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上海市浦东新区2017-2018学年第一学期高三数学期中质量检测试卷和解析


上海市浦东新区 2017-2018 学年第一学期高三数学期中质量检测试卷
一、填空题
1. 幂函数经过点 2. 若集合 3. 设 4. 不等式 为函数 ,则此幂函数的解析式为_______. , 的反函数,则 的解集是__________. ,则 _____. ________

5. 在一个圆周上有 10 个点, 任取 3 个点作为顶点作三角形, 一共可以作__________个三角形 (用数字作答) . 6. 已知球半径为 2,球面上 A、B 两点的球面距离为 7. 若 8. 在五个数字 (结果用数值表示) 9. 若函数 析式 _________. (常数 )是偶函数,且它的值域为 ,则该函数的解 ,且 ,则 ,则线段 AB 的长度为________.

的最大值是__________.

中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是_________

10. 已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别____. 11. 已知命题 取值范围是________. 12. 如图所示,在正方体 上运动.有以下四个命题: 中, 、 分别是棱 、 的中点, 的顶点 在棱 与棱 , 命题 .若 中有且只有一个是真命题, 则实数 的

①平面 ②平面

; 平面 ;

1

③ ④

在底面 在侧面

上的射影图形的面积为定值; 上的射影图形是三角形.

其中正确命题的序号是______

二.选择题
13. 若关于 的一元二次方程 均大于 1”的() A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 有两个实数根,分别是 、 ,则“ ”是“两根

D. 既不充分也不必要.

14. 在下列命题中,不是公理 的是( ) .. A. 两条相交直线确定一个平面; B. 不在同一条直线上的三点确定一个平面; C. 如果直线上有两个点在平面 上,那么直线在平面 上; D. 如果不同的两个平面 、 有一个公共点 A,那么 、 的交集是过点 A 的直线. 15. A. 展开式中的常数项为() B. C. D.

16. 下列四个命题中正确是() A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 函数 ( 与 与 与 且 )与函数 ( 且 )的值域相同;

的值域相同; 都是奇函数; 在区间 上都是增函数.

三、解答题
17. 如图所示,圆锥 的底面圆半径 ,其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形.

2

(1)求此圆锥的表面积; (2)求此圆锥的体积. 18. (1)解方程: (2)已知关于 的不等式 19. 如图,正方体 , 于点 . ; 的解集为 的棱长为 2,点 为面 ,求关于 的不等式 的对角线 的中点. 平面 的解集. 交 于点

(1)求异面直线 与 (2)求三棱锥 20. 已知函数 (1)判断函数 (2)证明: 在

所成角的大小; (结果用反三角函数值表示)

的体积.

的奇偶性,并说明理由; 上为增函数; =0 没有负数根。 的定义域为 时,求函数 的值域; ( ).

(3)证明:方程 21. 函数 (1)当 (2)若函数

在定义域上是减函数,求 的取值范围;

3

(3)求函数

在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 的值.

上海市浦东新区 2017-2018 学年第一学期高三数学期中质量检测试卷解析
一、填空题
1. 幂函数经过点 【答案】 【解析】设幂函数为 2. 若集合 【答案】 【解析】由题意可得 3. 设 【答案】 【解析】不妨设 f(t)=2,所以 【点睛】 原函数过(a,b)点,反函数一定过(b,a)点。所以要求 4. 不等式 【答案】 【解析】原不等式可等价为(x-1)(x+2)<0,所以-2<x<1,填(-2,1). 5. 在一个圆周上有 10 个点, 任取 3 个点作为顶点作三角形, 一共可以作__________个三角形 (用数字作答) . 【答案】120 【解析】由于圆周上的任意三点不共线,所以任取 3 点方法数为 ,填 120. 的解集是__________. ,只解方程 f(t)=2. ,解得 ,所以 ,填 。 为函数 的反函数,则 所以 _____. ,填 。 ,代入点 , ,所以 ,则 所以 ________ , ,填 。 ,则此幂函数的解析式为_______.

4

6. 已知球半径为 2,球面上 A、B 两点的球面距离为 【答案】2 【解析】由于球面距离为 AB=2. 【点睛】 球面距离一定要与球心角 ,球的半径 R 相关,即 定理放在小圆计算,要根据题意来选择。 7. 若 【答案】 【解析】略 8. 在五个数字 (结果用数值表示) 【答案】 【解析】从五个数字 取法有 3 种,所求概率是 9. 若函数 析式 【答案】 _________. (常数 ,且 ,则 ,设球心角为 ,所以

,则线段 AB 的长度为________.

,在

中,为等边三角形,所以

,而弦 AB,可以放在大圆计算,也可以结合垂径

的最大值是__________.

中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是_________

中,随机取出三个数字的方法有 10 种,剩下两个数字都是奇数的

)是偶函数,且它的值域为

,则该函数的解

10. 已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别____.

5

【答案】 【解析】试题分析:∵总体的中位数为 只需 最小,又 ,∴a+b=21,故总体的平均数为 10,要使该总体的方差最小, 当且仅当 a=b=10.5 时,等号成立

考点:本题考查了统计及基本不等式的运用 点评:熟练运用统计知识解决数据问题是解决此类问题的关键,属基础题 11. 已知命题 取值范围是________. 【答案】 , 命题 .若 中有且只有一个是真命题, 则实数 的

【点睛】 命题 中有且只有一个是真命题,包含两种情况:一种是命题 为真且命题 为假,另一种是命题 为

假且命题 为真。 12. 如图所示,在正方体 上运动.有以下四个命题: 中, 、 分别是棱 、 的中点, 的顶点 在棱 与棱

①平面 ②平面 ③ ④

; 平面 在底面 在侧面 ; 上的射影图形的面积为定值; 上的射影图形是三角形.

其中正确命题的序号是______ 【答案】②③ 【解析】①错, ,显然当 M 落在 , 不垂直 ,所以平面 不恒成立。②对,

6

因为

,且

,所以

平面

。③对,因为

的射影是 MB 为定值,点 M 的射

④错, 影一定在线段 CD 上, 所构造的射影三角形均同底等高, 所以面积为定值。 当 M 点落在点 时, 在侧面 上的射影图形是条线段。综上所述,填②③。

二.选择题
13. 若关于 的一元二次方程 均大于 1”的() A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】B 【解析】若 ,则 ,但是 ,满足 ,但不满足 B. 必要不充分条件 有两个实数根,分别是 、 ,则“ ”是“两根

D. 既不充分也不必要.

。所以是必要不充分条件。选 B. 【点睛】 若 ,则 是 的充分条件, 是 的必要条件,若存一个 ,使 p 成立,但 q 不成立,则 p 不是 q 的充分条

件,q 也不是 p 的必要条件。 14. 在下列命题中,不是公理 的是( ) .. A. 两条相交直线确定一个平面; B. 不在同一条直线上的三点确定一个平面; C. 如果直线上有两个点在平面 上,那么直线在平面 上; D. 如果不同的两个平面 、 有一个公共点 A,那么 、 的交集是过点 A 的直线. 【答案】A 【解析】由五个公理可知,A 选项是 B 选项公理的推论,所以选 A. 15. A. 【答案】C 【解析】略 16. 下列四个命题中正确是() A. 函数 ( 且 )与函数 ( 且 )的值域相同; 展开式中的常数项为() B. C. D.

7

B. 函数 C. 函数 D. 函数 【答案】C

与 与 与

的值域相同; 都是奇函数; 在区间 上都是增函数.

【解析】A 选项中,指数函数的值域为



=x,值域为 R,所以 A 错。 ,所以 B 错。 在 R 上为单调递增,D 错。

B 选项中,幂函数的值域为 R,, 指数函数的值域为 D 选项中,二次函数在 C 选项中, 上是单调递增, , 定义域为

,f(x)为奇函数, , ,C 对。

,定义域为

三、解答题
17. 如图所示,圆锥 的底面圆半径 ,其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形.

(1)求此圆锥的表面积; (2)求此圆锥的体积. 【答案】(1) ;(2)

【解析】试题分析: (1)圆锥底面周长等于展开扇形弧长 AB,可算得扇形半径,即圆锥母线长,再根据圆锥 的侧面积公式可求得侧面积, 试题解析: (1)因为 。 (2) 。 ,所以底面圆的面积为 ,

,所以底面圆周长为

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所以弧 长为

, 又因为

,则有

,所以

,扇形 ASB 的面积为

,所以圆锥的表面积= (2)在 中, . ; 的解集为 ,求关于 的不等式 的解集. ,所以圆锥的体积 .

18. (1)解方程: (2)已知关于 的不等式 【答案】(1)1;(2)

【解析】试题分析: (1)统一指数的底数为 5,再把 解得 t, 进一步解得 x.(2)由题意可得方程 代入不等式 试题解析: (1)令 ,解得 (2)由题意可知,方程 ,于是不等式 . 【点睛】 或 ,可求得不等式的解集. ,则 . 的两个根为 为 ,解得

当整体,原方程转化为一元二次方程,可 的两个根为 和,且 , 进一步求得 a,b,



,即



和,且

则由韦达定理可得 ,则其解集为

对于一个方程或不等式中有多个指数形式的,常把指数化同底,再应用整体思想,把指数结构整体换元。 从而进一步求解。 19. 如图,正方体 , 于点 . 的棱长为 2,点 为面 的对角线 的中点. 平面 交 于点

(1)求异面直线 与 (2)求三棱锥

所成角的大小; (结果用反三角函数值表示)

的体积.

9

【答案】(1)

;(2) 的对角线 。 (?)即求 的中点,连 AC,可证 , , ,所以 , ,求得

【解析】试题分析:(1)因为点 为面 所以异面直线 与 所成角,即?

线段长度,代入体积公式可解。? 试题解析: (1)因为点 为面 ,又 又 ,? ,所以 为异面直线 与 ,即异面直线 与 (2) 20. 已知函数 (1)判断函数 (2)证明: 在 的奇偶性,并说明理由; 上为增函数; =0 没有负数根。 , 的对角线 的中点. 平面 ,所以 为△ 中, 中,? . 的体积为 . 为直角, 的中位线,得 ,所以 , ,所以

,因为在底面 所成角的平面角,在△ 所成角的大小为

, 计算得三棱锥

(3)证明:方程

【答案】(1)无奇偶性;(2)见解析; (3)没有负数根. 【解析】试题分析: (1)判断奇偶首先看定义域是否关于原点对称,再看 f(x)与 f(-x)关系,本题定义域不关 于原点对称,所以非奇非偶函数。 (2)有定义作差法证明函数的单调性。对于指数函数与分式函数可以分 组判断。 (3)假设方程有负根, 试题解析: (1) 因为函数 没有奇偶性. (2)证明:设 , 上为增函数. (3)设 方程 【点睛】 判断奇偶首先看定义域是否关于原点对称,再看 f(x)与 f(-x)关系,若 f(-x)=f(x),则为偶函数,若 f(-x)=-f(x), ,则 没有负数根. ,由 =0,必须 ,则 ,与 矛盾,所以 , , , 在 的定义域为 ,方程两边取值范围不一样,矛盾。所以没有负数根。 , 不关于原点对称, 所以函数

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则为奇函数。 用定义证明单调性步骤为:假设-作差-变形-判断-下结论 21. 函数 (1)当 (2)若函数 (3)求函数 【答案】(1) 【解析】试题分析: (1)当 的定义域为 时,求函数 的值域; ( ).

在定义域上是减函数,求 的取值范围; 在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 的值. ;(2) 时, ;(3)见解析 , 由均值不等式或钩形函数

图像可求得函数值域。 (2)由减函数的定义证明法来求参数的范围。 (3)由于 a 的取值不同,函数的单调 性有变化,所以根据单调性来讨论函数的值域,分 试题解析: (1)函数 (2)若函数 成立,即 , 所以 (3)当 得当 时,函数 时, 时,函数 时取得最小值 【点睛】 利用函数的单调性求值域是求值域的一种重要方法。特别注意当函数含有参数时,而参数又会影响了函数 的单调性,从而需要分类讨论求函数的值域。 . 在 在 在 和 和 的值域为 且 都有 ,故 ; 时取得最大值 时取得最小值 ;由(2) ;当 讨论函数值域。

,所以函数 在定义域上是减函数,则任取 ,只要 即可,由 ,故 的取值范围是 上单调增,无最小值, 当 上单调减,无最大值, 当 上单调减,在

上单调增,无最大值,当

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