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【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 2.4函数的奇偶性与周期性练习


第四节

函数的奇偶性与周期性
基 础 必 做

时间:45 分钟 分值:100 分

一、选择题 1.(2015·深圳调研)下列函数中,为奇函数的是( A.y=2 +
x

)

1 x 2

B.y=x,x∈{0,1} 1,x<0, ? ? D.y=?0,x=0, ? ?-1,x>0

C.y=x·sinx

解析 A 中函数是偶函数;B 中函数是非奇非偶函数;C 中函数是偶函数;D 中函数是奇 函数. 答案 D 2.函数 f(x)=lnx (
2

)

A.是偶函数且在(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数且在(0,+∞)上单调递增 C.是奇函数且在(0,+∞)上单调递减 D.是奇函数且在(-∞,0)上单调递减 解析 函数 f(x)的定义域为 x≠0,当 x>0 时,f(x)=lnx =2lnx,∴f(x)在(0,+∞) 上单调递增,又 f(-x)=ln(-x) =lnx =f(x),∴f(x)为偶函数. 答案 B sinx 3.若函数 f(x)= 2是奇函数,则 a 的值为( ?x+a? A.0 C.2 B.1 D.4 )
2 2 2

sin?-1? -sin1 解析 由 f(-1)=-f(1),得 2= 2, ?-1+a? ?1+a? ∴(-1+a) =(1+a) 解得 a=0. 答案 A 4.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x ,则
2 2 2

f(7)等于(
A.-2 C.-98

) B.2 D.98

解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为 4 的函数.
1

∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1). 又∵f(x)在 R 上是奇函数, ∴f(-x)=-f(x).∴f(-1)=-f(1).而当 x∈(0,2)时,f(x)=2x ,∴f(1)=2×1 =2.∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2.故选 A. 答案 A 5.函数 f(x)满足 f(x)·f(x+2)=13,若 f(1)=2,则 f(99)等于( A.13 C. 2 13 B.2 D. 13 13 2 , )
2 2

解析 ∵f(x)·f(x+2)=13,∴f(x+2)= 则 f(x)=

f?x?

13 13 13 ,故 f(x)·f(x+2)= · =13, f?x-2? f?x? f?x-2?

即 f(x)f(x-2)=13,∴f(x+2)=f(x-2), 故函数 f(x)的周期为 4, ∴f(99)=f(3)= 答案 D 6.设 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 x·f(x)<0 的解集 是( ) A.{x|-3<x<0,或 x>3} B.{x|x<-3,或 0<x<3} C.{x|x<-3,或 x>3} D.{x|-3<x<0,或 0<x<3} 解析 由 x·f(x)<0,得?
? ?x<0, ?f?x?>0, ?

13 13 = . f?1? 2

或?

? ?x>0, ?f?x?<0. ?

而 f(-3)=0,f(3)=0, 即?
? ?x<0, ?f?x?>f?-3?, ?

或?

? ?x>0, ?f?x?<f?3?. ?

所以 x·f(x)<0 的解集是{x|-3<x<0,或 0<x<3}. 答案 D 二、填空题 7. 函数 f(x)在 R 上为奇函数, 且 x>0 时, f(x)= x+1, 则当 x<0 时, f(x)=________. 解析 ∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0,
2

f(x)=-f(-x)=-( -x+1),
即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. 答案 - -x-1 8. 已知函数 y=f(x)+x 为偶函数, 且 f(10)=10, 若函数 g(x)=f(x)+4, 则 g(-10) =________. 解析 设 h(x)=f(x)+x ,由题意可得 h(x)为偶函数,所以 h(-10)=h(10),即 f(- 10)+(-10) =f(10)+10 , 故 f(-10)=f(10)+2×10 =2 010, 所以 g(-10)=f(-10)+4=2 014. 答案 2 014
3 3 3 3 3

? 3? 9.已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,都有 f?x+ ?f(x)=2 014,且 ? 2? ? 3? 当 x∈?0, ?时,f(x)=log2(2x+1),则 f(-2 015)+f(2 013)=________. ? 2?
解析 因为函数 f(x)为奇函数且 f(0)有定义, 故 f(0)=0, 且 f(-2 015)=-f(2 015).

? 3? ? 3? 2 014 ,故 f(x+3)= 2 014 = 当 x≥0 时,由 f?x+ ?f(x)=2 014,可得 f?x+ ?= ? 2? ? 2? f?x? ? 3? f?x+ ? ? 2?
f(x).
可得 f(2 015)=f(3×671+2)=f(2),

f(2 013)=f(3×671)=f(0).

?1 3? 2 014, 由已知 f(0)=0,而 f(2)=f? + ?= ?2 2? ?1? f? ? ?2? ?1? ? 1 ? 又 f? ?=log2?2× +1?=log22=1, ?2? ? 2 ?
2 014 所以 f(2)= =2 014,即 f(2 015)=2 014, 1? ? f? ? ?2? 故 f(-2 015)=-2 014. 综上,f(-2 015)+f(2 013) =-2 014+0=-2 014. 答案 -2 014 三、解答题 10.判断下列函数的奇偶性. 1 3 (1)f(x)=x - .

x

3

(2)f(x)= x -1+ 1-x .

2

2

x +2,x>0, ? ? (3)f(x)=?0,x=0, ? ?-x2-2,x<0.
解 (1)原函数的定义域为{x|x≠0},

2

并且对于定义域内的任意一个 x 都有

f(-x)=(-x)3-

1 ? 3 1? =-?x - ?=-f(x), x? -x ?

从而函数 f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称. 又 f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0, 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 当 x>0 时,f(-x)=-(-x) -2=-(x +2)=-f(x); 当 x<0 时,f(-x)=(-x) +2=-(-x -2)=-f(x); 当 x=0 时,f(0)=0,也满足 f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数. 11.(2015·曲阜师大附中质检)定义域为[-1,1]的奇函数 f(x)满足 f(x)=f(x-2), 且当 x∈(0,1)时,f(x)=2x+ x. (1)求 f(x)在[-1,1]上的解析式; (2)求函数 f(x)的值域. 解 (1)当 x=0 时,f(0)=-f(0),故 f(0)=0.
2 2 2 2

当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),

f(x)=-f(-x)=-(-2x+ -x)=2x- -x.
若 x=-1 时,f(-1)=-f(1). 又 f(1)=f(1-2)=f(-1),故 f(1)=-f(1),得 f(1)=0,从而 f(-1)=-f(1)=0.

?2x- -x,x∈?-1,0?, 综上,f(x)=?0, x=0,±1, ?2x+ x, x∈?0,1?.
(2)∵x∈(0,1)时,f(x)=2x+ x, 1 ∴f′(x)=2+ >0,故 f(x)在(0,1)上单调递增. 2 x ∴f(x)∈(0,3). ∵f(x)是定义域为[-1,1]上的奇函数,且 f(0)=f(1)=f(-1)=0,
4

∴当 x∈[-1,1]时,f(x)∈(-3,3). ∴f(x)的值域为(-3,3). 培 优 演 练

? 1? 1. 设定义在 R 上的奇函数 y=f(x), 满足对任意 t∈R, 都有 f(t)=f(1-t), 且 x∈?0, ? ? 2? ? 3? 2 时,f(x)=-x ,则 f(3)+f?- ?的值等于( ? 2?
1 A.- 2 1 C.- 4 解析 由 f(t)=f(1-t), 得 f(1+t)=f(-t)=-f(t). 所以 f(2+t)=-f(1+t)=f(t), 所以 f(x)的周期为 2. 又 f(1)=f(1-1)=f(0)=0, ) 1 B.- 3 1 D.- 5

? 3? 所以 f(3)+f?- ? ? 2? ?1? ?1?2 =f(1)+f? ?=0-? ? 2 ? ? ?2?
1 =- .故选 C. 4 答案 C 2.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调增函数.如果实

? 1? 数 t 满足 f(lnt)+f?ln ?<2f(1)时,那么 t 的取值范围是________. ? t?
解析 因为函数 f(x)是偶函数,

? 1? 所以 f?ln ?=f(-lnt)=f(lnt)=f(|lnt|). ? t? ? 1? 则有 f(lnt)+f?ln ?<2f(1)? 2f(lnt)<2f(1) ? t?
1 ? f(|lnt|)<f(1)? |lnt|<1? <t<e. e

?1 ? 答案 ? ,e? ?e ? ?1?x 则 f(1), 3. 已知 f(x), g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 且 f(x)-g(x)=? ? , ?2?
5

g(0),g(-1)之间的大小关系是________.

?1?x x 解析 在 f(x)-g(x)=? ? 中, 用-x 替换 x, 得 f(-x)-g(-x)=2 , 由于 f(x), g(x) ?2?
分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 所以 f(-x)=-f(x), g(-x)=g(x), 因此得-f(x) -g(x)=2 .于是解得 f(x)=
x

2 -2 2 +2 3 ,g(x)=- ,于是 f(1)=- ,g(0)=-1,g(- 2 2 4

-x

x

-x

x

5 1)=- ,故 f(1)>g(0)>g(-1). 4 答案 f(1)>g(0)>g(-1) 4.定义在 R 上的函数 f(x)对任意 a,b∈R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k 为常数). (1)判断 k 为何值时 f(x)为奇函数,并证明; (2)设 k=-1,f(x)是 R 上的增函数,且 f(4)=5,若不等式 f(mx -2mx+3)>3 对任意
2

x∈R 恒成立,求实数 m 的取值范围.
解 (1)若 f(x)在 R 上为奇函数,则 f(0)=0,

令 x=y=0,则 f(0+0)=f(0)+f(0)+k,∴k=0. 证明:令 a=b=0,由 f(a+b)=f(a)+f(b), 得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令 a=x,b=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x), 又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x), 即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,∴f(x)是奇函数. (2)∵f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3. ∴f(mx -2mx+3)>3=f(2)对任意 x∈R 恒成立. 又 f(x)是 R 上的增函数, ∴mx -2mx+3>2 对任意 x∈R 恒成立, 即 mx -2mx+1>0 对任意 x∈R 恒成立, 当 m=0 时,显然成立;
?m>0, ? 当 m≠0 时,由? 2 ? ?Δ =4m -4m<0,
2 2 2

得 0<m<1.

∴实数 m 的取值范围是[0,1).

6


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