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物理学教程(第二版)11-7洛仑兹力(新)


S

B 增 大

N
地轴

洛伦兹力
?

洛伦兹H.A.Lorentz

... ... .. . . . . .. . . . . ... ...

带电粒子在磁场中运 动时受到磁场力的作 用 洛仑兹力。
+

r />. . . .R . . . . 我国第一台高 .B . . . . . . . . . . . . . . . 能粒子加速器

§11-7 带电粒子在磁场中所受作用及其运动
一.洛伦兹力

带电粒子在磁场中当 v 、B 相互垂直时, 受到的磁场力力最大,即: F m= qv B

在一般情况下:
q 是电荷运动的方向与磁感
应强度方向的夹角, F 垂直 于由v 、B 所决定的平面.

F

F = qvB sinq

B

q +

q

v

F = q v ×B

当电荷为- q 时, 则F 方向是反向

二.

带电粒子在磁场中的运动
B
× × v × × × + × × F × + × × × ×

一个带电粒子在磁场中以速 度v 水平向右运动 (v⊥B)根 据洛仑兹力的规律, 它将受到 磁场对它的作用力F。 (方向判断:右螺旋前进法则)

v

×

× +× × × × ×

×+ × × ×

v

v ×

F = q v ×B
带电粒子在磁场 中运动的基础数 学理论的分析:

过程中带电粒子的运动轨迹 发生弯曲, 直致完成一个圆 周运动, 在运动过程中,其速 度方向是过圆周的切线方向 磁场力始终指向圆心.

带电粒子受到的洛仑兹力作为它维持作圆 周运动的向心力,根据牛顿动力学规律有:
1.带电粒子在匀 强磁场中的运动
( 1 ).

F = q v × B = q v B sin90° = q vB


v

B
2

a =m v F =m R
向 向

2

q vB = m v R

mv R= q B

匀速圆周运动的轨迹 半径.带电粒子的运动 速度v 越大,其作圆周 运动的半径R就越大.

π 2 R = 2π m 运行一周的时间: 周期T 是个常数 T= v q B 它与带电粒子的运动速度无关.

B
× × v
× ×

× + ×
× F × + ×

×
×

×

( 1 ).

v

v

B

×

× +× × ×

×+ × ×

mv R= q B
π 2 R = 2π m T= v qB
B v
θ

×

v

×

×

v ×

( 2 ).

v 与 B 成任意角度θ v = v cos 与磁感应强度B平行 θ v = v sin θ

mv m v sin θ R= q = qB B v 与 B 成任意角度θ 时

与磁感应强度B垂直

v

0

q+

v

带电粒子绕行一周的周期T 为:

v 与 B 成任意角度θ 时
带电粒子绕行一周的周期T 为:

mv 2π( q ) B π 2 R= 2π m T= v = q v B
运行一周的时间: 周期T 是个常数 它与带电粒子的运动速度无关.

B v
θ

v

0

h

q+

v

螺距h :

v 起到带电粒子作绕圆运动的圆周大小的作用 v 起到推动带电粒子前进的作用(螺距h的大小) 当这两种运动合成后,带电粒子的运动轨迹:螺旋线

π 2 m v cos θ h =v T = qB

πm 2 T= q B
以上种种的结论只适用于带电粒子的速度远小于光速 的非相对论情况。如果带电粒子的速度接近于光速 ,上 述公式虽然还可以沿用,但粒子的质量m已将不是常量 而是随着趋于光速而增加的 ,因而回旋时间(周期)将 变长,回旋频率将减小。正因为是这个原因,人们便研 制了回旋加速器等。 在普遍的情况下,带电粒子 如果既在电场又在磁场中 运动(电场和磁场共有区)则 其受到的力将是电场力和 磁场力之和:

F =q E + q v × B

2.带电粒子在非匀强磁场中的运动

螺旋线前进而且圆周半径变小 粒子受到一个与运 动方向相反的力F , B 此力阻止粒子向磁 场增强方向运动. B

磁约束装置
高温的等离子体 在磁约束装置里 来回旋转运动, 逃逸不出磁约束 装置.

等离子体

线圈

线圈

成为磁塞

成为磁塞

范艾仑幅射带 地磁场的磁感应线
(J.A.Van Allen)

宇宙带电粒子被地球磁场 俘获并在艾仑带内作螺旋式振 荡运动。 北极光
S

N

地轴

B增大

§11-7

带电粒子在电场和 磁场中运动的应用

动力学方程: m dv = q E + q v × B dt (电场力) (洛伦兹磁场力)
一.

电子回旋加速器 质谱仪 霍耳效应 磁流体发电

磁聚焦装置示意图
(物理学上测定带电粒子的电荷 量和该粒子质量之比:荷质比) 控制极 阳极

···············
B

阴极 U

× × × × × × × × × × × × × × ×

l

控制极

阳极

···············
B

阴极 U

× × × × × × × × × × × × × × ×

l

基本数学理论

l 为正整数:n 调节磁场B ,使比值 v xT
π 又∵ T = 2 m


11 e m = (1.75881962±0.00000053)×10 C/kg

Be π e 8 mn m = Bl
2 2 2

带电粒子受洛伦 兹力的作用作圆 周运动的周期.
2

1 mvx e = U 2
2

电场能与带 电粒子动能 的关系

带电粒子的电量与它 的质量之比-荷质比

二.

电子回旋加速器

(原理图)

铁芯

线圈

环形 真空室
线圈

S

接振荡器

N 带电粒子束 以接近光速 的状态飞出
线圈盒 的剖视

E.O. 劳伦斯 (1901-1957) 设计的世界上第一台回旋加速器

中国第一台回旋加速器

中国科学院高能物理研究所 90Mev加速器

三.

倍恩勃立奇(Bainbridge)质谱仪
+
. . . .
偏转板 照相底片
0

利用质谱仪可以测出 元素中个同位素的含量 通过速度选择器 后粒子的速度:
+ v B? ··· E . . . . + . . R . . . . . .

离子源 狭缝

速度选择器
电场和磁 场共有区 粒子径迹 匀强磁场

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

·

. . . .

. .

. .

+

··· ··· ··· ···

. . B . .
电场力

带电粒子在电场和磁场的共有区要保持直 线运动,就必须有电场力与磁场力平衡,即:

F =F q E = qv B?
磁场力

带电粒子在电场和磁场的共 有区要保持直线运动,就必须 有电场力与磁场力平衡,即:

F =F q E = qv B?
电场力 磁场力

E v= B? q v = m RB

……………

(1)

在洛伦兹力作用下带电粒子在匀 强磁场作圆周运动时的半径是:
……………

mv R= q B

(2)

mE 由以上两式可得: R ∝ q B? B

R ∝m

在质谱仪中,电场强度E,磁场强度B 和粒子的电量q 都可以是 常数 ,只要看底片上的落点痕迹,计算出圆周半径,就可以测定 同位素粒子的质量.质量越大的, 它的圆周半径也就越大.

四.霍耳效应 1879年霍耳(A.H.Hall)
b

B

发现:在匀强磁场中通电 的金属导体板的上下表面 出现横向电势差,这一现 象称为:霍耳效应

a - - - - - UH- - + + + + + + + + +

I

实验指出:
IB U ∝ b
H

在现代微电子工艺领 域里 , 用霍耳效应原 理测定半导体材料的 类型和载流子浓度.

金属导体 板的宽度

R

H

霍耳系数
它是和材料的性 质有关的常数

IB U =R b
H

U

H

霍耳电压
金属导体板上下 表面横向电势差

H

经典电子理论对 霍耳效应的解释 eEH = f = e v ×B E H= - v E H= v B
×B
V

金属导体的上表面为1
× × × × × × × ×

× × × × × × × ×
× ×v × × × × × × × × ×

- - - -- - - f

+ + + ++ + + +

×

× × × ×

EH

a

× × × × × × × ×

金属导体的下表面为2

U H = V1 V2 = a E H U H = av B I = n e va b
电子数密度

UH =

IB 1 ( IB ne b = n e b )

金属导体的上表面为1
× × × × × × × ×

a - - - - -U - - + + + + + + + + +
H

b

B

× × × × × × × ×

- - - -- - - f

I

V

× ×v × × × × × × × × ×

+ + + ++ + + +

×

× × × ×

EH

a

相比较

1 ( IB U = ne ) b
H

× × × × × × × ×

金属导体的下表面为2

IB U =R b
H H

比较可得金属导 1 R H = ne 体的霍耳系数

n 型半导体载流子为电子(也称电子导电型) ,而P 型半导 体载流子为带正电的空穴(也称空穴导电型)。根据霍耳系 数的符号可以确定半导体的类型,根据霍耳系数的大 小的测定,可以确定载流子的浓度。

磁流体发电(MHD)
(Magnetohydrodynamics)

磁流体发电 效率可达55%
S
高温气体

N
磁力线方向 燃烧器 磁体

磁流体发电原理图

例题:均匀稳恒磁场,其方向垂直版面向里,现 有一个带电粒子位于竖直面上在175 V的加速 电压下由静止开始作匀速圆周运动, 已知圆周 半径R=15cm,求:(1)均匀稳恒磁场的B(2) 该电子的角速度? 解:
电子的质量为me 9.11×10 Kg = 电量为e=1.60×10
-19

-31

C

电子在加速电压的作用下 由静止加速运动后作匀速圆 周运动,其动能的增量为:

△E K= 1 m ev 2

2

电子在加速电压△V 的作用 下,电势能的增量为:

△E P ( e) V = △

△E K= 1 m ev 2

2

△E P ( e) V = △
2

由能量守恒定律得: V 2e △ v= m e
2

1 m ev e △ = V 2 1 ×10 × 175 2× 1.60 = 19

9.11×10

31

= 7.86×10

6

(m/s)

由带电粒子在磁场里受洛仑兹力 的作用作圆周运动的规律,得:
-31
19

mv R= q B
6


m ev = 9.11×10 ×7.86×10 B= e 2 R 1.60×10 ×15×10 -4 = 2.98×10 特斯拉(T)

(2)由圆周运动的角量和线量的关系可得:

v 7.86×10 ω= = -2 R 15×10

6

= 5.24×10
B

7

(rad/s) 弧度/秒
(练习册P7选择题2)

例题:在下列图中标出洛伦兹力的方向.
e e

-

v

B

-

v

B e

v
e

v

-

B

分析:根据洛伦兹力的概念: 无洛伦兹力 f 垂直 版面向外

F = q v ×B
f 垂直 版面向里

并注意到是负电荷

f 垂直 版面向外

例题:在电场强度E 和磁感应强度B 方向一致的匀强电 场和匀强磁场的共有区中 ,有一个质量为m ,电量为e 的运动着的电子,已知某一时刻其速度v 的方向如图(1) 求该时刻运动电子的法向加速度和切向加速度的大小。 图(2)中运动电子受到的合力以及法向加速度和切向加 速度的大小。? (练习册P28填充题13)
v E B e v E B

e

图 ( 1)

-

图 ( 2) 运动着的电子不受洛伦兹力的作 用,只是受到电场力的作用 ,而该 力的方向与电场强度的方向相反

图(1)分析:由 F =q E + q v × B

e

图(1)

v

E
B

图(1)分析:由 F =q E + q v × B

运动着的电子不受洛伦兹力的作用,只是受到电 场力的作用,该力的方向与电场强度的方向相反.

an= 0

F = mat = - eE

- eE at = m

图(2)中运动电子受到的合力以及 法向加速度和切向加速度的大小
v e
E B

-

图(2)

运动着的电子受到洛伦兹力 (方向垂直版面向外)和 电场力(方向水平向左)的 共同作用, 其矢量图为:

v e

-

E B

运动着的电子受到洛伦兹力(方向垂直 版面向外)和电场力(方向水平向左) 的共同作用, 其矢量图为: F电

由:

图(2)

-

e

俯视图
F磁

F =q E + q v × B
得: F电=eE

F合

由勾股弦定律得:F合 = e

F磁=e v B
运动电子受力作 匀速率圆周运动

E +B v
2 2 2 2

2

F合 = m a n a t = dv dt

E +B v an= e m
at = 0

2

例题:北京中科院有一台回旋加速器,其交变电压的
频率f 为12×106赫兹, 半圆形电极的半径R =0.532 米.问:加速氘核所需的磁感应强度为多大?氘核所能 达到的最大动能为多少?其最大速率是多少?
氘核的质量m=3.3×10 Kg 19 电荷电量q =1.6×10 C
-27


解: 实验证明:只有交变电压的频率和粒子的回旋频率 相等时,粒子才能在电极的狭缝间加速.有带电粒 子的回旋周期的倒数为回旋频率的公式:

2π m T= q B qB f = πm 2

π 2 mf B = q = 1.56

(T)

氘核的最大动能是:
2

1 mv E =2 q BR q B R 将题给的已知数 v= m = 2m 据代入此式,得: -12 7 = 2.67×10 =1.67×10 eV
K
2 2 2

mv R= q B

带电粒子在洛伦 兹力作用下作圆 周运动的半径.

= 16. 7 MeV
氘核的最大速率为: q B R 将题给的已知数 7 v = m 据代入此式,得: = 4.02×10 m/s
通过回旋加速器,氘核的速度可以达到非常 高的速度,与光速相比只差一个数量级了!

q BR 7 与光速相比只差 v = m = 4.02×10 m/s 一个数量级了!
当粒子的速度接近光速时,其质量要随着速率的 增加而增加,由静质量m0变为相对论的动质量m

0

可见,随着粒子速率的增加,其回旋频率是要减小的,粒子在 半圆形盒中的运动周期T 就要变长,不能与交变电压的周期 相一致,这时加速器已将不能继续使粒子加速了。 所以,要使粒子达到被加速的目的,必须适时地改变交变电压的 频率(或周期),使之与粒子速率的变化始终保持相适应的同步 状态,这种加速器称为同步加速器。我国的同步加速器可将质子 加速到 90GeV (1GeV=10 9 eV)

(

∴它的频率变为:

qB f = πm 2

_( v 1 c

2

(完)

本次作业题
教材P125: 第18题、提示:质子的电量(1.6×10-19C)
质子的质量(1.67×10-27Kg)

第20题(能量不求)、 第21题、提示:电子的质量(9.11×10-31Kg)


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