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数学:1.2.1《常数函数与幂函数的导数》测试1(新人教B版选修2-2)


常数函数与幂函数的导数
一、选择题 1.函数 f ( x) = sin 2 x 的导数 f ′( x ) = ( A. 2 sin x 答案:D 2. 已知函数 y = 2 x + ax + 36 x 24 在 x = 2 处有极值, 则该函数的一个递增区间是 (
3 2

) D. sin 2x

B. 2 sin x

2

C. 2 cos x



A. (2, 3) 答案:B

B. (3, ∞) +

C. (2, ∞) +

D. ( ∞, 3)

3.曲线 y = x 3 在点 (11) 处的切线与 x 轴、直线 x = 2 所围成的三角形的面积为( , A.



4 3

B.

8 9

C.

8 3

D.

4 9

答案:C 4.设 f ( x) = A. 1 答案:D



sin tdt ,则 f f 0
x

π 的值等于( 2



B. 1

C. cos1

D. 1 cos1

5.若函数 y =

ex 在 x = x0 处的导数值与函数值互为相反数,则 x0 的值( x
B.等于 1 C.等于



A.等于 0 答案:C 6.定积分

1 2

D.不存在



π 2 0

sin 2

x dx 的值等于( 2
B.



A.

π 1 4 2

π 1 + 4 2

C.

1 π 2 4

D.

π 1 2

答案:A 7.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例系 数为 k ( k > 0) ,货款的利率为 0.048 ,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为

x( x ∈ 0, 0.048) ,为使银行获得最大收益,则存款利率为(
A.0.032 答案:A B. 0.024 C.0.04 D.0.036



8.若函数 f ( x ) = x 2 ln x ( x > 0) 的极值点为 α ,函数 g ( x ) = x ln x 2 ( x > 0) 的极值点为 β ,

则有( A. α > β 答案:A

) B. α < β C. α = β D. α 与 β 的大小不确定

9.由曲线 y = e , y = e 以及 x = 1 所围成的图形的面积等于(
x

x



A.2 答案:D

B. 2e 2

C. 2

1 e

D. e +

1 2 e


10.函数 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 3 x a 的极值点的个数是( A.2 答案:C B.1 C.0 D.由 a 确定

11. 经过点 (3, 的直线 l 与抛物线 y = 0) 等于( A. ) B.

x2 的两个交点处的切线相互垂直, 则直线 l 的斜率 k 2
D.

1 6

1 3

C.

1 2

1 2


答案:A 12.下列关于函数 f ( x ) = (2 x x 2 )e x 的判断正确的是( ① f ( x ) > 0 的解集是 { x | 0 < x < 2} ; ② f ( 2) 是极小值, f ( 2) 是极大值; ③ f ( x ) 既没有最小值,也没有最大值. A.①③ 答案:D 二、填空题 B.①②③ C.② D.①②

13.已知 f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x 3 ,若 f ′( x ) g ′( x ) = 2 ,则 x =



答案:

1± 7 3 4x 在区间 ( m,m + 1) 上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围是 2 x +1
2

14.若函数 f ( x ) = . 答案: 1 < m ≤ 0

15.一个质点以速度 v(t ) = t 2 t + 6(m/s)运动,则在时间间隔 (1, 上的位移是 4) 答案:31.5m



16.已知函数 f ( x ) = . 答案: m ≥ 三、解答题

1 3 1 2 x + x 2 x + m 的图象不经过第四象限,则实数 m 的取值范围是 3 2

7 6

17.已知作用于某一质点的力 F ( x) =

x, 0 ≤ x ≤ 1, (单位:N) ,试求力 F 从 x = 0 处 , x + 11 < x ≤ 2

运动到 x = 2 处(单位:m)所做的功. 答案:解:力 F 所做的功 W = 答:力 F 所作的功为 3J. 18. 已知函数 f ( x ) = x + ax + bx + c . f ( x ) 在点 x = 0 处取得极值, 并且在单调区间 [0, 2]
3 2



1

0

xdx + ∫ ( x + 1)dx =
1

2

1 2 1 1 2 2 x |0 + x + x |1 = 3J . 2 2

和 [4, 上具有相反的单调性. 5] (1)求实数 b 的值; (2)求实数 a 的取值范围. 解: (1) f ′( x ) = 3 x 2 + 2ax + b ,因为 f ( x ) 在点 x = 0 处取得极值, 所以 f ′(0) = 0 ,即得 b = 0 ; (2)令 f ′(0) = 0 ,即 3 x + 2ax = 0 ,
2

解得 x = 0 或 x = 依题意有

2 a. 3

2 a>0. 3

x
f ′( x) f ( x)

(∞, 0)

0

2 0, a 3

2 a 3
0 极小值

2 + a, ∞ 3

+

0 极大值



+

因为在函数在单调区间 [0, 和 [4, 上具有相反的单调性,所以应有 2 ≤ 2] 5] 解得 6 ≤ a ≤ 3 .

2 a ≤4, 3

19.已知函数 f ( x) = x + x 16 .
3

(1)求曲线 y = f ( x) 在点 (2, 6) 处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y = f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 解: (1)Q f ′( x) = ( x + x 16)′ = 3 x + 1 ,
3 2

∴ 在点 (2, 6) 处的切线的斜率 k = f ′(2) = 3 × 2 2 + 1 = 13 ,
∴ 切线的方程为 y = 13 x 32 ;
(2)设切点为 ( x0,y0 ) ,则直线 l 的斜率为 f ′( x0 ) = 3 x0 + 1 ,
2 2 3 ∴ 直线 l 的方程为 y = (3 x0 + 1)( x x0 ) + x0 + x0 16 .

又Q 直线 l 过点 (0, , 0)
2 3 ∴ 0 = (3 x0 + 1)( x0 ) + x0 + x0 16 ,

整理,得 x0 = 8 ,∴ x0 = 2 ,
3

∴ y0 = (2)3 + (2) 16 = 26 ,

l 的斜率 k = 3 × (2) 2 + 1 = 13 ,
∴ 直线 l 的方程为 y = 13 x ,切点坐标为 (2, 26) .

20. 如图所示, 求抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 和过它上面的点 P 1 切线的垂线所围成的平面图形的面积. 解:由题意令 y =

p ,p 的 2

2 px ( x ≥ 0) ,

y′ =

1 2

1 p 2p = , y′ | p = 1 , x= 2 px 2 px 2

所以过 P 点且垂直于过 P 点的抛物线的切线的直线的斜率为 1 . 1 1 其方程为 y p = x 即 2x + 2 y 3 p = 0 .



p . 2

与抛物线方程联立消去 x ,得 y + 2 py 3 p = 0 ,
2 2

解得 y = p 或 y = 3 p . 又 x = y +
p

3 p ,所以所求平面图形的面积为 2

3 y2 S = ∫ y + p dy 3 p 2 2p y2 3 1 3 p = + py y |3 p 6p 2 2
1 3 1 9 9 9 = p 2 + p 2 p 2 p 2 p 2 + p 2 2 6 2 2 2 2
= 16 2 p . 3

21.甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方 索赔以弥补经济损失并获得一定净收入, 在乙方不赔付甲方的情况下, 乙方的年利润 x(元) 与年产量 t (吨)满足函数关系 x = 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以 下称 s 为赔付价格) . (1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的 年产量; (2)甲方每年受乙生产影响的经济损失金额 y = 0.002t 2 (元) ,在乙方按照获得最大利润 的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是 多少? 解: (1)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为 w = 2000 t st . 由 w′ =

1000 1000 s t s = , t t
2

1000 令 w′ = 0 ,得 t = t0 = . s
当 t < t0 时, w′ > 0 ;当 t > t0 时, w′ < 0 , 所以 t = t0 时, w 取得最大值.

因此乙方取得最大年利润的年产量 t0 为

1000 ; (吨) s

2

(2)设甲方净收入为 v 元,则 v = st 0.002t .
2

将 t =

1000 代入上式,得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式 s

2

v=

106 2 4 × 109 . s s 106 × (8000 s 3 ) , s5

又 v′ =

令 v′ = 0 ,得 s = 20 . 当 s < 20 时, v′ > 0 ;当 s > 20 时, v′ < 0 , 所以 s = 20 时, v 取得最大值. 因此甲方应向乙方要求赔付价格 s = 20 (元/吨)时,获最大净收入.
2 22.由曲线 y = 2 x 2(1 ≤ x ≤ 3) 及直线 y = 0 ,绕 y 轴旋转所得的旋转体做容器,每秒

钟向容器里注水 8 cm ,问几秒钟后能注满容器?(坐标的长度单位是 cm) 解:如图,底面是 x 轴上 0 ≤ x ≤ 1 部分的线段绕 y 轴旋转所生成的圆, 侧面是抛物线 y = 2 x 2 2 上 1 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y < 16 部分绕 y 轴旋转所 得的曲面. 由 y = 2 x 2 2 ,得 x =
2

3

y+2 , 2

注满容器时的体积为 V = π
3



16

0

y2 y+2 dy = π + y = 80π(cm 3 ) . 2 4 0

16

每秒注水 8 cm ,充满容器所需时间为 80 π ÷ 8 = 10 π (秒) . 所以 10 π 秒钟后能注满容器.


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