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2015年高中数学人教a版选修2-3教学课件 (43)


第一章 导数及其应用

(选修2-2)

1.6

微积分基本定理

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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

1.通过实例,直观了解微积分基本定理的含义; 2.利用微积分基本定理,求函数的定积分.

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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

本节重点:微积分基本定理. 本节难点:导数与积分的关系;利用微积分基本定理

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求函数的定积分.

第一章 导数及其应用

(选修2-2)

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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

1.微积分基本定理

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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

2.定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,x轴下方的面积为 S下,则
b (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时, 如图(1), 则? ? f(x)dx ?
?

a

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=S 上



第一章 导数及其应用

(选修2-2)

b (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时, 如图(2), 则? ? f(x)dx ?
?a

=-S 下. (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、 x 轴下方均存在时,
b ?b 如图(3),则? ? f(x)dx=S 上-S 下,若 S 上=S 下,则? f(x)dx=0. ? ?
?a ?a

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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

[例1] 求下列定积分
1 1 3 (1) dx;(2)? ? x dx;(3) ? x ?
?2 ? ? ?1

x - 1e dx. 1 ?
?

0

[分析] 根据导数与积分的关系,求定积分要先找到

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一个导数等于被积函数的原函数,再根据牛顿—莱布尼茨公
式写出答案,找原函数可结合导数公式表.

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(选修2-2)

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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

[点评] 求定积分主要是要找到被积函数的原函
数.也就是说,要找到一个函数,它的导数等于被积函 数.由此可见,求导运算与求原函数运算互为逆运算.
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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

[分析] 由于被积函数是绝对值函数,需在积分区间 [-2,2]上分段积分,这里零点是x=0,x=1.

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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

[点评] 在求含绝对值函数的积分时,由于被积函数
的表达形式在给定区间上不能用统一的形式表示,需分段 积分.
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(选修2-2)

[例 3]
[分析]

1 2 2 求 c 的值,使? ? (x +cx+c) dx 最小. ?
?0

1 2 2 对于一个确定的 c 的值,? ? (x +cx+c) dx 是 ?
?0

1 2 2 一个确定的数,因而? ? (x +cx+c) dx 可看成一个关于 c 的 ?
?

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0

函数,再求 c 取何值时,此函数有最小值.

第一章 导数及其应用

(选修2-2)

[解析]

1 2 2 令 y=? ? (x +cx+c) dx ?
?0

1 4 3 2 2 2 2 2 =? ? (x +2cx +c x +2cx +2c x+c )dx ?
?0

2 2 ?1 ?1 2 c 2 c 2 c 5 4 3 3 2 2 ? =?5x +4cx + 3 x + 3 x + 2 x +c x?? ?0 ? ?

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1 1 c2 2c 2 2 = + c+ + +c +c 5 2 3 3 1 7 7 2 7? 1?2 1 7 = + c+ c = ?c+4? + - 5 6 3 3? 5 48 ? 1 所以当 c=- 时,y 最小. 4

第一章 导数及其应用

(选修2-2)

[点评] 本题考查了如何求定积分,同时考查了函数
求最值.对本题中的乘方形式,先用公式展开,表示成和 的形式,然后分别求出,再求和.
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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

1 设 f(x)是连续函数,且 f(x)=x+2? ? f(t)dt,求 f(x). ?

[解析]

∵2 f(t)dt 是一个常数

?1 ? ? ?0

?0

∴可设 f(x)=x+c ∴ f(t)dt=
0
?1 ? ? ? ?1 ? ? ?

0

?1 ?? 1 2 (t+c)dt=?2t +ct?? ?0 ? ?

1 =2+c

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1 ∴c=2? ? f(t)dt=1+2c ?
?

0

∴c=-1 ∴f(x)=x-1.

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(选修2-2)

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第一章 导数及其应用

(选修2-2)

一、选择题
π 1.? ? (cosx+1)dx 等于 ?
?0

(

)
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A.1 C.π+1

B.0 D.π

[答案] D

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(选修2-2)

A.0 C.2
[答案] C

π B.4 D.4
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第一章 导数及其应用
?a ? ? ? ? ?1

(选修2-2)

1? 3.若 2x+x?dx=3+ln2,则 a 的值是 ?
A.6 C.3 B.4 D.2
?

?

(

)

[答案] D
[解析]
?a ? ? ? ? ?1

1? a ? 2x+ ?dx=(x2+lnx)? ?1 x?

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=a2-1+lna=3+ln2,
2 ? ?a -1=3 所以? ? ?a=2



解得 a=2.故应选 D.

第一章 导数及其应用

(选修2-2)

二、填空题 17 4. 已知 f(x)是一次函数, 且 f(x)dx=5, xf(x)dx= 6 ,
?1 ? ? ?0 ?1 ? ? ?0

那么 f(x)=________.
[答案] 4x+3

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(选修2-2)

[解析] 设f(x)=ax+b(a≠0),则

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(选修2-2)

[答案] -2
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