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成才之路·人教A版数学选修2-2 2.3 备选


选修 2-2

第二章

2.3

1.用数学归纳法证明某个命题时,左边为 1· 2· 3· 4+2· 3· 4· 5+…+n(n+1)(n+2)(n+3), 从 n=k 到 n=k+1 左边需增加的代数式为________. [答案] (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) [解析] 当 n=k 时,左边=1· 2· 3· 4+2· 3· 4· 5+…+k(k+1)(k+2)(k+3). 当 n=k+1 时,左边=1· 2· 3· 4+2· 3· 4· 5+…+k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k +4),所以从 n=k 到 n=k+1 左式应增加(k+1)(k+2)(k+3)(k+4). 2.对于不等式 n2+n≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1≤1+1,不等式成立. (2)假设 n=k(k∈N+)时,不等式成立,即 k2+k<k+1,则 n=k+1 时, ?k+1?2+?k+1?= k2+3k+2< ?k2+3k+2?+?k+2?= ?k+2?2=(k+1)+1, ∴当 n=k+1 时,不等式成立,上述证法( A.过程全都正确 B.n=1 验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 [答案] D [解析] n=1 的验证及归纳假设都正确,但从 n=k 到 n=k+1 的推理中没有使用归纳 假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故应选 D. 3.求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*). [证明] ①n=1 时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立. ②假设 n=k 时,等式成立,即 12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)2. 当 n=k+1 时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1) +(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以 n =k+1 时,等式也成立. 由①②得,等式对任何 n∈N*都成立. )


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