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第二讲 映射与函数1


第二讲
[知识要点] 1.映射有关概念 2.函数定义,定义域、值域 [能力训练]

映射与函数

1. 合 A, B 的并集 A ? B ? ?a1 , a 2 , a3 ?,当 A ? B 时, ( A, B) 与 ( B, A) 视为不同的对,则这样的 ( A, B) 对的个 数为( ) (1993 年全国高中数学联赛试题)

(A) 8 (B) 9 (C)26 (D)27 [解法一]:若 A ? ?a1 , a 2 , a3 ?,则满足题意的 B 有: B ? ? ; ?a1 ?; ?a2 ?; ?a3 ?; ?a1 , a2 ?; ?a1 , a3 ?; ?a2 , a3 ?; ?a1 , a2 , a3 ?;
3 0 1 2 3 即这时的配对个数有: C3 (C3 ? C3 ? C3 ? C 3 ) ? 8 ;仿此,若 A ? ?a1 , a 2 ?(或 ?a1 , a3 ?, ?a 2 , a3 ? ) ,满足题意 2 0 1 2 的 B 的个数,即配对个数有: C3 (C 2 ? C 2 ? C 2 ) ? 12 ;于是,全部配对个数有: 8 ? 12 ? 6 ? 1 ? 27 。

[解法二]: A ? B 且 A ? B ? P 的情形只有 1 个配对: A ? P, B ? P ,而 A ? B 的配对个数必是偶数,所以全 部配对个数为奇数。又粗略计数后知,配对个数不少于 16,故选(D) 。 [评注]:两种解法反映的是一种数学思想:配对思想。解法一是分类讨论;解法二是估算法。 2. 设 A ={ a1 , a 2 , a3 , a 4 }, B ? {b1 , b2 , b3 , b4 , b5 } (1)写出一个 f : A ? B ,使得 f 为单射,并求所有 A 到 B 的单射的个数。 (2)写出一个 f : A ? B ,使得 f 不是单射,并求所有这些映射的个数。 (3) A 到 B 的映射能否是满射? 解: (1)作映射 f : A ? B ,使得 f (ai ) ? bi ,

i ? 1,2,3,4
4

则此映射即为 A 到 B 的一个单射,这种单射的个数为 P5 ? 120 。 (2)作映射 f : A ? B ,可以先求 A 到 B 的映射的个数:分四步确定 a1 , a 2 , a3 , a 4 的象,每步都有 5 种 可能,因此所求映射的个数为 5 个,因此满足条件的映射的个数为 5 - P5 =505。 (3) 不能。由于 A 中的每一个元素恰与 B 中的一个元素对应,| A |=4,| B |=5, 所以 B 中至少有一个元素在 A 中找不到与它对应的元素,因此 A 到 B 的满射不存在。 说明:一般地,若 A 到 B 有一个单射,则| A |≤| B |,若 A 到 B 有一个满射, 则| A |≥| B |,若 A 到 B 有一个一一映射,则| A |=| B | 思考:在上述问题中,如何求从 A 到 B 的子集上的一一映射的个数?
4 4
4

B 中的 4 个元素的子集共有 C 54 个,从 A 到 B 的每 4 个元素的子集上的一一映射各有 P44 个,所求的映射的
个数是 C 5 P4 =120 个。 3. 若函数 y ? log 3 ( x 2 ? ax ? a) 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是________________。 (94 年第 5 届“希 望杯”全国数学邀请赛)
4

4

[解法一]:根据函数值域定义,对于任意实数 y ,关于 x 的方程 log 3 ( x 2 ? ax ? a) ? y 即 x 2 ? ax ? a ? 3 y ? 0 恒有解,因此 ? ? a 2 ? 4(a ? 3 y ) ? a 2 ? 4a ? 4 ? 3 y ? 0 ——(*) 恒成立,? 4 ? 3 y ? 0 ?(*)式成立的充 要条件是 a 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ? ?4 或 a ? 0 。 [解法二]:根据对数函数和二次函数的性质,u ( x) ? x 2 ? ax ? a( x ? R) 的最小值不在于 0,即 ? a ?

a2 ?0解 4

得 a ? ?4 或 a ? 0 。 [评注]:解法一运用转化思想把对数函数转化为指数形式(关于 x 的二次方程)获得解答;解法二运用对数 函数和二次函数的性质获得思路。 4. 对实数 x ,求函数 f ( x) ? 8 x ? x 2 ? 14 x ? x 2 ? 48 的最大值。 (96 年美国中学数学竞赛题) [解法一]: f (x) 的定义域为[6,8], u ( x) ? 8 x ? x 2 ? 16 ? ( x ? 4) 2 ,当 x ? 6 时, u max ? 12 ;

v( x) ? ? 14 x ? x 2 ? 48 ? ? 1 ? ( x ? 7) 2 ,当 x ? 6 时,v max ? 0 ,从而当 x ? 6 时 f (x) 有最大值 12 ? 2 3 。
[解法二]: f (x) 定义域为[6,8],令 u ( x) ? 8 x ? x 2 , v( x) ? 14 x ? x 2 ? 48 , u 2 ? v 2 ? 48 ? 6 x 。 。 ? x ?[6,8],?0 ? 48 ? 6 x ? 12 , ?0 ? u 2 ? v 2 ? 12 ??(1) ? y ? u ? v ,?u ? y ? v 代入(1)得:

y 2 ? 2vy ? 12 ,易知 y ? 0 , v ? 1 ? ( x ? 7) 2 ? 0 ??(1)? y 2 ? y 2 ? 2vy ? 12 ,? y ? 2 3 ,当 x ? 6 时
(1)(2)同时取等号。故 f (x) 有最大值 12 ? 2 3 。 、 [解法三]: f (x) 的定义域为[6,8], f ( x) ? 8 ? x ( x ? x ? 6 ) ?

6 8? x x ? x?6

,? 8 ? x ,

1 x ? x?6



[6,8]上是减函数,从而当 x ? 6 时 f (x) 有最大值 12 ? 2 3 。 评注:联想思维是数学问题解决的重要思维方式,解法一运用知识点: “若 f ( x) ? u( x) ? v( x) ,u( x), v( x) 同 时在 x ? x0 处取得最大值,则 f (x) 在 x ? x0 处取得最大值;解法二运用不等式的放缩法求解;解法三运用 知识点“若 f (x) 在闭区间[a,b]上为单调函数,则 f (x) 在端点处取得最值” 。 5. 设集合 M ? {x | 1 ≤ x ≤9, x ∈N}, P ? {(a, b, c, d ) | a, b, c, d ? M } .定义 M 到 Z 的映射 f : ( a, b, c, d ) ? ab ? cd 。若 u, v, x, y 都是 M 中的元素,且满足 f : u, v, x, y ) ? 39, ( ( u, y, x, v) ? 66。求 u, v, x, y 的值。 解:由题意得

uv ? xy ? 39 uy ? xv ? 66
(1)+(2)(2)-(1)得 ,

(1) (2)

(u ? x)(v ? y) ? 3 ? 5 ? 7 ( y ? v)(u ? x) ? 3 ? 3 ? 3

(3) (4)

由于 0< u ? x <9, v ? y ≤18,0< y ? v <9, u ? x ≤18,所以由(3)(4)可得 、 u ? x =7, v ? y =15, y ? v =3, u ? x =9 解得

u ? 8, v ? 6, x ? 1, y ? 9

6. 已知函数 f (x) 的定义域为[-1,1],求 f (ax) ? f ( ) 的定义域,其中 a >0。 解: f (ax) ? f ( ) 的定义域应是下列两个集合的交集:

x a

x a

1 1 X 1 ? {x | ?1 ≤ ax ≤1}=[- , ] a a x X 2 ? {x | ?1 ≤ ≤1}=[- a , a ] a 1 1 当 a ≥1 时, a ≥ ,- a ≤- , 所以 X 1 ? X 2 ? X 1 a a 1 1 当 0< a <1 时, > a ,- <- a ,所以 X 1 ? X 2 ? X 2 a a x 1 1 因此, f (ax) ? f ( ) 的定义域为[- a , a ](0< a <1) ;[- , ](当 a ≥1 时) a a a


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