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2015高考数列放缩法证明


课题 1:简单放缩法的方法
⑴添加或舍去一些项,如: a 2 ? 1 ? a ; n(n ? 1) ? n ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如: ⑷利用常用结论: Ⅰ、 k ? 1 ? k ?
1 k ?1 ? k ? 1 2 k
1 1 1 1 ? ? ? 2 2 1? 2 1 2 n ? (n ? 1) n(n ? 1) ? 2<

br />


Ⅱ、

1 1 1 1 1 1 1 1 ; 2 ? (程度大) ? ? ? ? ? 2 k (k ? 1) k ? 1 k k (k ? 1) k k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) ; (程度小) 2 k k ? 1 (k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2k (2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) 2 2k ? 1 2k ? 1

Ⅲ、

IV 、

例题:设 an ? n ? n ? N ? ? , (1) 证明
1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ....... ? 2 ? 2 2 a1 a2 a3 an

从第二项放缩

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? 2 an n n(n ? 1) n ? 1 n

(2) 证明

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ....... ? 2 ? 4 (从第三项放缩) 1 ? 1 ? ? ( ? ) 2 2 2 a1 a2 a3 an an n 2(n ? 1)(n ? 1) 2 n ? 1 n 1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ? ....... ? 2 ? (从第三项放缩) 1 ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) 2 a1 a2 a3 an 4 an 2 n 2 (n ? 1) n n ?1 n 1 ? 1 说明肯定不是从第一项放缩 a12

(3) 证明

证明: n ? 1 时,

故:

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? 2 an n n(n ? 1) n ? 1 n

所以从第二项开始放缩
1 ?1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 n ?1 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? 1? ? 1 ?? ? ? ? n ?1 n ?

有:

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ....... ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 a1 a2 a3 an 2 3

?

? 2?

1 ?2 n

类型 1:直接裂项即可证明
例题 14: 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式 (2) 若 bn ? bn?1 ? an (n ? 2, n ? N? ), b1 ? 0, 求证:对任意 n ? 2, n ? N ? , 都有
1 1 1 3 ? ? ....... ? ? . b2 b3 bn 4

15、变式训练. (2012 广东)
2 ? 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数

列.(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ; (2) 求数列?an ? 的通项公式;
1 1 ? ? a1a2 a2 a3 ? 1 1 ? . an an ?1 2

(3) 证明:对一切正整数 n ,有

类型 2:从第二项,或第三项开始放缩证明 16.求证:
1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 2 1 2 3 n

【解析】 :因为: ∴

1 1 1 1 (放大达到裂项) ? ? ? 2 n(n ? 1) n ? 1 n n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1?1? ? ? ??? ? ? 2? ? 2 2 2 2 3 n ?1 n n 1 2 3 n

17.变式训练(广东理科)设数列?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知

a1 ? 1,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

【解析】 (Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ?

1 2 ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3 1 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2 S n ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n , 3 3 1 2 3 2 2S n ?1 ? ? n ? 1? an ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n 2 ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 a a a a 整理得 ? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 ? n ? 1 ,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1
故数列 ? 所以

a1 ? an ? ? 是首项为 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 1 ?n?

an ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ,所以 an ? n2 . n 1 7 1 1 1 5 7 (Ⅲ) 当 n ? 1 时, ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? ? ; a1 4 a1 a2 4 4 4
当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 an n ? n ? 1? n n ? 1 n ? 1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? 2 ? an 4 3 4 ? 1 1 ?1 1? ?1 1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 n 4 ? 2 3? ?3 4? 1? ? 1 ?? ? ? ? n ?1 n ?

1 1 ? ? a1 a2
? 1?

1 1 1 7 1 7 ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4

综上,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? an 4

类型 3:从由多项放缩成一项然后求或者裂项(缩 1,缩 2.缩 3): 对于分母可以裂项,或者相加减型使用
18. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2 (1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有
n?1

? 1 , n ? N* ,且 a1 , a2 ? 5 , a3 成等差数列.

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? . an 2

(老师提示:

1 1 1 1 ? n ? n?1 n ? n ) n an 3 ? 2 2 ?2 2

2 19. 设各项均为正数的数列?an ?的前n项和为S n , 且S n满足S n ? (n 2 ? n ? 3) S n ? 3(n 2 ? n) ? 0, n ? N ? .

(1)求a1的值;

(2)求数列?an ?的通项公式;
(3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? . a1 ?a1 ? 1? a2 ?a2 ? 1? an ?an ? 1? 3

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ), a (a ? 1) 2k (2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) 2 2k ?1 2k ? 1 老师提示: (放缩) k k

20. 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为

Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。
(Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ) 、设 b ? n

1 , T 是数列 {b } 的前 n 项和,求使得T n n n an an ?1

?

m ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m; 20

21. 正数数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,满足 2 Sn ? an ? 1 ,试求: ( I )数列 ?an ? 的通项公式; ( II )设

bn ?

1 1 ,数列的前 n 项的和为 Bn ,求证: Bn ? 。 2 an an ?1

22 .已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1

?

1 , a n ? 2 S n S n ?1 ? 0(n ? 2) 2

(Ⅰ )判断 {

1 } 是否为等差数列?并证明你的结论; Sn
1 2

(Ⅱ )求 Sn 和 an (Ⅲ )求证: S1 ? S 2 ? .... ? S n ?
2 2 2


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