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2014届高考数学(文)一轮复习:第2章 第8讲函数与方程限时特训


第二章

第8讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 广东四校联考]函数 f(x)=x3+2x-1 的零点所在的大致区间是( A. (0,1) C. (2,3) 答案:A 解析:f(0)=-1<0,f(1)=2>0,f(2)=11>0,f(3)=32>0,f(4)=71>0

,则 f(0)· f(1)=-2<0 且函数 f(x)=x3+2x-1 的图象是连续曲线,所以 f(x)在区间(0,1)内有零点. 1 2. 若函数 f(x)=bx+2 有一个零点为 ,则 g(x)=x2+5x+b 的零点是( 3 1 A. - 3 C. -1 或 6 答案:B 1 解析:∵ 是函数 f(x)的零点, 3 1 1 ∴f( )=0,即 b+2=0,解得 b=-6. 3 3 ∴g(x)=x2+5x-6. 令 g(x)=0,即 x2+5x-6=0,也就是(x-1)(x+6)=0, 解得 x=1 或 x=-6. ∴函数 g(x)有两个零点 1、-6. 3. 如图是函数 f(x)的图象,它与 x 轴有 4 个不同的公共点.给出下列四个区间,不能用 二分法求出函数 f(x)零点的区间是( ) B. 1 或-6 D. 1 或 6 ) B. (1,2) D. (3,4) )

A. [-2.1,-1] C. [4.1,5] 答案:B

B. [1.9,2.3] D. [5,6.1]

解析:由图象易知,函数 f(x)在区间[1.9,2.3]上不能用二分法求出函数的零点.

1 4. [2013· 湖北八校二联]已知函数 f(x)=2x-log x,且实数 a>b>c>0 满足 f(a)· f(c)<0, f(b)· 2 若实数 x0 是函数 y=f(x)的一个零点,那么下列不等式中不可能成立的是( A. x0<a C. x0<b 答案:D 1 解析:画出函数 y=2x 与 y=log x 的图象可知,满足条件的 c 只能在函数 f(x)的零点的 2 左边,故不可能出现 x0<c. 5. 已知关于 x 的方程 xlnx=ax+1(a∈R),下列说法正确的是( A. 有两不等根 C. 无实数根 答案:B 解析:由 xlnx=ax+1(a∈R)知 x>0, 1 1 ∴lnx=a+ ,作出函数 y1=lnx 与 y2=a+ 的图象,易知选 B. x x B. 只有一正根 D. 不能确定 ) B. x0>a D. x0<c )

?1,x>0, ? 6. [2013· 深圳调研]已知符号函数 sgn(x)=?0,x=0, ?-1,x<0, ?
f(x)=sgn(lnx)-lnx 的零点个数为( A. 1 C. 3 答案:C 解析:当 x>1 时,lnx>0,sgn(lnx)=1; 当 x=1 时,lnx=0,sgn(lnx)=0; 当 0<x<1,lnx<0,sgn(lnx)=-1. ) B. 2 D. 4

则函数

?1-lnx,x>1, ? ∴f(x)=sgn(lnx)-lnx=?0,x=1, ?-1-lnx,0<x<1. ?
1 由 f(x)=0 得,x=e 或 1 或 ,故选 C. e 二、填空题 7. [2012· 浙江绍兴二模]若 f(x)=
? 2 ?x -x-1,x≥2或x≤-1, ? 则函数 g(x)=f(x)-x 的零点为________. ? ?1,-1<x<2,

答案:1+ 2,1

解析:求函数 g(x)=f(x)-x 的零点,即求 f(x)=x 的根,
?x≥2或x≤-1, ?-1<x<2, ? ? ∴? 2 或? ? ? ?x -x-1=x ?1=x.

解得 x=1+ 2或 x=1. ∴g(x)的零点为 1+ 2,1. 8. [2013· 南昌模拟]已知[x] 表示不超过实数 x 的最大整数,如[1.8]=1,[-1.2]=-2.x0 2 是函数 f(x)=lnx- 的零点,则[x0]等于 ________. x 答案:2 1 2 解析:∵函数 f(x)的定义域为(0,+∞),∴函数 f′(x)= + 2>0,即函数 f(x)在(0,+ x x 2 ∞)上单调递增.由 f(2)=ln2-1<0,f(e)=lne- >0,知 x0∈(2,e),∴[x0]=2. e
? x ?2 -1,x≥0 9. [2013· 金版原创]已知函数 f(x)=? 2 , 若函数 y=f(x)-m 有 3 个零点, 则 ? ?-x -2x,x<0

实数 m 的取值范围是________. 答案:(0,1)
?2x-1,x≥0 ? 解析:画出函数 f(x)=? 2 的图象,由图象可知,若函数 y=f(x)-m 有 3 ? ?-x -2x,x<0

个零点,则 0<m<1,因此 m 的取值范围是(0,1). 三、解答题 e2 10. 若 g(x)=x+ (x>0),g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围. x e2 解:法一:∵g(x)=x+ ≥2 e2=2e, x 等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有零点. e2 法二:作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图: x 可知若使 g(x)=m 有零点,则只需 m≥2e.

法三:由 g(x)=m 得 x2-mx+e2=0. 此方程有大于零的根且 e2>0, 故根据根与系数的关系得 m>0,
?m>0, ?m>0, ? ? 故? 等价于? 2 2 ?Δ=m -4e ≥0 ?m≥2e或m≤-2e, ? ?

故 m≥2e. 11. [2013· 苏州模拟]是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[- 1,3]上与 x 轴恒有一个交点,且只有一个交点?若存在,求出范围;若不存在,请说明理 由. 解:若实数 a 满足条件,则只需 f(-1)· f(3)≤0 即可. 1 f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,所以 a≤- 或 5 a≥1. 检验:(1)当 f(-1)=0 时 a=1, 所以 f(x)=x2+x. 令 f(x)=0,即 x2+x=0,得 x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠1. 1 13 6 13 6 (2)当 f(3)=0 时 a=- ,此时 f(x)=x2- x- .令 f(x)=0,即 x2- x- =0,解之 x= 5 5 5 5 5 2 - 或 x=3. 5 1 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠- . 5 1 综上所述,a<- 或 a>1. 5 12.[2013· 揭阳联考]已知二次函数 f(x)=x2+2bx+c(b、c∈R). (1)若 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤1},求实数 b、c 的值; (2)若 f(x)满足 f(1)=0,且关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(-3, -2),(0,1)内,求实数 b 的取值范围. 解:(1)依题意,x1=-1,x2=1 是方程 x2+2bx+c=0 的两个根.
?x1+x2=-2b, ?-2b=0, ? ? 由韦达定理,得? 即? ? ? ?x1x2=c. ?c=-1.

所以 b=0,c=-1. (2)由题知,f(1)=1+2b+c=0,所以 c=-1-2b. 记 g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x-b-1,则

?g?-3?=5-7b>0, ?g?-2?=1-5b<0, ?g?0?=-1-b<0, ?g?1?=b+1>0, ?
1 5 解得 <b< , 5 7 1 5 所以实数 b 的取值范围为 <b< . 5 7


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