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山东省济宁一中2011届高三第一次模拟测试数学试题


山东省济宁一中 2011 届高三第一次模拟测试数学试题(理科)
一、选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.计算:

(2 ? i )(1 ? i ) 2 ? 1 ? 2i





A.2 B. ?2 C. 2i D. ? 2i 2.已知 a、b 为直线,α、β

为平面.在下列四个命题中, ① 若 a⊥ α,b⊥ α,则 a∥ ; b ② 若 a∥ α,b ∥ α,则 a∥ b; ③ 若 a⊥ α,a⊥ β,则 α∥ β; ④ 若 α∥ b,β∥ ,则 α∥ b β. 正确命题的个数是 A. 1 B. 3 C. 2 D. 0





3.已知函数 f ? x ?? 0 ? x ? 1? 的图象的一段圆弧(如图所示) 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则( A.



f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2

B.

f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2

y

x 1 O X x 4.将 4 名司机和 8 名售票员分配到四辆公共汽车上,每辆车上分别有 1 名司机和 2 名售票 X 员,则可能的分配方案种数是 ( )
2 2 2 4 4 2 2 2 4 A. C8 C6 C4 A4 A4 B. A8 A6 A4 A4 2 2 2 4 C. C8 C6 C4 A4 2 2 2 D. C8 C6 C4

C.

D.前三个判断都不正确

5.有下列四个命题:

? ? ? ? p1 :若 a ? b ? 0 ,则一定有 a ? b ;

p2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny;

?1 ? p3 : ?a ? (0,1) ? (1, ??) ,函数 f ( x) ? a1?2 x ? 1都恒过定点 ? ,2 ? ; ?2 ?

p4 :方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 .
其中假命题的是 A. p1 , p4 B. p2 , p4 C. p1 , p3 D. p2 , p4 ( )

6.定义在 R 上的偶函数 f(x)在 ?0 , ? ?? 上递增, f ( ) ? 0 ,则满足 f (log1 x) >0 的 x

1 3

8

的取值范围是
1





A.?0 , ? ? ?

B. 0 , ?

? ?

1? ? ? ?2 , ? ? ? 2?

C. ? 0 ,

? ?

1? ? 1 ? ? ? ? , 2? 8? ? 2 ?

D. ? 0 ,

? ?

1? ? 2?

7.右图的矩形,长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆 数为 138 颗,则我们可以估计出阴影部分的面积约 ( )

23 5 19 C. 5
A.

21 5 16 D. 5
B.

8.将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重合,则与点(-4,2)重合的点 是 ( ) A. (4,-2) B. (4,-3) C. (3,

3 ) 2

D. (3,-1)

??? ? ??? ???? ???? ? 9.平面上有四个互异的点 A、B、C、D,满足( AB - BC )( AD - CD )=0,则三角形 ·

ABC 是 A.直角三角形

( B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形



10.已知函数 f(x)的图象过点(0,-5) ,它的导数 f '( x) =4x3-4x,则当 f(x)取得最 大值-5 时,x 的值应为 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. ± 1 11. 要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45° D 点测得塔 ,在 顶 A 的仰角是 30° ,并测得水平面上的∠ BCD=120° ,CD=40m,则电视塔的高度为 ( ) A.10 2 m C.20 3 m B.20m D.40m
D B C A

12.已知函数 f(x)= 9 x ? m ? 3 x +m+1 对 x∈(0, ? ? )的图象恒在 x 轴上方,则 m 的取 值范围是 A.2-2 2 <m<2+2 2 C. m<2+2 2 B.m<2 D.m≥2+2 2
F E





二、填空题(本题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分) 13.观察下列各式 9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20…, 这些等式反映了自然数间的某种规律,设 n 表示自然数,用关 于 n 的等式表示为 .
2

A

D

B

C

14.如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A 、 D 为椭圆的两个 焦点,其余 4 个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率为_______. 15.一辆列车沿直线轨道前进,从刹车开始到停车这段时间内, 测的刹车后 t 秒内列车前进的距离为 S ? 27t ? 0.45t 米,
2

则列车刹车后 秒车停下来,期间列车前 进了 米. 16.执行右边的程序框图,输出的 T 为( ) 三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分) 17. (本题满分 12 分 ) 已知函数 (1)求的最小正周期; (2)若,求的最大值,最小值.

是 否

18. (本题满分 12 分 ) 某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到 红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望.

19. (本题满分 12 分 ) 已知 x ,

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列.又数列 {an }(an ? 0)中, a1 ? 3, 此数列的 2

前 n 项的和 Sn( n ? N ? )对所有大于 1 的正整数 n 都有 S n ? f (S n?1 ) . (1)求数列 {an } 的第 n+1 项; (2)若 bn 是

1 a n ?1

,

1 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn. an
3

20 .( 本 题 满 分 12 分

) 如 图 , 已 知 直 角 梯 形 ABCD 的 上 底 BC ? 2 ,

BC / / AD, BC ?

1 AD ,CD ? AD , 平面 PDC ? 平面 ABCD ,?PCD 是边长为 2 的 2

等边三角形。 (1)证明: AB ? PB ; (2)求二面角 P ? AB ? D 的大小。 (3)求三棱锥 A ? PBD 的体积。

21. 本题满分 12 分 ) ( 已知点 F (a, 0)(a ? 0) ,动点 M 、 P 分别在 x 、 y 轴上运动,满足 PM ? PF ? 0 ,

???? ??? ? ?

??? ???? ? ? ? N 为动点,并且满足 PN ? PM ? 0 .
(1)求点 N 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F (a,0) 的直线 l (不与 x 轴垂直)与曲线 C 交于 A、B 两点,设点 K (?a, 0) ,

??? ??? ? ? ? KA 与 KB 的夹角为 ? ,求证: 0 ? ? ? . 2

22. (本小题満分 14 分) 已知 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在(??, 0) 上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程
f ( x) ? 0 有三个根,它们分别为 ?, 2,? .

(1)求 c 的值; (2)求证 f (1) ? 2 ; (3)求 | ? ? ? | 的取值范围.

4

济宁一中 2011 届高三第一次模拟测试数学试题(理科)参考答案
一、ACCCA 二、填空题:
2

BAABB
2

DC 14. 3 ? 1 ;

13. (n ? 2) ? n ? 4(n ? 1)(n ? N*) ; 三、解答题:

15.405 米

16.30

17. 解: f ( x) ? cos x ? 2sin x cos x ? sin x
4 4

? ? c o 2 x ? s i2n ?? s x
(1)的最小正周期为

c 2oxs?

2

s?x n? i

s i? 2 x n

?? ? n xc o s 2?x? s2 n i ? x2 4 ? ? i s 2? ? ?

??
(2)

?
4

? 2x ?

?

3 ? ? 4 4

??

2 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 2 4? ?

?? ? ?? 2 ? ? 2 s i?n x 2 ? ? ? 4? ?

1

的最大值为 1,最小值为 18. 解: (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等 于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件

? 1? ? 1? 1 4 P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 27 . A 的概率为
(2)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min) . 事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”( k ? 0,1,2,3,4),

?1? ? 2? P ?? ? 2k ? ? C ? ? ? ? ? 3? ? 3? ∴
k 4

k

4? k

? k ? 0,1, 2,3, 4?
,

∴ ? 的分布列是 即

?

0

2
5

4

6

8

P

16 81
∴? 的期望是

32 81

8 27

8 81

1 81

E? ? 0 ?

16 32 8 8 1 8 ? 2? ? 4? ? 6? ? 8? ? 81 81 27 81 81 3 .

? x,
19.解: (1)

f ( x) , 3 ( x ? 0) 2 成等差数列,

f ( x) ?2 ? x ? 3 ∴ 2
∴ f ( x) ? ( x ? 3) .
2

∵ ∴

S n ? f (S n?1 ), (n ? 2),? S n ? f (S n?1 ) ? ( S n?1 ? 3) 2 S n ? S n?1 ? 3, S n ? S n?1 ? 3,
Sn
}是以 3 为公差的等差数列.

,

∴ { ∵ ∴ ∴

a1 ? 3,? S1 ? a1 ? 3,? S n ? S1 ? (n ? 1) 3 ? 3 ? 3n ? 3 ? 3n
S n ? 3n 2 (n ? N ? ).

,

an?1 ? S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) 2 ? 3n 2 ? 6n ? 3.
bn 是 1 a n ?1 , 1 1 1 ( bn ) 2 ? ? , a n 的等比中项,∴ a n ?1 a n

(2)∵ 数列

bn ?


1 an?1a n

?

1 1 1 1 ? ( ? ). 3(2n ? 1) ? 3(2n ? 1) 18 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? ). 18 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 18 2n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

20. 解: (1)在直角梯形 ABCD 中,因为 AD ? 2 2 , BC ? 2 , CD ? 2, 所以

AB ? ( AD ? BC ) 2 ? CD 2 ? 6



因为 BC ? CD ,平面 PDC ? 平面 ABCD ,平面 PDC ? 平面 ABCD ? CD ,所以
6

2 2 BC ? 平面 PDC ,因此在 Rt? BCP 中, PB ? BC ? PC ? 6 。

因为 BC / / AD, 所以 AD ? 平面 PDC ,所以在 Rt? PAD 中,

PA ? AD 2 ? PD 2 ? (2 2) 2 ? 22 ? 12
2 2 2



所以在 ?PAB 中, PA ? AB ? PB ,所以 AB ? PB 。 (2)设线段 DC 的中点为 E ,连接 PE , EB 因为 ?PCD 是等边三角形,所以 PE ? DC , 因为平面 PDC ? 平面 ABCD,平面 PDC? 平面 ABCD ? CD ,所有 PE ? 平面

ABCD, 因此 AB ? PE , (1) A ? B , 由 知 B P 所以 AB ? 平面 PEB , 所以 AB ? BE ,
因此 ?PBE 就是二面角 P ? AB ? D 的平面角,在 Rt ?PBE 中,

sin ?PBE ?

PE 3 2 ? ? ? ?PBE ? PB 2 ,所以 6 4。

1 1 1 V三棱锥A? PBD ? V三棱锥P ? ABD ? ? S?ABD ? PE ? ? ? AD ? DC ? 3 3 3 2 (3)

1 2 6 ? ? 2 2 ? 2? 3 ? . 6 3
???? ??? ? ? ? 21.解: (1)设 N ( x, y), P(0, b),? PM ? PN ? 0?M (?x, 2b ? y)
? M 在x轴上? 2b ? y ? 0 ? y ? 2b ①

? PF ? PM ? 0

2

? PF ? PM

y ?b b ? ? ? ?1 x ?a

b2 x? a ②

由①②可得, y ? 4ax (也可用作直线 l ? : x ? ?a ,运用抛物线的定义得出)

l : y ? k ( x ? a) (2) 设 AB

? y ? k ( x ? a) 由? 2 可得 2 2 k x ? ( 2 a k2 ? 4 a ? ) x ? y ? 4ax

2

a 2? 0 k

7

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ?

2ak 2 ? 4a ??? ? , x1 x2 ? a 2 ???? 2 ? KA ? ( x1 ? a, y1 ), KB ? ( x2 ? a, y2 ) k

? KA ? · ? ( x1 ? a)(x 2 ? a) ? y1 y 2 ? ( x1 ? a)(x 2 ? a) ? k 2 ( x1 ? a)(x 2 ? a) KB ? [ x1 x 2 ? a( x1 ? x 2 ) ? a 2 ] ? k 2 [ x1 x 2 ? a( x1 ? x 2 ) ? a 2 ] ? (1 ? k 2 )(x1 x 2 ? a 2 ) ? a(1 ? k 2 )(x1 ? x 2 ) ? 4a 2 ?0 k2 ?0 ? ? ?

?
2

2 22.解: (1) f ?(x) ? 3x ? 2bx ? c, ? f (x)在(??,0) 上是增函数,在[0,2]上是减函数,∴当

x ? 0时, f ( x ) 取到极大值, ? f ?(0) ? 0,

? c ? 0.

? (2)? f (2) ? 0,? d ? ?4(b ? 2). f (x) ? 3x ? 2bx ? 0 的两个根分别为
2

x1 ? 0, x 2 ? ?

2b , 3

∵函数 f ( x)在[0,2] 上是减函数,

?x2 ? ?

2b ? 2,? b ? ?3 3 .

? f (1) ? b ? d ? 1 ? b ? 4(b ? 2) ? 1 ? ?7 ? 3b ? 2.
(3)? ?,2, ?是方程f (x) ? 0的三根, 可设f (x) ? (x ? ?)( x ? 2)( x ? ?)

?f (x) ? x 3 ? (2 ? ? ? ?)x 2 ? (2? ? 2? ? ??)x ? 2??,

?b ? ?2 ? ? ? ? , ?? ?d ? ?2?? .

?? ? ? ? ?b ? 2, ? ?? 1 ??? ? ? 2 d . ?

? ? ? ? |? (? ? ?) 2 ? 4?? ? (b ? 2) 2 ? 2d ? (b ? 2) 2 ? 8(b ? 2) ? (b ? 2) 2 ? 16. |
? b ? ?3, ? ? ? ? |? 3 . |

8


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