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高二数学抛物线的定义及其标准方程教学设计


高二数学《抛物线的定义及其标准方程》教学设计
设计: 曾庆华 上杭二中 点评: 范慧芝 龙岩二中 一、概述 · 高二年数学选修 1-1 · 选修 1-1 第 2 章《圆锥曲线与方程》 · 第 3 节《抛物线的定义与标准方程》 · 本节对拋物线定义的研究, 与初中阶段二次函数的图象遥相呼应, 体现了数学的和谐之美。 教材的这种安排,是为了分散难点,符合认知的渐进性原则。 二、教学目标分析 1、 知识与技能: (1)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程; (2)知道它们的简单几何性质; (3)使用抛物线的定义求抛物线的标准方程,焦点坐标,准线方程。 (4)了解圆锥曲线的简单应用。 2、 过程与方法: (1)能初步根据抛物线的特征选择不同的解决问题的方法。 (2)经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程。 (3)体会抛物线在生活中的应用,学会在生活中用数学的方法去解释生活中的问题。 3、情感态度价值观: (1)了解抛物线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 (2)通过设置丰富的问题情境,鼓励从多角度思考、探索、交流,激发的好奇心和主动学 习的欲望; (3)通过抛物线的定义及其标准方程的学习,进一步体会数形结合的思想, 养成利用数形 结合解决问题的习惯。 点评:教学目的是教学设计的灵魂,该教学设计中教学目的确定非常准确,尤其是知识 目标确定,符合课程标准和省教育厅颁发的教学要求,目标动词的使用严谨,很明显作为一 个经验丰富的教师, 该设计的教学目标拟定参考了教育部新课程的考纲。 过程与方法的确定 符合学生的认知结构,由浅入深,环环相扣,体现设计者的独具匠心。情感态度价值观的确 定充分展示数学学习的魅力:与现实生活的紧密联系;数学思想方法在解决问题在的作用, 生活中处处有数学,要做个数学学习的有心人。

三、学习者特征分析 (1)学生是省二级达标中学——龙岩市上杭二中高二(8)班的文科学生 (2)在此之前,学生已经熟练掌握二次函数图象,已经学习过圆锥曲线中的椭圆、圆与双 曲线。 (3)学生对圆锥曲线的学习有较高的兴趣。 (4)迫切想了解抛物线的本质特征。但是在动手操作与小组合作学习等方面,发展不均衡, 有待加强。
1

点评: 对学习者知识基础和认知特征分析较到位, 能用相应的教学方法激发学生的兴趣 和保持学生学习过程的积极性。 四、教学策略选择与设计 说明本课题设计的基本理念、 主要采用的教学与活动策略, 以及这些策略实施过程中的关键 问题。 1、学生创造一个思维情境,让学生通过类比、联想、归纳等方法,自己动脑、动手去探索、 发现问题, 教师主要采用启发式教学, 使学生变被动接受知识为主动应用已有知识来探求新 知识,从而培养学生的创造性思维和自学能力。 2、通过引导学生类比椭圆、双曲线的研究方法,进行研究抛物线,旨在揭示科学研究方法, 从而暴露知识的形成过程。体现科学研究的本质,培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、 实事求是的科学态度及勇于探索的精神等个性品质。 3、学以致用是教学的主要目标之一,在例题求解过程及问题的引申中,培养学生合理的思 考问题、清楚地表达思想和有条不紊、勇于创新的学习习惯。 教学重点: 拋物线的定义及其标准方程的推导。 通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨 论选择突出重点。 教学难点:拋物线概念的形成及其标准方程的推导。 点评:在学生现有的学习发展区应用启发式教学是合适的,为解决本节课的重、难点选 用类比、联想、归纳等数学方法启发学生是必要的,教学媒体的选择恰当,充分体现所选择 的媒体的必须性和高效性。 五、教学资源与工具设计 (1)教师自制的 PPT 课件 (2)学习环境是多媒体的教室 (3)学生手中的高中数学选修 1-2 教材 (4)shockwave flash object 控件 点评:整个教学过程都重视先行组织者的作用,课件制作精美,充分展示设计者运用多 媒体的功底好。

六、教学过程 1、创设情境,引出课题 (借助多媒体)先给出一张神舟七号飞船的运行轨道图片。激励学生的爱国热情,同时复习 椭圆的知识。 再给出一张姚明的图片。 (此时学生的兴趣来啦! ) 师:姚明是我们中国人的骄傲,我们要向他学习!大家都知道姚明的投篮非常精准!为什么 呢? 生:天赋、身高! 生:勤奋练习! 生:与投篮时的弧线有关! 生:这弧线是抛物线! 师:对!姚明有许多优越的先天条件,同时好的技术也是一个关键的因素。 我们再看一张探照灯的轴截面图。它也是一条抛物线。 今天我们就着手研究这个内容。 (进而引出本节研究的课题:抛物线的定义与标准方程)
2

2、直观演练,抽象定义 师:在初中我们已经从函数角度学过抛物线,那么,这一节课我们将冲破初中的界限从曲线 和方程的角度来学习抛物线。 我们先做一个实验。 师:现在我介绍这个教具的用法,将直尺与定直线重合,竖直固定在黑板上,再将磁铁固定 在定点上,拉紧白线,就可以画出来了。谁上来试试? (两位学生积极上台板演) 师:这两位同学表现非常好!这就是我们见过的拋物线! 【活动设计】两位学生上台演示教具画抛物线的过程。 【学情预设】教师应先介绍教具的使用方法,然后学生尝试。在尝试的过程中,学生可能会 遇到困难,教师应给予指导。 【设计意图】体现数学实践在数学学习中的地位和作用,同时教师应多鼓励学生,多引导学 生间进行合作交流,培养合作学习的意识,体验成功带来的喜悦。 请看课件: (课本 P54 实验方法 2) 师:认真观察 点的运动过程,你们有什么发现?(利用课件同步动态演示) 生:

AP ? PC



AP ? PF

等于

AC

,所以点 P 在运动时,

CP

始终等于

PF



师:这位同学观察很敏锐,直接抓住关键地方! 师:那这样画出来的图象也是? 众生:抛物线! 师:很好! 师:以前我们是用描点法画出抛物线,那今天我们怎么画? 众生:教具,电脑…… 师:现在变换教具的位置,那么画出的图象还是抛物线吗? 众生:是。 师:这说明了什么? 生:画抛物线与位置无关。 师:所以今天我们就巧妙地利用几何知识和计算机等方式画出了整个图象。 师:现在你们就可以归纳一下抛物线的定义了! 生:到点 的距离和到直线 的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。 师:这样归纳完整吗? 生:应该说,平面上到一个定点 F 和到一条定直线 l( F ? l )的距离相等的点的轨迹叫做 拋物线。 生:还要注意定点不能在定直线上。 师:为什么啊? 师:如果这样,就只能找到一个点。 师:说得很好!这里 F 叫做拋物线的焦点,定直线 l 叫做拋物线的准线。 【学情预设】学生间合作交流,完成对抛物线定义的归纳。 【设计意图】着重培养学生分析、归纳等能力。 3、启发引导,推导方程 师:接下来我们试试推导拋物线的方程?(简单回顾求曲线方程的方法) 。 例1 已知定点 F,定直线 l 且 F ? l 。动点 P 到 F 与到 l 的距离相等。在适当的直角坐标
3

系中求动点 P 的轨迹方程。 一段时间后,实物投影仪展示学生探讨的结果。 (分组讨论,集中探索) 1、以 F 为原点,过 F 且垂直于定直线 l 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,此时得方程:

y 2 ? 2 px ? p 2 ( p ? 0)
2 、以 K 为原点,定直线 l 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,此时得方程为:

y 2 ? 2 px ? p 2 ( p ? 0) ;
3、以垂线段 KF 的中点为原点,KF 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,此时得方程:

y 2 ? 2 px( p ? 0)
师:哪个好呢? 生:方案 3 所得的方程更简洁! 师:我们就把它叫做拋物线的标准方程,注意这里标准的规范是顶点在原点,图象关于 x 轴对称。

y

y

y

K
图2

F

x
图1

K

F

?

x
图3

K

F

?

x

L

L

L

师:现在请同学们增大点 F 到直尺 l 的距离,重复刚才的实验,比较一下,抛物线有什么变 化?再缩小这个距离试一试。 生:点 F 到直尺 l 的距离发生变化,抛物线开口也发生变化。 师:观察很准确!这说明了什么? 生:焦点到准线的距离是抛物线的一个重要的几何特征。 师:说得非常好! 师:接下来看课本的一条拋物线,试将你们的课本逆时针旋转 90°,再观察,会有什么发 现? 生:x 轴和 y 轴对调了。 生:还有开口向上了! 师:同学观察得很仔细!那么你们能推出它的方程吗? 生:将 y ? 2 px 中的 x 和 y 对调就行了,就是 x ? 2 py !
2 2

师:大家在等式两边同除 2p 看看!

y?
生:

1 2 x 2p ,哦,是二次函数形式!

师:对了!这就是我们熟悉的二次函数了! 师:那再逆时针旋转 90°,怎么求? 生:和 y ? 2 px 的图象关于 y 轴对称,将 x 替换成 ? x 就行,就是 y ? ?2 px!
2 2

师:再逆时针旋转 90°呢?
2 y ? y 就行了,就是 x 2 ? ?2 py ! 众生:和 x ? 2 py 的图象关于 x 轴对称,将 替换成

4

(打开课件中的表格,学生迅速完成表格内容! )





焦点坐标

准线方程

标准方程

?p ? ? 2 ,0? ? ?

p x?? 2

y 2 ? 2 px

? p ? 0?
y 2 ? ?2 px

? p ? ? ? 2 ,0? ? ?

p x? 2

? p ? 0?
x 2 ? 2 py

? p? ? 0, 2 ? ? ?

p y?? 2

? p ? 0?
x 2 ? ?2 py

p? ? ? 0, ? 2 ? ? ?

p y? 2

? p ? 0?

师:你们完成的过程有没什么发现? 生:从 y ? 2 px( p ? 0) 的形式上,方程的一次项决定焦点的位置。
2

?p ? ? ,0 ? 生:还有一次项系数符号决定开口方向,而且可以迅速算出焦点坐标为 ? 2 ? 和准线方程
x??


p 2。

师:还有吗? 生:抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程不同的是:确定抛物线只要一个自由量 p, 而确定椭圆和双曲线则需要两个自由量。 师:观察很敏锐,分析很透彻,很好! 4、巩固练习,培养能力 师:接下来我们运用上述所学到的知识来解决一些问题。 例 2:求如下拋物线的焦点坐标和准线方程: (1) y ? 4 x ;
2

(2) y ? ax ,其中 a ? 0 。
2

5

师:现在我们回到姚明的这副图,有一次姚明投篮时,测得投篮的轨迹是抛物线,请看右边 画的图形,抛物线最高点离底面距离为 4m,篮框高为 3m,篮框中心离最高点的水平距离 为 2m,怎么求投中时抛物线的方程?(生思考) 师:这是一道实际生活问题!我们如何将这个问题转化成数学问题呢? 生:建立直角坐标系! 师:那怎么建立啊? 生:这里应该以点 O 为坐标原点, OA 所在直线为 y 轴建立 坐标系,这样抛物线就在 x 轴下方,直接设

x 2 ? ?2 py( p ? 0) , 又 B(2,?1) , 则 p ? 2 , 方 程 就 是 x 2 ? ?4 y !
师:很好!接着我们还可以算出? 生:只要知道姚明的身高,我们还可以算出投篮地方离篮框的水平距离。 师:非常好! 【学情预设】当遇到实际应用题,学生可能会感到困惑,但在教师的引导下,利用掌握的相 关知识解决了实际生活问题。 【设计意图】设计一道求投篮轨迹的方程的例题,不仅与开头遥相呼应,而且可以巩固新知 识, 加深学生的数学应用意识, 让学生感受数学的价值, 体会数学来自生活, 又应用于生活, 服务于生活。 点评:课堂中情景创设新颖:用神舟七号飞船的运行轨道图片及姚明投篮的轨迹,使学 生的学习兴趣迅速提高, 为接下来学习本节课开了好头。 教学过程中及时对学生进行形成性 的评价,激励了学生学习的主动性。教学过程详细,师生活动活跃,将枯燥无味的数学学习 变为快乐祥和的活动空间,这对一位教学多年的老教师而言是难能可贵的。

6

开始

用几何画板演示二次函数的图象

学生讨论

讨论结果

更正总结结论并提出怎么定义抛物线

表扬学生并提出怎么定义抛物线

学生自习讨论

老师给出定义并提出怎么求抛物线标准方程

演示二次函数的图形与其方程的关系并建立坐标系

求出抛物线标准方程提出问题讨论抛物线的其他形式

学生讨论图形与方程的特征

讲解例题,并做提出怎么求抛物线的标准方程准线和对称轴焦点坐标 学生做练习

小结 结束

最后,画出教学过程流程图。同时,流程图中需要清楚标注每一个阶段的教学目标、媒 体和相应的评价方式。
7

教学内容与 教师的活动

媒 体 的运用

学 生 的活动

教师进行 逻辑选择

七、教学评价设计
创建量规,向学生展示他们将被如何评价(来自教师和小组其他成员的评价) 。另外, 可以创建一个自我评价表,这样学生可以用它对自己的学习进行评价。

八、帮助和总结
说明教师以何种方式向学生提供帮助和指导, 可以针对不同的学习阶段设计相应的不同 帮助和指导,针对不同的学生提出不同水平的要求,给予不同的帮助。 在学习结束后, 对学生的学习做出简要总结。 可以布置一些思考或练习题以强化学习效 果,也可以提出一些问题或补充的链接鼓励学生超越这门课,把思路拓展到其他领域。

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