭阳一中、潮州金山中学 2014 届高三 10 月期中联考】设 a1 、 d 为实数,首
项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 S5 S6 ? 15 ? 0 , S5 ? 5 . (1)求通项 an 及 S n ; (2)设 ?bn ? 2an ? 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和

Tn .

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【答案】 (1) an ? ?3n ? 10 , Sn ? ?

3n2 ? 17n ; (2) bn ? ?6n ? 20 ? 3n ?1 , 2

3n ? 1 . ?Tn ? ?3n ? 17n ? 2
2

11. 【广东省深圳市宝安区
Sn ? 2 ?

2014 届高三调研考试】 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且

1 , 2n?1 (1)求数列 {an } 的通项公式;

log (2)设 Tn ? log 2 a1 ?log 2 a 2 ???
【答案】 (1) an ?

2

a ,n 求证:

1 1 1 ? ? ? ? ? ?2 ? n ? N ? , n ? 2 ? . T2 T3 Tn

1 ; (2)详见解析. 2n ?1

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12.【广东省百所高中 2014 届高三 11 月联考】已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n?1 ,在
等差数列数列 ?bn ? 中, bn ? 0 n ? N 成等比数列. (1)求数列 ?an ? bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn . 【答案】 (1) an ? bn ? ? 2n ? 1? ? 3 【解析】
n ?1

?

?

? ,且 b ? b
1

2

? b3 ? 15 ,又 a1 ? b1 、 a2 ? b2 、 a3 ? b3

; (2) Tn ? n ? 3 .
n

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考点:1.利用基本量法求等差数列的通项;2.错位相减法求和

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a1 ? 1 , a2 ? 3 , 13. 【广东省广州市海珠区 2014 届高三上学期综合测试二】 在数列 ? an ? 中,

an ? 2 ?
3an?1 ? kan

? k ? 0 ? 对任意 n ? N ? 成立,令 bn ? an?1 ? an ,且 ?bn ? 是等比数列.

(1)求实数 k 的值; (2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3)求证:

1 1 1 1 34 . ? ? ??? ? a1 a2 a3 an 21

n ?1 n (2)? b1 ? 2 ,数列 ?bn ? 为等比数列,? bn ? 2 ? 2 ? 2 ,

? a2 ? a1 ? 21 , a3 ? a2 ? 22 , ? , an ? an ?1 ? 2n ?1 ,

? an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an ?1 ? ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ,
? an ? 2n ? 1 ;

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