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用整---.椭圆的参数方程


第二章 参数方程

椭圆的参数方程

第二章 参数方程

例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵

坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
A
B O N

M

设∠XOA=φ

x

第二章 参数方程

例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解: 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M

? x ? a cos ? O N x 由已知: ? (?为参数) ?y ? b sin? 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 ? 2 ? 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b

第二章 参数方程

1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b

x ? a cos ? y ? b sin ? 是椭圆的参

另外, ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值范围是 ? ? [0, 2? )
? x ? a cos ? , ? x ? b cos ? , 焦点在X 轴 ? 焦点在Y 轴 ? ? y ? b sin ?. ? y ? a sin ?.

第二章 参数方程 知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1
y A
B O M N

φ
x

a b ? x ? a cos ? (?为参数) 椭圆的参数方程:? ?y ? b sin?
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2

y

P θ

? x ? r cos ? 圆的参数方程: ? (?为参数) ?y ? r sin? θ的几何意义是 ∠AOP=θ

O

A x

第二章 参数方程

【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 ? ? 1 x ? ? 1 (2) (1) 4 9 16 x ? 2 cos ? x ? cos ? (1) (2) y ? 3sin ? y ? 4sin ?

2

2

?

?

把下列参数方程化为普通方程 ? x ? 3cos ? ? x ? 8cos ? (3) ? (4) ? y ? 10sin ? ? ? y ? 5sin ?

(3)

x 9

2

? ? 1 (4)
y 25

2

x 64

2

?

y 100

2

?1

第二章 参数方程

? x ? 2cos? 练习2:已知椭圆的参数方程为 ? ( ? 是 ? y ? sin ?
参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),短轴长为

( 2 ),焦点坐标是((? 3 , 0)),离心率是 (

3 2

)。

第二章 参数方程 例2、如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线

l:x-y+4=0的距离最小.

y

分析1: 设P(? 8 ? 8y 2 , y),
则d ? | ? 8 ? 8y 2 ? y ? 4 | 2
| 2 2 cos ? ? sin ? ? 4 | 2
O x

分析2:设P(2 2 cos?, sin ?),
则d ?

P

l 至首次与椭圆相切,切点即为所求. 分析 3:平移直线 小结: 借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。

第二章 参数方程

x2 y2 ? ? 1有一内接矩形ABCD, 例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D

解 : 设A ?10cos ? ,8sin ? ?
AD ? 20cos ? , AB ? 16sin ? S ? 20 ?16sin ? cos ? ? 160sin 2?
A1

B2

A

F1
C

O B1
B

F2

X A2 X

所以, 矩形ABCD最大面积为 160

y x 练习3:已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos? ,2sin? ) S?ABC 面积一定, 需求 S?ABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
x 线AB的方程为 3 ? y 2

第二章 参数方程

2

?

2

?1

? 1 ? 2x ? 3y ? 6 ? 0 ?
6 13

d?

| 6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 | 22 ? 32

2 sin( ? ??) 4

所以当? =

?

4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)

时, d 有最大值, 面积最大

第二章 参数方程

x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 ? ? 1上变化 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值

练习4

最大值6 2 , 最小值 ? 6 2 .
2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .

A. 圆

B. 椭圆

设中点M (x, y)

C. 直线 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ

D. 线段

x y ? ??? 2 4 9

2

2

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