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陕西省宝鸡市金台区2014届高三11月会考数学试题(文)及答案


金台区 2014 届高三会考试题 文科数学
2013.11 本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题. 满分 150 分,考试时间 120 分 钟. 参考公式: V柱体 ? sh, V锥体 ?

1 4 s , V球 ? ? R 3, h 3 3 ? ?? ( xn )? ? nxn?1,(ln x)? ? x?1, ( x y) ?

x y

x?y .

第一部分(选择题,共 50 分) 一、选择题:本 大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设复数 z ? 1 ? ,则 z 的共轭复数是

1 i

1 1 B. 1 ? i C. 1 ? D. 1 ? i i i ? ? ? ? ? ? 2.若 a, b 为平面向量,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的
A. 1 ? A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 输入 x If x ? 1
x

Then

y ? 2 ?1
Else

3.如果执行右面的算法语句输出结果是 2,则输 入的 x 值是 A.0 C.2 B.0 或 2 D. ?1 或 2
x

y ? x2 ? x
End If 输出 y

4.已知集合 A ? ??1,0,1 ,B ? {y | y ? e ,x ? A} ,则 A ? B ? ? A. ?0? B. ?1? C. ??1? D. ?0,1?

5.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中 圆的直径为 4,该几何体的体积为 V1 .直径为 4 的球的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ? A. 1: 4 C. 1:1
2

B. 1: 2 D. 2 :1

6.过抛物线 y ? 4 x 的焦点且与直线 y ? 2 x ? 1 平行的直线方程是

1 1 1 x ?1 B. y ? ? x ? 2 2 2 y ? 2x ? 4 y ? 2x ? 2 C. D. 7.当 0 ? x ? 3 时,则下列大小关系正确的是
A. y ? ?

A. x3 ? 3x ? log3 x C. log3 x ? x3 ? 3x 8.在区间 (0, A.

B. 33 ? x x ? log3 x D. log3 x ? 3x ? x3

? 2 ) 上随机取一个数 x ,则事件“ sin x ? ”发生的概率为 2 2
B.

3 4

2 3

C.

1 2

D.

1 3

9.已知角 ? 的终边经过点 P(?8m, ?6cos 60?) ,且 cos ? ? ?

4 ,则 m 的值为 5
D.

A.

1 2

B. ?

1 2

C. ?

3 2

3 2

10.设数列 ?an ? 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, ?bn ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,则

ba1 ? ba2 ??? ba6 等于
A.78 B.84 C.124 第二部分(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知函数 f ( x) ? ? D.126

?log 2 x, x ? 0 ?3 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) 的值是

1 4

.

12.若 x 是 1, x , 5 这五个数据的中位数, 1, x ,? y 这四个数据的平均数是 1, y ? 2, 3, 且 4, 则 的最小值是________. 13.在 ?ABC 中, A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , sin A ? sin B ? 角 若
2 2

1 x

2sin B? C , sin

c ? 3b ,则角 A 的值为
14.观察下列各式:

.

a ? b ? 1 ; a 2 ? b 2 ? 3 ; a3 ? b3 ? 4 ; a 4 ? b4 ? 7 ; a5 ? b5 ? 11 ;??
则依次类推可得 a ? b ?
10 10

.

15.(考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分) A.(不等式选讲)若实数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? 9 ,则 x ? 2 y ? 3z 的最大值是
2 2 2

.

B.(几何证明选讲) 如图,?ABC 内接于圆 O ,AB ? AC , 直线 MN 切圆 O 于点 C ,BE // MN 交 AC 于点 E .若 AB ? 6,BC ? 4 ,则 AE 的长为 .

C.(坐标系与参数方程选讲) 已知点 A 是曲线 ? ? 2sin ? 上任意一点, 则点

A到

直线 ? sin(? ?

?
3

) ? 4 的距离的最小值是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a3 ? 5, S3 ? 9 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin( x ? (1)求函数 y ? f ( x) ? 1 的单调递增区间;

?

) ? 3 cos( x ? ) . 3 3

?

(2)设函数 g ( x) ? (1 ? sin x) f ( x) ,求 g ( x) 的值域.

18.(本小题满分 12 分)在三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 2 3 的正三角形,平面 SAC ⊥平面 ABC , SA ? SC ? 2 , M 、 N 分 别为 AB 、 SB 的中点. (1)证 明: AC ⊥ SB ; (2)求三棱锥 B ? CMN 的体积.

19.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 , 抛物线 C2 的焦点均在 y 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为坐 标原点 O , 从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:

x

0
?2 2

?1
1 16

2

4
1

y

?2

(1)求分别适合 C1 , C2 的方程的点的坐标; (2)求 C1 , C2 的标准方程. 20.(本小题满分 13 分)某公司欲招聘员工,从 1000 名报名者中筛选 200 名参加笔试,按笔试成 绩择优 取 50 名面试,再从面试对象中聘用 20 名员工. (1)求每个报名者能被聘用的概率; (2)随机调查了 24 名笔试者的 成绩如下表所示: 分数段 人数 [60,65) 1 [65,70) 2 [70,75) 6 [75,80) 9 [80,85) 5 [85,90) 1

请你预测面试的分数线大约是多少?

(3)公司从聘用的四男 a 、 b 、 c 、 d 和二女 e 、 f 中选派两人参加某项培训,则选派结果为 一男一女的概率是多少? 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(1)若 f ( x) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ?1 ? 0 平行,求 f ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值.

高三会考文科数学试题答案 2013.11 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.D 2.A 3.B 4.B 5.B 6.D 7.C 8.C 9.A 10.D 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 9 15. A. 3 14
1

12.

5 2
B.

13.

?
3
C. 14. 123

10 3

5 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)设等差数列 {an } 的公差为 d . 因为 a3 ? S3 ? 9 , 所以 ?

?a1 ? 2d ? 5 解得 a1 ? 1, d ? 2 ????????4 分 ?3a1 ? 3d ? 9
1 1 1 1 ? ? ?L ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? L ? ? ) 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? ????????12 分 2 2n ? 1 2 n ? 1

所以 an ? 2n ? 1????????6 分 (2) Tn ?

17.(本小题满分 12 分) 解:(1) f ( x) ? 2sin( x ?

? ) ? 2sin x ,??????3 分 3 3 ? ? ?函数y ? sin x的单调递增区间是[2k? - , 2k? + ](k ? Z ) , 2 2 ? ? ∴ y ? f ( x ) ? 1 的单调增区间是 [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) ???????6 分 2 2

?

?

(2)由(1)可得, g ( x) ? 2(1 ? sin x) sin x ? 2sin 2 x ? 2sin x ,???7 分 设 t ? sin x ,当 x ? R 时, t ? [?1,1] ,

1 , ?????9 分 2 1 由二次函数的单调性可知, h(t ) min ? ? , 2 又? h(?1) ? 0, h(1) ? 4, ? h(t ) max ? 4 , ????11 分 1 则函数 g ( x) 的值域为 [ ? , 4] . ?????12 分 2 18.(本小题满分 12 分) 解: (1)证明:如图,取 AC 中点 O ,连结 SO , BO . ∵ SA ? SC ,∴ SO ? AC .?????2分 又∵ ?ABC 是正三角形, ∴ BO ? AC . ∵ SO ? BO ? O , A ∴ AC ⊥平面 SOB . ???4 分 又 Q SB 在平面 SOB 内,∴ AC ⊥ SB .???6 分 (2)∵ M 是 AB 的中点,
则 h(t ) ? 2t 2 ? 2t ? 2(t ? ) 2 ? ∴ S ?CMB ?

1 2

S

N . C

. M

B

1 1 1 3 3 3 S ?ABC ? ? ? 2 3 ? 2 3 ? ? . ??8分 2 2 2 2 2 ∵平面 SAC ⊥平面 ABC , SO ? AC ,∴ SO ? 平面 ABC . 又∵ SA ? 2 , AO ? 3 ,∴ SO ? 1 ,即点 S 到平面 ABC 的距离为 1. 1 ∵ N 是 SB 的中点,∴点 N 到平面 ABC 的距离为 .??????10 分 2 1 3 3 1 3 ? ? ∴ VB ?CMN ? V N ?CMB ? ? .??????12分 3 2 2 4
19.(本小题满分 12 分) 解:(1)? ? ?1,

1? ? 和 ? 4,1? 代入抛物线方程中得到的解相同, 16 ? 1? ? ?? 4,1? 和 ? ?1, ? 在抛物线 C2 上, 0, ?2 2 和 2, ?2 在椭圆 C1 上.???4 分 ? 16 ?

? ?

?

? ?

?

(2)设 C1 , C2 的标准方程分别为: 将 ? 4,1? 和 ? ?1,

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), x 2 ? 2 py, 2 a b

? 0, ?2 2 ? 和 ?

? ?

1? ? 代入抛物线方程中得到的解相同,? 2 p ? 16, ??????7 分 16 ?
2, ?2 在椭圆上,代入椭圆方程得 a ? 2 2, b ? 2, ?????10 分

?

故 C1 , C2 的标准方程分别为 20.(本小题满分 13 分)

y 2 x2 ? ? 1, x 2 ? 16 y. ?????12 分 8 4
20 ? 0.02 . 1000

解:(1)设每个报名者能被聘用的概率为 p ,依题意有: P ?

答:每个报名者能被聘用的概率为 0.02. ????????3 分 (2)设 24 名笔试者中有 x 名可以进入面试,依样本估计总体可得:

50 x ? ,解得: x ? 6 ,从表中可知面试的分数线大约为 80 分. 200 24

答:可以预测面试的分数线大约为 80 分. ????????7 分 (3)从聘用的四男、二女中选派两人的基本事件有: ( a , b ) ,( a , c ),( a, d ),( a , e ),( a, f ),( b, c ), ( b, d ) ,( b, e ),( b, f ), ( c , d ), ( c , e ),( c, f ),( d , e ),( d , f ),( e, f ),共 15 种. ????????10 分 选 派 一 男 一 女 参 加 某 项 培 训 的 种 数 有 ( a , e ) , ( a, f ) , ( b, e ) ,( b, f ) , ( c , e ),( c, f ) , ( d , e ) ,( d , f ),共 8 种, ????????12 分

8 . 15 8 答:选派结果为一男一女的概率为 . ????????13 分 15
所以选派结果为一男一女的概率为 21.(本小题满分 14 分) 解:(1) f ( x) 的定义域为 (0,??). f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? . x x 由 f ( x) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行, 4?a 3 ? , a ? 1. ?4 分 则 f '(2) ? 2 2 1 2 x2 ?1 . 令 f '( x) ? 0,得x ? 1. 此时 f ( x) ? x ? ln x, f '( x) ? 2 x f (x) 与 f ?(x) 的情况如下: (1, ??) ( 0,1 ) x 1 f ?(x) — 0 + 1 f (x) ↘ ↗ 2 所以, f (x) 的单调递减区间是( 0,1 ),单调递增区间是 (1, ??) ????7 分 a x2 ? a ? . x x 由 a ? 0 及定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 0, 得x ? a.
(2)由 f '( x) ? x ?

x ) 0 在 a ? 1 即 ? a ? 1 , (1, e) 上 , f ' ( ? , f (x) 在 [1, e] 上 单 调 递 增 , , 0 1 f ( xm i ? f ( ? ) ; ) n 1 2 2 ② 若 1 ? a ? e, 1 a ? e 在 1, a ) 上 , f '(x )? 0, f (x) 单 调 递 减 ; 在 a ,e) 上 , 即? ,( ( 1 f '(x )? 0, f (x) 单调递增,因此在 [1, e] 上, f ( x) min ? f ( a ) ? a(1 ? ln a) ; 2 2 ( ) 0 ③ 若 a ? e 即a ? e 在 (1, e) 上 , f ' x ? , f (x) 在 [1, e] 上 单 调 递 减 , , , 1 f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? a. 2 1 1 2 综上,当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) min ? ; 当 1 ? a ? e 时, f ( x) min ? a (1 ? ln a ); 2 2 1 2 2 当 a ? e 时, f ( x) min ? e ? a. ????????????14 分 2
① 若


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