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2009届高三数学第一轮复习单元测试(1)—《集合与函数》(新人教)


届高三数学第一轮复习单元测试(1)—《集合与函数》 2009 届高三数学第一轮复习单元测试 — 集合与函数》
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A = {1, 2} ,则满足 A ∪ B = {1, 2,3} 的集合 B 的个数是 A.1 B.3 C.4 D.8 ( ) ( )

2.已知集合 M={x| A.?

x ≥ 0} ,N={y|y=3x2+1,x∈R} ,则 M∩N= 3 ( x ? 1)
B.{x|x≥1} C. {x|x>1}

D.{x| x≥1 或 x<0}

3.有限集合 S 中元素个数记作 card (S ) ,设 A 、 B 都为有限集合,给出下列命题: ① A ∩ B = φ 的充要条件是 card ( A ∪ B ) = card ( A) + card (B ) ; ② A ? B 的必要条件是 card ( A) ≤ card (B ) ; ③ A ? B 的充分条件是 card ( A) ≤ card (B ) ; ④ A = B 的充要条件是 card ( A) = card (B ) . 其中真命题的序号是 A.③、④ B.①、② C.①、④ D.②、③ 4.已知集合 M={x|x<3} ,N={x|log2x>1} ,则 M∩N= ( ) A. ? B. {x|0<x<3} C. {x|1<x<3} D. {x|2<x<3} 5.函数 y = log 2 A. y =

x ( x > 1) 的反函数是 x ?1





2x 2x 2x ? 1 2x ? 1 ( x > 0) B. y = x ( x < 0) C. y = x ( x > 0) D. y = x ( x < 0) 2x ? 1 2 ?1 2 2 3x 2 1? x
+ lg(3 x + 1) 的定义域是
B. ( ? ,1) ( ) D. (?∞,? ) ( )

6.函数 f ( x ) =

A. ( ? ,+∞)

1 3

1 3

C. (? , )

1 1 3 3

1 3

7.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y = ? x 3 , x ∈ R B. y = sin x, x ∈ R

-1-

y = x, x ∈ R

D. y = ( ) , x ∈ R
?1

1 x 2

8.函数 y = f (x ) 的反函数 y = f

( x) 的图象与 y 轴交于点


P (0,2) (如图 2 所示) ,则方程 f ( x ) = 0 的根是 x = (
A.4 B.3 C.2 D.1

9.已知函数 f ( x) = ax 2 + 2ax + 4(0 < a < 3), 若 x1 < x2 , x1 + x2 = 1 ? a, 则 A. f ( x1 ) > f ( x2 ) C. f ( x1 ) = f ( x2 ) B. f ( x1 ) < f ( x2 ) D. f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不能确定





,接收方由密文 → 明 10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 → 密文(加密) 文(解密) ,已知加密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a + 2b, 2b + c, 2c + 3d , 4d . 例如,明文

1, 2,3, 4 对应密文 5, 7,18,16. 当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文为
( ) B. 6, 4,1, 7 C. 4, 6,1, 7 D. 1, 6, 4, 7

A. 7, 6,1, 4

11.如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所 围成的弓形面积的 2 倍,则函数 y=f(x)的图象是( )

12.关于 x 的方程 x 2 ? 1 ? x 2 ? 1 + k = 0 ,给出下列四个命题: ①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;
-2-

(

)

2

④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 13.函数 f ( x ) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x + 2 ) = 1 ,若 f (1) = ?5, 则 f ( f ( 5) ) = _______. f ( x) 14.设 f(x)=log3(x+6)的反函数为 f 1(x) ,若〔f 1(m)+6〕 1(n)+6〕=27, 〔f 则 f(m+n)=___________________. 15.设 g ( x) = ?
- - -

? e x , x ≤ 0. ?lnx, x > 0.

则 g ( g ( )) = __________.
? ? 2? ?+ f? ? ? ? x?

1 2

16.设 f ( x ) = lg 2 + x ,则 f ? x ? 2? x ? 2

的定义域为_____________ .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) = x 2 + (lg a + 2) x + lg b 满足 f ( ?1) = ?2 且对于任 意 x ∈ R , 恒有 f ( x ) ≥ 2 x 成立. (1)求实数 a, b 的值; (2)解不等式 f ( x ) < x + 5 .

18(本小题满分 12 分) 20 个下岗职工开了 50 亩荒地,这些地可以种蔬菜、棉花、水稻, 如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下: 每亩需劳力 蔬 棉 水 菜 花 稻
1 2

每亩预计产值 1100 元 750 元 600 元
-3-

1 3 1 4

问怎样安排,才能使每亩地都种上作物,所有职工都有工作,而且农作物的预计总产值达到 最高?

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) = ax 2 + bx + 1 ( a, b为实数), x ∈ R,
( x > 0) ? f ( x) F ( x) = ? ? f ( x) ( x < 0) ?

(1)若 f ( ?1) = 0, 且函数 f ( x ) 的值域为 [0, + ∞) ,求 F (x) 的表达式; (2)在(1)的条件下, 当 x ∈ [?2, 2] 时, g ( x ) = f ( x ) ? kx 是单调函数, 求实数 k 的取值 范围; (3)设 m ? n < 0 , m + n > 0, a > 0 且 f (x) 为偶函数, 判断 F (m) + F (n) 能否大于零?

20. (满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x. (1)若 f(2)-3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式.
-4-

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) = x 2 ? 4 x ? 5 . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图像; (2)设集合 A = { x f ( x) ≥ 5 }, 之间的关系,并给出证明; (3)当 k > 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y = kx + 3k 的图像位于函数 f (x) 图像的上 方.

B = ( ? ∞, ? 2 ] ∪ [ 0, 4 ] ∪ [ 6, + ∞ ) . 试判断集合 A 和 B

-5-

22. (本小题满分 14 分) 设 a 为实数,记函数 f ( x) = a 1 ? x 2 + 1 + x + 1 ? x 的最大值为 g(a). (1)设 t= 1 + x + 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) ; (2)求 g(a) ;
1 (2)试求满足 g (a) = g ( ) 的所有实数 a. a

参考答案(1)
1. .A = {1, 2} ,A ∪ B = {1, 2, 3} , C 则集合 B 中必含有元素 3, 即此题可转化为求集合 A = {1, 2}

的子集
-6-

个数问题,所以满足题目条件的集合 B 共有 22 = 4 个.故选择答案 C. 2.C.M={x|x>1 或 x≤0} ,N={y|y≥1}故选 C 3.B.选由 card ( A ∪ B ) = card ( A) + card (B ) + card ( A ∩ B ) 知 card ( A ∪ B ) = card ( A) + card (B ) ? card ( A ∩ B ) =0 ? A ∩ B = φ .由 A ? B 的定义知 card ( A) ≤ card (B ) . 4.D.

N = { x log 2 x > 1} = { x x > 2} ,用数轴表示可得答案 D.

2x 5.A.∵ y = log 2 x ∴ x = 2y 即 y = x x ?1 2 ?1 x ?1 ∴ x = 1 + 1 > 1 即 y = log 2 x > 0 ∵ x >1 x ?1 x ?1 x ?1
x ∴函数 y = log 2 x ( x > 1) 的反函数为 y = x2 ( x > 0 ) . x ?1 2 ?1 6.B.由 ?1 ? x > 0 ? ? 1 < x < 1 ,故选 B. ? 3 ?3x + 1 > 0

7.B.在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其 定义域内不是奇 函数,是减函数;故选 A. 8.C.利用互为反函数的图象关于直线 y=x 对称,得点(2,0)在原函数 y = f ( x ) 的图象 上,即 f ( 2) = 0 , 所以根为 x=2.故选 C 9. B.取特值 a = 1, x1 = ?2, x 2 = 2, f (2) > f (? 2) ,选 B;或二次函数其函数值的大小关系,分 类研究对 成轴和区间的关系的方法, 易知函数的对成轴为 x = ?1 ,开口向上的抛物线, 由 x1 < x2 , x1+x2=0,需 分类研究 x1 < x2 和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选 B; 10.B.理解明文 → 密文(加密) ,密文 → 明文(解密)为一种变换或为一种对应关系,构
? x = a + 2b ? 建方程组求解,依提意用明文表示密文的变换公式为 ? y = 2b + c ,于是密文 14,9,23,28 ? ? z = 2c + 3d ?m = 4 d ?

-7-

满足,即有 ?9 = 2b + c ?

?14 = a + 2b

?d = 7 ?c = 1 ,选 B; ? ,∴ ? ? 23 = 2c + 3d ?b = 4 ? ?28 = 4d ?a = 6 ? ?

11.D.当 x=

π
2

时,阴影部分面积为

1 个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故 4

π π ?2 此时 f ( π ) = 2[ π ? 1 ] = π ? 2 < π ,即点( , )在直线 y=x 的下方,故应在 C、D 中选;而当 2 2 2 4 2 2 2
x=
f( 3π 3 时, ,阴影部分面积为 个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,即 2 4 3π π ?2 3π 3π ) = 2 × [π ? ]=π +2 > ,即点( , π + 2 )在直线 y=x 的上方,故选 D. 2 2 2 2
2

12.B.本题考查换元法及方程根的讨论,要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力;

据题意可令 x 2 ? 1 = t (t ≥ 0) ①,则方程化为 t ? t + k = 0 ②,作出函数 y = x 2 ? 1 的图象, 结合函数的图象可知: 1)当 t=0 或 t>1 时方程①有 2 个不等的根; 2)当 0<t<1 时方程① ( ( ( 有 4 个根; 3)当 t=1 时,方程①有 3 个根. 故当 t=0 时,代入方程②,解得 k=0 此时方程②有两个不等根 t=0 或 t=1,故此时原方程 有 5 个根;当方程②有两个不等正根时,即 0 < k <

1 此时方程②有两根且均小于 1 大于 0, 4 1 2 故相应的满足方程 x ? 1 = t 的解有 8 个,即原方程的解有 8 个;当 k = 时,方程②有两 4 1 个相等正根 t= ,相应的原方程的解有 4 个;故选 B. 2 1 13 . 由 f ( x + 2 ) = 1 得 f ( x + 4) = = f ( x) , 所 以 f (5) = f (1) = ?5 , 则 f ( x) f ( x + 2)
f ( f ( 5) ) = f (?5) = f (?1) =


1 1 =? . f (?1 + 2) 5
- - +n

14.f 1(x)=3x-6 故〔f 1(m)+6〕?〔f 1(x)+6〕=3m?3n=3m ∴m+n=3∴f(m+n)=log3(3+6)=2. 15. g ( g ( 1 )) = g (ln 1 ) = e 2 2 16.由
ln 1 2

=27

=

1. 2

x ? 2+ x ?2 < < 2, ,解得 x ∈ ( ?4, ?1) ∪ (1, 4 ) . > 0 得, f ( x ) 的定义域为 ?2 < x < 2 。故 ? ? 2 ? 2? x 2 ? ?2 < < 2. ? x ?

故 f ? x ? + f ? 2 ? 的定义域为 (? 4,?1) ∪ (1,4) . ? ? ? ?
?2? ? x?

-8-

17. (1) 由 f ( ?1) = ?2, 知, lg b ? lg a + 1 = 0, …① ∴

a = 10. …②又 f ( x) ≥ 2 x 恒成立, b

有 x 2 + x ? lg a + lg b ≥ 0 恒成立,故 ? = (lg a ) 2 ? 4 lg b ≤ 0 . 将①式代入上式得: (lg a ) ? 2 lg b + 1 ≤ 0 , 即 (lg b ? 1) ≤ 0, 故 lg b = 1 .
2 2

即 b = 10 , 代入② 得, a = 100 . (2) f ( x ) = x 2 + 4 x + 1, 解得:
? 4 < x < 1,

f ( x) < x + 5, 即 x 2 + 4 x + 1 < x + 5, ∴ x 2 + 3 x ? 4 < 0,

∴不等式的解集为 {x | ?4 < x <1 . }

18.设种蔬菜、棉花、水稻分别为 x 亩,y 亩,z 亩,总产值为 u, 依题意得 x+y+z=50, 1 x + 1 y + 1 z = 20 ,则 u=1100x+750y+600z=43500+50x. 2 3 4 ∴ x ≥ 0,y=90-3x ≥ 0,z=wx-40 ≥ 0,得 20 ≤ x ≤ 30,∴当 x=30 时,u 取得大值 43500,此时 y=0,z=20. ∴安排 15 个职工种 30 亩蔬菜,5 个职工种 20 亩水稻,可使产值高达 45000 元.
19 (1) ∵ f ( ?1) = 0 , ∴ a ? b + 1 = 0, 又 x ∈ R, f ( x ) ≥ 0 恒成立,

∴ ?a > 0

? 2 ?? = b ? 4a ≤ 0

, ∴ b 2 ? 4(b ? 1) ≤ 0 , b = 2, a = 1 ∴ f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1) 2 .

? ∴ F ( x) = ?( x + 1)

2 ( x > 0) ? 2 ?? ( x + 1) ( x < 0) ?

(2) 则 g ( x ) = f ( x ) ? kx = x 2 + 2 x + 1 ? kx = x 2 + ( 2 ? k ) x + 1

= (x +


2?k 2 (2 ? k ) 2 , ) +1? 2 4

k?2 k?2 ≥ 2或 ≤ ?2 时, 即 k ≥ 6 或 k ≤ ?2 时, 2 2

g ( x ) 是单调函数.
( x > 0) , ?? ax ? 1 ( x < 0) ?

2 ? (3) ∵ f ( x) 是偶函数∴ f ( x ) = ax 2 + 1, F ( x) = ?ax + 1 ? 2

∵ m ? n < 0, 设 m > n , 则 n < 0 .又 m + n > 0, m > ? n > 0, ∴ | m | > | ? n | F ( m) + F ( n)

= f (m) ? f (n) = (am 2 + 1) ? an 2 ? 1 = a (m 2 ? n 2 ) > 0 , ∴ F(m) + F(n ) 能大于
零.
-9-

20. (1)因为对任意 x∈ R,有 f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x,所以 f(f(2)- 22+2) =f(2)- 22+2. 又由 f(2)=3,得 f(3-22+2)-3-22+2,即 f(1)=1. 若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=A. (2)因为对任意 x∈R,有 f(f(x) )- x2 +x)=f(x)- x2 +x. 又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)- x0. 所以对任意 xεR,有 f(x)- x2 +x= x0. 在上式中令 x= x0,有 f(x0)-x 0 + x0= x0, 又因为 f(x0)- x0,所以 x0- x 0 =0,故 x0=0 或 x0=1. 若 x0=0,则 f(x)- x2 +x=0,即 f(x)= x2 –x. 但方程 x2 –x=x 有两上不同实根,与题设 条件矛质,故 x2≠0. 若 x2=1,则有 f(x)- x2 +x=1,即 f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足 题设条件. 综上,所求函数为 f(x)= x2 –x+1(x ∈ R).
2 2

21. (1) ( 2 ) 方 程 f ( x) = 5 的 解 分 别 是 2 ? 14 , 0, 4 和 2 + 14 , 由于 f (x) 在 ( ? ∞, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减, 在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, + ∞ ) 上单调递增,因此
A = ? ∞, 2 ? 14 ∪ [ 0, 4 ] ∪ 2 + 14 , + ∞ .

(

]

[

)

由于 2 + 14 < 6, (3)

2 ? 14 > ?2, ∴ B ? A .

[解法一] 当 x ∈ [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) = ? x 2 + 4 x + 5 . g ( x) = k ( x + 3) ? (? x 2 + 4 x + 5)
2 = x 2 + (k ? 4) x + (3k ? 5) = ? x ? 4 ? k ? ? k ? 20 k + 36 , ? ? 2

?

2 ?

4

∵ k > 2, ∴

4?k <1. 又 ?1≤ x ≤ 5 , 2 4?k 4?k ① 当?1≤ , < 1 ,即 2 < k ≤ 6 时,取 x = 2 2
g (x) min = ?

k 2 ? 20k + 36 1 2 = ? (k ? 10) ? 64 . 4 4

[

]

∵ 16 ≤ (k ? 10) 2 < 64, ∴ (k ? 10) 2 ? 64 < 0 , 则 g ( x) min > 0 .

- 10 -

② 当

4?k < ?1 ,即 k > 6 时,取 x = ?1 , g (x) min = 2k > 0 . 2 由 ①、②可知,当 k > 2 时, g ( x) > 0 , x ∈ [ ? 1, 5 ] . 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y = k ( x + 3) 的图像位于函数 f (x) 图像的上方.

[解法二] 当 x ∈ [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) = ? x 2 + 4 x + 5 .

? y = k ( x + 3), 由? 得 x 2 + (k ? 4) x + (3k ? 5) = 0 , 2 ? y = ? x + 4 x + 5,
令 ? = (k ? 4) 2 ? 4(3k ? 5) = 0 ,解得 k = 2 或 k = 18 , 在区间 [ ? 1, 5 ] 上,当 k = 2 时, y = 2( x + 3) 的图像与函数 f (x) 的图像只交于一点 ( 1, 8 ) ; 当 k = 18 时, y = 18( x + 3) 的图像与函数 f (x) 的图像没有交点. 如图可知,由于直线 y = k ( x + 3) 过点 ( ? 3, 0 ) ,当 k > 2 时,直线 y = k ( x + 3) 是由直线 y = 2( x + 3) 绕点 ( ? 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y = k ( x + 3) 的图 像 位于函数 f (x) 图像的上方. 22. (1)∵ t = 1 + x + 1 ? x ,∴要使 t 有意义,必须 1 + x ≥ 0 且 1 ? x ≥ 0 ,即 ? 1 ≤ x ≤ 1 ∵ t 2 = 2 + 2 1 ? x 2 ∈ [ 2,4] ,且 t ≥ 0 ……① 由①得: 1 ? x =
2

∴ t 的取值范围是 [ 2 ,2] 。

1 2 1 1 t ? 1 ,∴ m(t ) = a ( t 2 ? 1) + t = at 2 + t ? a , t ∈ [ 2 ,2] 。 2 2 2

(2)由题意知 g (a ) 即为函数 m(t ) = 1 at 2 + t ? a , t ∈ [ 2 ,2] 的最大值, 2 ∵直线 t = ?

1 1 2 是抛物线 m(t ) = at + t ? a 的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论: a 2

1)当 a > 0 时,函数 y = m(t ) , t ∈ [ 2 ,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t = ?

1 < 0 知 m(t ) 在 t ∈ [ 2 ,2] 上单调递增,故 g (a ) = m(2) = a + 2 ; a

2)当 a = 0 时, m(t ) = t , t ∈ [ 2 ,2] ,有 g (a ) =2; 3)当 a < 0 时, ,函数 y = m(t ) , t ∈ [ 2 ,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, 若t = ?

1 2 ∈ (0, 2 ] 即 a ≤ ? 时, g (a ) = m( 2 ) = 2 , a 2
- 11 -

1 1 1 ∈ ( 2 ,2] 即 a ∈ (? 2 ,? 1 ] 时, g (a ) = m(? ) = ? a ? , a a 2a 2 2 1 1 若 t = ? ∈ ( 2,+∞) 即 a ∈ (? ,0) 时, g (a ) = m( 2) = a + 2 . a 2
若t = ?
? ? a+2 综上所述,有 g (a ) = ? 1 ? ?? a ? 2a ? ? 2 ? ? 1 (a > ? ) 2 . 2 1 , (? <a≤? ) 2 2 2 (a ≤ ? ) 2

(3)当 a > ?

1 3 时, g (a ) = a + 2 > > 2 ; 2 2

当?

1 2 1 1 2 2 1 ∈( ,1] ,∴ ? a ≠ ? , ) ,? < a ≤ ? 时, ? a ∈ [ , 2a 2 2a 2 2 2 2
1 1 > 2 (?a) ? ( ? ) = 2 ,故当 a 2a 2a

g (a ) = ?a ?

>?

2 时, g (a ) > 2 ; 2

1 1 1 > 0 ,由 g (a ) = g ( ) 知: a + 2 = + 2 ,故 a = 1 ; a a a 1 1 1 当 a < 0 时, a ? = 1 ,故 a ≤ ?1 或 ≤ ?1 ,从而有 g ( a ) = 2 或 g ( ) = 2 , a a a 1 要使 g ( a ) = g ( ) ,必须有 a ≤ ? 2 , 1 ≤ ? 2 ,即 ? 2 ≤ a ≤ ? 2 , a 2 a 2 2 1 此时, g ( a ) = 2 = g ( ) 。 a
当 a > 0 时,
1 2 或 a = 1. 综上所述,满足 g (a) = g ( ) 的所有实数 a 为: ? 2 ≤ a ≤ ? a 2

- 12 -


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