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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第1章 第1讲 集合的概念、集合间的基本关系


= { 1.用适当的符号填空:   0,1?, ,b}   b,a}; 0 ∈? {a
0 ? ?; ? 17} {4


{x | x ? 6 ? 3}.

解析:分清是集合与元素之间的关系还是集合 与集合之间的关系.

3 的值是 ? 2 .

2.已知集合A ? ?a

? 2, 2a 2 ? a?,若3 ? A,则a



解析:因为3 ? A,所以a ? 2 ? 3,即a ? 1,此时 2a 2 ? a ? 3,集合A中有重复元素3,所以a ? 1应 3 舍去.由2a ? a ? 3,解得a ? ? 或a ? 1(舍去). 2
2

3.已知集合A={(x,y)|y=|x|},B={(x,y)||y|=|x|, y≥0},则集合A与B的关系是________. A=B 4.设集合A={x|x2-16<0},B={x|x∈A且x=2n,

n∈Z},用列举法表示集合B为_______. {-2,0,2} 5.已知集合P={x|x2-5x+6=0},则集合P的所有子 ?,{2},{3},{2,3} 集是 ________________________.

集合的概念
【例1】 用列举法表示下列集合A:

?1? A={( x,y ) | x+y=2,x ? N,y ? N};
6 ? 2 ? A={x | x ? N, ? Z}. 3? x

【解析】1? A={( x,y ) | x+y=2,x ? N,y ? N} ? ={? 0, 2 ?, ?,2, 0 ?}; ?1,1 ? 3 ? 2 ?由题意可知,-x是6的约数,所以 6 A={x | x ? N, ? Z}=?0,1, 2, 4,5, 6,9?. 3? x

本题主要考查集合的表示 方法:列举法、描述法及其转

化,注意集合中元素的形式及
元素符合的特征性质.

【变式练习1】 有下列说法: ①所有著名的数学家可以组成一个集合; ②0与?0?的意义相同; 1 ③集合A={x | x= ,n ? N*}是有限集; n ④方程x 2+2x+1=0的解集中只有一个元素. 其中正确的有_____________

【解析】①中的“著名的数学家”著名的程度无法

界定,所以不能构成集合;②中的0是一个数,不
是集合,而{0}表示含有一个元素0的集合,所以0

与{0}的意义不同;③中的集合是无限集;④中的
方程有两个相等的解x=1,所以填④.

集合元素的特征
【例2】 设a、b ? R,A={1,a+b,a}, b B={0, ,b}. a 若A=B,求a、b的值.

【解析】因为相等的集合元素完全相同, 又a ? 0,所以a+b ? b,所以a+b=0,则 b a=-b,故 =-1,所以a=-1,从而b=1. a 所以符合题意的a、b的值分别为-1、 1.

本题考查集合相等的概念和集合
中元素的互异性特征.对于含有参数

的元素的集合的相等问题,除了对元
素之间的正确分类外,还要注意元素 的互异性特点.一般来讲,首先考虑

元素间的分类,求出元素可能的取值,
再采取排除法确定元素的值.

【变式练习2】

设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab}, 0 -1 且A=B,则实数a=____,b=___.
【解析】由元素互异性知,a ? 1, b ? 1,a ? 0, 又由A ? B, ?a 2 ? 1 ?a 2 ? b ?a ? ?1 所以 ? 或? ,解得 ? . ?b ? 0 ?ab ? b ?ab ? 1

集合间的基本关系

【例3】 已知集合P={x|x2+x-6=0,x∈R}, S={x|ax+1=0,x∈R},满足S?P,

求实数a的取值组成的集合.

【解析】P={-3, 2}, 当a=0时,S=?,满足S ? P, 即a=0适合题意; 1 当a ? 0时,S={- },要满足S ? P, a 1 1 1 1 则有- =-3或- =2,解得a= 或- . a a 3 2 1 1 所以所求集合为{0,,- }. 3 2

当讨论S ? P的关系时,注意是 否有S=?的情形,防止产生漏解.

【变式练习3】 x?a 记关于x的不等式 ? 0的解集为P, x ?1 不等式 | x-1|? 1的解集为Q.

?1? 若P ? Q,求实数a的取值; ? 2 ? 若Q ? P,求实数a的取值范围.

【解析】1? 集合Q={x | 0 ? x ? 2}. ? 因为P ? Q,只有当P为空集时成立, 所以a=-1.

? 2 ?当a ? -1时,集合P={x | -1 ? x ? a}.
由于Q ? P,所以a ? 2(等号不成立); 当a ? -1时,集合P={x | a ? x ? -1}, 不合题意. 所以,当Q ? P时,a ? (2,+?).

1.下列集合中:①{0};②{(x,y)|x2+y2 =0};③{x|x2+3x+2=0,x∈N};④ ③ {x∈Z|1<|x|≤3},表示空集的有______.

2.若集合A={x|x2+2ax+1=0}的子

集只有一个,则实数a的取值范围为 {a|-1<a<1} ________________.
【解析】因为集合A的子集中只有一个, 所以A=?,?=4a 2-4 ? 0,解得-1 ? a ? 1,所以a的取值集合为{a | -1 ? a ? 1}.

3.已知集合A={-1,2,2m-1},集合B={2,
m2}.若B?A,则实数m= 1

解析:为B?A,所以m2=2m-1,解之得 m=1.

4.设集合A= x | -2 ? x ? 5},B= x | m+ ? x ? 2m- }. { { 1 1 若B ? A,求实数m的取值范围.
【解析】当B=?时,B ? A,只需m+1 ? 2m-1, 即m ? 2. ? m ? 1 ? 2m ? 1 ? 当B ? ?时,B ? A,只需 ?m ? 1 ? ?2 , ? 2m ? 1 ? 5 ? 解得2 ? m ? 3. 综上,m的取值范围为(-?,. 3]

1 5.已知集合M={x | x=m+ ,m ? Z}, 6 n 1 N={x | x= - ,n ? Z}, 2 3 p 1 P={x | x= + ,p ? Z}, 2 6 试确定集合M 、N、P之间满足的关系.

1 【解析】M={x | x=m+ ,m ? Z}= 6 6m ? 1 3?2m ? 1 {x | x= ,m ? Z}={x | x= ,m ? Z} 6 6 n 1 3n ? 2 N={x | x= - ,n ? Z}={x | x= ,n ? Z}; 2 3 6 p 1 3p ?1 P={x | x= + ,p ? Z}={x | x= ,p ? Z} 2 6 6 3n ? 2 ={x | x= ,n ? Z}=N . 6 所以M ?? N=P.

本节内容主要考查对集合基础知识
的理解和应用,主要知识有集合中元素 的性质(确定性、互异性、无序性),集 合的表示方法,元素与集合、集合与集 合的关系,其中集合中元素的互异性、

描述法表示集合以及空集是任何集合的
子集是常考知识点.

(1)集合中元素的互异性:集合中元素的 三性中互异性对解题的影响最大,特别是带有 字母参数的集合,实际上就隐含着对字母参数

的一些要求.在解题时也可以先确定字母参数
的范围后,再具体解决问题.如已知集合A= {x,xy},求实数x,y满足的条件.就是考查 集合中元素的互异性,即x≠xy,解得x≠0且y≠1.

(2)熟悉几种重要集合所表示的意义:集合

{x|f(x)=0}表示方程f(x)=0的解集;集合{x|y=
f(x)}表示函数y=f(x)的定义域;集合{y|y=f(x)} 表示函数y=f(x)的值域;集合{(x,y)|y=f(x)}表 示函数y=f(x)图象上的点构成的解集,即表示 函数y=f(x)的图象.

(3)在解决子集、真子集等问题时,不要忘
了空集.


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