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合情推理和演绎推理练习题学生


合情推理和演绎推理 【知识梳理】
1.推理 _________________________________________,这种思维方式及推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是________________叫做前提,一部分是由已知推出的 判断,叫结论. 2、合情推理: _______________________________________________________________________。

【例 1】通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假。
3 3 ; sin 2 30 0 ? sin 2 90 0 ? sin 2 150 0 ? ; 2 2 3 3 sin 2 450 ? sin 2 105 0 ? sin2 165 0 ? ; sin 2 60 0 ? sin 2 120 0 ? sin 2 180 0 ? 2 2 sin 2 150 ? sin 2 750 ? sin 2 135 0 ?

1 1 1 3 5 【例 2】设 n 为正整数,f(n)=1+ + +?+ ,经计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, 2 3 n 2 2

合情推理可分为________________________________和_______________________________两类: ( 1 ) 归 纳 推 理 : 由 某 类 事 物 的 ________________________ 具 有 某 些 特 征 , 推 出 该 类 事 物 的 ________________________具有这些特征的推理,或者由_________________________________概 括出_________________________________________的推理。简言之,归纳推理是由部分到整体、 由个别到一般的推理 (2)类比推理:由_________________________具有某些类似特征和__________________________ 对象具有的某些已知特征,推出_______________________________也具有这些特征的推理,简言 之,类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从_________________________________________原理出发,推出________________的结论的推理 叫演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。 三段论是演绎推理的一般模式,它包括: (1)大前提---已知的一般原理; (2)小前提---所研究的特殊情况; (3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断。

f(32)> ,观察上述结果,可推测出一般结论(
2n+1 A.f(2n)> 2

7 2

)

B.f(n )≥

2

n+2
2

C.f(2 )≥

n

n+2
2

D.以上都不对

【例 3】函数 f ( x) 由下表定义:

x
f ( x)

2
1

5

3 3

1
4

4
5


2

若 a0 ? 5 , an ?1 ? f (an ) , n ? 0,1, 2,? ,则 a2007 ?

【注】
归纳推理的一些常见形式:一是“具有共同特征型” ,二是“递推型” ,三是“循环型” (周期性)

【变式】 1、对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:

【典型例题】
题型 1 用归纳推理发现规律

22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5
________.

32 ? 1 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11
2

42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19
3 *

根据上述分解规律,则 5 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 , 若 m (m ? N ) 的分解中最小的数是 73,则 m 的值

2、图(1) 、 ( 2) 、 (3) 、 (4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉祥物“福 娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎” ,则 f (5) ? ;

S ?ABC ?

f (n) ? f (n ? 1) ?

. (答案用数字或 n 的解析式表示)

V A? BCD

1 r (a ? b ? c) ;类比这一结论有:若三棱锥 A ? BCD 的内切球半径为 R ,则三棱锥体积 2 ?

2. 如果函数 f ( x) 在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1 , x 2 ,?, x n ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) x ? x2 ? ? ? xn ? f( 1 ) .若 y ? sin x 在区间 (0, ? ) 上是凸函数, n n 那么在 ? ABC 中, sin A ? sin B ? sin C 的最大值是________________.
都有 题型 3 演绎推理 【例 1】有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知 3、设 f 0 ( x) ? cos x, f1 ( x) ? f 0 '( x), f 2 ( x) ? f1 '( x),?, f n ?1 ( x) ? f n '( x) , n ? N , 则 f 2008 ( x) =( ) A. ? sin x 题型 2 B. ? cos x C. sin x D. cos x
?

直线 b∥平面 α ,直线 a?平面 α ,则直线 b∥直线 a”,结论显然是错误的,这是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 B.小前提错误 D.非以上错误

)

用类比推理猜想新的命题

【例 1】在平面直角坐标系中,直线一般方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,圆心在 ( x 0 , y 0 ) 的圆的一般方 程 为 ( x ? x0 ) ? ( y ? y 0 ) ? r ; 则 类 似 的 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 平 面 的 一 般 方 程 为
2 2 2

【例 2】.已知:空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,CD 的中点,判断直线 EF 与平面 ABD 的关
系,并证明你的结论.

________________,球心在 ( x0 , y 0 , z 0 ) 的球的一般方程为_______________________.

1 【例 2】已知正三角形内切圆的半径是高的 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是 3
____________________________.

【方法指导】
(1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2)类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比;实 数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等

【变式】 1、已知 ?ABC 的三边长为 a, b, c ,内切圆半径为 r (用 S ?ABC 表示?ABC的面积 ) ,则

合情推理和演绎推理练习题 1、如图第 n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来,(n=1,2,3,?) 。则第 n-2
个图形中共有 个顶点。

按照这样的规律继续逐个叠放下去,那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是(

)

A.25

B.66

C.91

D.120

5、若点 P 是正四面体 A-BCD 的面 BCD 上一点,且 P 到另三个面的距离分别为 h1,h2,h3,正四面 体 A-BCD 的高为 h,则( A.h>h1+h2+h3 C.h<h1+h2+h3 2、下图中的线段规则排列,试猜想第 8 个图形中的线段条数为________. ) B.h=h1+h2+h3 D.h1,h2,h3 与 h 的关系不定

6、为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ? 密文(加密) ,接受方由密文 ? 明文(解
密) ,已知加密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b,2b ? c,2c ? 3d ,4d ,例如,明文 1, 2,3, 4 对 应密文 5,7,18,16 .当接受方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文为( A. 4,6,1,7 7、设 f ? x ? ? B. 7,6,1,4 C. 6,4,1,7 D. 1,6,4,7 ) .

1? x ,又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , f k ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ? ? , k ? 1, 2,?, 则 f 2008 ? x ? ? ( ) 1? x
B.

3.观察下列数表规律 A.

8、1.如果数列 ?an ? 是等差数列,则
A. a1 ? a8 ? a4 ? a5

1? x ; 1? x

x ?1 ; x ?1

C. x ;

D. ?

1 ; x
D. a1a8 ? a4 a5

B. a1 ? a8 ? a4 ? a5

C. a1 ? a8 ? a4 ? a5

则从数 2009 到 2010 的箭头方向是(

)

9、已知 f ( x ? 1) ?
A. f ( x) ?

2 f ( x) , f (1) ? 1 (x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? 2
B. f ( x) ?

4 2 ?2
x

2 x ?1

C. f ( x) ?

1 x ?1
n

D. f ( x) ?

2 2x ?1
D. 2
n ?1

10、数列 3,5,9,17,33,?的通项公式 a n 等于( ) A. 2
n

B. 2 ? 1
n

C. 2 ? 1

11、数列 2,5,9,14,20, x ,35,?中的 x 等于( )
4.下图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图 2、图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成, A.25 B.26 C.27 D.28

11 1 1 1 1 1 1 1 12、数列 1, , 。 。 。前 100 项的和等于( , , , , , , , 2 2, 3 3 3 4 4 4 4
9 A . 13 14
B.



18、 (1)已知等差数列 ?a n ?, bn ? 列;

a1 ? a 2 ? ? ? a n (n? N ) ,求证: ?bn ?仍为等差数 n

11 13 14

1 C.14 14

3 D.14 14

(2)已知等比数列 ?c n ?, cn ? 0 ( n ? N ) ,类比上述性质,写出一个真命题并加以证 明.

13、在等差数列 ? an ? 中, 2an ?1 ? an ? an ? 2 成立。类比上述性质,在等比数列 ?bn ? 中,有 A. 2bn ?1 ? bn ? bn ? 2 B。 bn ?1 ? bn ? bn ? 2
2

C。 2bn ?1 ? bn ? bn ? 2

D。 bn ?1 ? bn ? bn ? 2
2

14、由数列的前四项:

3 5 3 ,1 , , ,??归纳出通项公式 an =___ 2 8 8

_.

15、已知 f(n+1)=f(n) ?2n ? 1 (n∈N*)且 f(1)=1,则 f(100)=______.
16、在各项为正的数列 ?a n ?中,数列的前 n 项和 S n 满足 S n ?

1? 1 ? ? an ? ? ? 2? an ? ?

(1) 求 a1 , a 2 , a3 ; (2) 由(1)猜想数列 ?a n ?的通项公式; (3) 求 S n

17、 我们将具有下列性质的所有函数组成集合 M: 函数 y ? f ( x)( x ? D) , 对任意 x, y,

x? y ?D均 2

x? y 1 ) ? [ f ( x) ? f ( y )] ,当且仅当 x ? y 时等号成立。 2 2 (1)若定义在(0,+∞)上的函数 f ( x) ∈M,试比较 f (3) ? f (5) 与 2 f (4) 大小.
满足 f ( (2)设函数 g(x)=-x2,求证:g(x)∈M.


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