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独立重复实验与二项分布


2.2.3 独立重复实验与二项分布
教学目标: 知识与技能:理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。 过程与方法:能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 教学重点:理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题 教学难点:能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算 授课类型:新授课
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课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、复习引入: 1 事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件
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2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ( A ) .

m n

总是接近某个常数,在它附近

3.概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率; 4.概率的性质:必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率为 0 ? P ( A ) ? 1 ,必然事件和不 可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件 A )称为一个基本事件 6.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个基本
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事件的概率都是

1 n

,这种事件叫等可能性事件

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7.等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果都是等可能的,如果事件 A 包 含 m 个结果,那么事件 A 的概率 P ( A ) ?
m
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n

8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件 A 和事件 B 是可以进行加法运算的
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10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件. P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B )
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一般地:如果事件 A1 , A2 , ? , An 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥 11.对立事件:必然有一个发生的互斥事件. P ( A ? A ) ? 1 ? P ( A ) ? 1 ? P ( A ) 12.互斥事件的概率的求法:如果事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥,那么
P ( A1 ? A2 ? ? ? An ) = P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? ? ? P ( An )
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13.相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互 独立事件
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若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立 14.相互独立事件同时发生的概率: P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B )

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一般地, 如果事件 A1 , A2 , ? , An 相互独立, 那么这 n 个事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的积,
P ( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? ? ? P ( An )
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二、讲解新课: 1 独立重复试验的定义: 指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 2.独立重复试验的概率公式: 一般地, 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P , 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概
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率 Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k
n

n?k



它是 ? (1 ? P ) ? P ? 展开式的第 k ? 1 项

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3.离散型随机变量的二项分布:在 一 次 随 机试 验 中,某 事件 可 能发 生 也可能 不 发 生,在 n 次独立重复试验中 这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是 P, 那么在 n 次独立重复试验 中这个事件恰好发生 k 次的概率是
Pn (? ? k ) ? C n p q
k k n?k

,(k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p ).

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 0
Cn p q
0 0 n

1
Cn p q
1 1 n ?1

? ?

k
Cn p q
k k n?k

? ?

n
Cn p q
n n 0

P
由于 C n p q
(q ? p )
n

k

k

n?k

恰好是二项展开式
0 n 1 1 n ?1

? Cn p q ? Cn p q
0

?? ? Cn p q
k k

n?k

?? ? Cn p q
n n

0

中 的 各 项的 值 ,所 以 称这 样 的 随机 变 量 ξ 服 从二 项 分 布( binomial distribution ), 记 作 ξ ~ B ( n , p ),其中 n , p 为参数,并记 C n p q
k k n?k

=b(k;n,p).

三、讲解范例: 例 1.某射手每次射击击中目标的概率是 0 . 8.求这名射手在 10 次射击中, (1)恰有 8 次击中目标的概率; (2)至少有 8 次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字.) 解:设 X 为击中目标的次数,则 X~B (10, 0.8 ) . (1)在 10 次射击中,恰有 8 次击中目标的概率为 P (X = 8 ) = C 1 0 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
8 8 10 ?8

? 0.30 .

(2)在 10 次射击中,至少有 8 次击中目标的概率为 P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )
C 10 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
8 8 10 ? 8

? C 10 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
9 9

10 ? 9

? C 10 ? 0.8
10

10

? (1 ? 0.8)

10 ? 10

? 0.68 .

例 2.(2000 年高考题)某厂生产电子元件,其产品的次品率为 5%.现从一批产品中任意地连续取出 2 件, 写出其中次品数 ξ 的概率分布. 解:依题意,随机变量 ξ ~B(2,5%).所以,P(ξ =0)= C 2 (95%) =0.9025,P(ξ =1)= C 2 (5%)(95%)=0.095,
0

2

1

P( ? ? 2 )= C 22 (5%) 2 =0.0025.
因此,次品数 ξ 的概率分布是 ξ 0 0.9025 1 0.095 2 0.0025

P

例 3.重复抛掷一枚筛子 5 次得到点数为 6 的次数记为 ξ ,求 P(ξ >3). 解:依题意,随机变量 ξ ~B ? 5 ,
? ? 1? ?. 6?
5

25 1 13 ?1? 5 5 ? 1 ? ∴P(ξ =4)= C ? ? ? = ,P(ξ =5)= C 5 ? ? = .∴P(ξ >3)=P(ξ =4)+P(ξ =5)= 7776 3888 ? 6 ? 6 7776 ?6?
4 5

4

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例 4.某气象站天气预报的准确率为 80% ,计算(结果保留两个有效数字): (1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率;(2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率 解:(1)记“预报 1 次,结果准确”为事件 A .预报 5 次相当于 5 次独立重复试验,根据 n 次独立重复试 验 中 某 事 件 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 计 算 公 式 , 5 次 预 报 中 恰 有 4 次 准 确 的 概 率
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P5 (4) ? C 5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
4 4

5?4

? 0.8 ? 0.41
4

答:5 次预报中恰有 4 次准确的概率约为 0.41. (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率,就是 5 次预报中恰有 4 次准确的概率与 5 次预报都准确的概率的 和,即
P ? P5 (4) ? P5 (5) ? P5 (4) ? C 5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
4 4 5?4

? C 5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
5 5

5?5

? 0.8 ? 0.8 ? 0.410 ? 0.328 ? 0.74
4 5

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答:5 次预报中至少有 4 次准确的概率约为 0.74. 例 5.某车间的 5 台机床在 1 小时内需要工人照管的概率都是
1 4

,求 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人

照管的概率是多少?(结果保留两个有效数字) 解:记事件 A =“1 小时内,1 台机器需要人照管”,1 小时内 5 台机器需要照管相当于 5 次独立重复试验 1 小时内 5 台机床中没有 1 台需要工人照管的概率 P5 (0) ? (1 ?
) ?( ) , 4 4 1 1 4 1 1 小时内 5 台机床中恰有 1 台需要工人照管的概率 P5 (1) ? C 5 ? ? (1 ? ) , 4 4
5 5

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1

3

所以 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率为 P ? 1 ? ? P5 (0) ? P5 (1) ? ? 0.37

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答:1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率约为 0.37 . 点评:“至多”,“至少”问题往往考虑逆向思维法 例 6.某人对一目标进行射击,每次命中率都是 0.25,若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至少应射击 几次? 解:设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,应射击 n 次
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记事件 A =“射击一次,击中目标”,则 P ( A ) ? 0.25 . ∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验, ∴事件 A 至少发生 1 次的概率为 P ? 1 ? Pn (0) ? 1 ? 0.75 .
n

n 由题意,令 1 ? 0.75 ? 0.75 ,∴ ( ) ?
n

3 4

1 4

lg

1 4 ? 4 .8 2 ,∴ n 至少取 5. 3 4

,∴ n ?
lg

答:要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至少应射击 5 次 例 7.十层电梯从低层到顶层停不少于 3 次的概率是多少?停几次概率最大? 解:依题意,从低层到顶层停不少于 3 次,应包括停 3 次,停 4 次,停 5 次,??,直到停 9 次 ∴从低层到顶层停不少于 3 次的概率
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3 1 3 1 6 4 1 4 1 5 5 1 5 1 4 9 1 9 P ? C9 ( ) ( ) ? C9 ( ) ( ) ? C9 ( ) ( ) ? ? ? C9 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 9 1 9 1 9 233 3 4 5 9 9 0 1 2 9 ? ( C 9 ? C 9 ? C 9 ? ? ? C 9 )( ) ? ? 2 ? ( C 9 ? C 9 ? C 9 ) ? ( ) ? (2 ? 4 6 )( ) ? ? ? 2 2 2 256 k 1 k 1 9?k k 1 9 ? C9 ( ) , 设从低层到顶层停 k 次,则其概率为 C 9 ( ) ( ) 2 2 2 k k 1 9 ∴当 k ? 4 或 k ? 5 时, C 9 最大,即 C 9 ( ) 最大, 2 233

答:从低层到顶层停不少于 3 次的概率为

,停 4 次或 5 次概率最大.

256

例 8.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止 比赛). (1)试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率. (2)按比赛规则甲获胜的概率. 解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为
1 2

,乙获胜的概率为

1 2



记事件 A =“甲打完 3 局才能取胜”,记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”, 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”. ①甲打完 3 局取胜,相当于进行 3 次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜
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∴甲打完 3 局取胜的概率为 P ( A ) ? C 3 ( ) ?
3 3

1

1 8


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2

②甲打完 4 局才能取胜,相当于进行 4 次独立重复试验,且甲第 4 局比赛取胜,前 3 局为 2 胜 1 负 ∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 P ( B ) ? C 3 ? ( ) ?
2 2

1

1 2

?

1 2

?

3 16


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2

③甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 P ( C ) ? C 4 ? ( ) ? ( ) ?
2 2 2

1

1

1 2

?

3 16



2

2

(2)事件 D =“按比赛规则甲获胜”,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D ) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P (C ) ? 答:按比赛规则甲获胜的概率为
1 2 1 8 ? 3 16 ? 3 16 ? 1 2





例 9.一批玉米种子,其发芽率是 0.8.(1)问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于
98% ?(2)若每穴种 3 粒,求恰好两粒发芽的概率.( lg 2 ? 0 .3 0 1 0 )

解:记事件 A =“种一粒种子,发芽”,则 P ( A ) ? 0.8 , P ( A ) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 , (1)设每穴至少种 n 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% .

∵每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验,记事件 B =“每穴至少有一粒发芽”,则
P ( B ) ? Pn (0) ? C n 0.8 (1 ? 0.8) ? 0.2 .∴ P ( B ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ? 0 .2 .
0 0 n n
n

由题意,令 P ( B ) ? 9 8 % ,所以 0.2 ? 0.02 ,两边取常用对数得,
n

n lg 0.2 ? lg 0.02 .即 n (lg 2 ? 1) ? lg 2 ? 2 ,

∴n ?

lg 2 ? 2 lg 2 ? 1

?

1.6990 0.6990

? 2.43 ,且 n ? N ,所以取 n ? 3 .

答:每穴至少种 3 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . (2)∵每穴种 3 粒相当于 3 次独立重复试验, ∴每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 P ? C 3 ? 0.8 ? 0.2 ? ? 0.384 ,
2 2

答:每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 0.384 四、课堂练习:

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1.每次试验的成功率为 p (0 ? p ? 1) ,重复进行 10 次试验,其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为(
( A ) C 1 0 p (1 ? p )
3 3 7



( B ) C 1 0 p (1 ? p )
3 3

3

( C ) p (1 ? p )
3

7

( D ) p (1 ? p )
7

3

2.10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券,每人购买 1 张,则前 3 个购买者中,恰有一人中奖的概率为(
( A) C
3 10



? 0 .7 ? 0 .3
2

( B ) C ? 0.7 ? 0.3
1 3 2

(C )

3 10

(D )

3 A 7 ? A3
2

1

A1 0

3

3.某人有 5 把钥匙,其中有两把房门钥匙,但忘记了开房门的是哪两把,只好逐把试开,则此人在 3 次内能开房门 的概率是( )
( A) 1 ?

A3 A

3

3 5

(B)

A3 ? A 2
2

1

A

3 5

?

A3 ? A 2
1

2

A

3 5

3 3 3 2 2 3 1 2 2 2 1 (C ) 1 ? ( ) ( D ) C 3 ? ( ) ? ( ) ? C 3 ? ( ) ? ( ) 5 5 5 5 5

4.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为 3 : 2 ,比赛时均能正常发挥技术水平,则在 5 局 3 胜制中,甲打完 4 局才胜的概率为( )
2 3 3 2 ( A) C3 ( ) ? 5 5 2 3 2 2 (B ) C3 ( ) ( ) 5 3 3 3 3 2 (C ) C 4 ( ) ( ) 5 5 3 2 3 1 (D ) C4 ( ) ( ) 3 3

5. 一射手命中 10 环的概率为 0.7, 命中 9 环的概率为 0.3, 则该射手打 3 发得到不少于 29 环的概率为 每次命中的环数都是自然数) 6.一名篮球运动员投篮命中率为 60% ,在一次决赛中投 10 个球,则投中的球数不少于 9 个的概率为 7.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击,已知至少命中一次的概率为
80 81

( .设 . .
1 3

,则此射手的命中率为

8.某车间有 5 台车床,每台车床的停车或开车是相互独立的,若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 求:(1)在任一时刻车间有 3 台车床处于停车的概率;(2)至少有一台处于停车的概率 9.种植某种树苗,成活率为 90%,现在种植这种树苗 5 棵,试求: ⑴全部成活的概率;⑵全部死亡的概率;⑶恰好成活 3 棵的概率;⑷至少成活 4 棵的概率 10.(1)设在四次独立重复试验中,事件 A 至少发生一次的概率为
80 81
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,试求在一次试验中事件 A 发生的概率
1 3

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(2)某人向某个目标射击,直至击中目标为止,每次射击击中目标的概率为

,求在第 n 次才击中目标的概率

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答案:1. C 7.
2 3
5

2. D

3. A
3 5

4. A
3 2

5. 0.784

6. 0.046

40 211 ?1? ?2? ?2? 8.(1) P5 ? 3 ? ? C ? ? ? ? ? (2) P ? B ? ? 1 ? P B ? 1 ? C 55 ? ? ? 243 243 ?3? ?3? ?3?

? ?

5

9.⑴ C 5 0 .9 ? 0 .5 9 0 4 9 ;
5

⑵ C 5 0.1 ? 0.00001 ;
5 5

⑶ P5 ? 3 ? ? C 53 0.9 3 ? 0.12 ? 0.0729 ; 10.(1) P ?
2 3

⑷ P ? P5 ? 4 ? ? P5 ? 5 ? ? 0.91854

(2) P ?

1

2 n ?1 ?( ) 3 3
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五、小结 :1.独立重复试验要从三方面考虑 第一:每次试验是在同样条件下进行 第二:各次试验中的事件是 相互独立的 第三,每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生 2.如果 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率为
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Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k

n?k
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对于此式可以这么理解:由于 1 次试验中事件 A 要么发生,要么不发生,所以在 n 次

独立重复试验中 A 恰好发生 k 次,则在另外的 n ? k 次中 A 没有发生,即 A 发生,由 P ( A ) ? P , P ( A ) ? 1 ? P
n

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所以上面的公式恰为 [( 1 ? P ) ? P ] 展开式中的第 k ? 1 项,可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联 系 六、课后作业:课本 56 页 练习 1、2
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七、板书设计(略) 八、课后记: 教学反思:
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1. 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。 2. 能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 3. 承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。


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