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2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一、高二试题及答案


2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 (高一年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题(本

大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1. 已知数列 {an } 是等差数列,a2 和 a2014 是方程 5 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根, 则数列 {an } 的前 2015 2 项的和为 1209 . 3 2. 已知 a , b 是常数, 函数 f ( x) ? ax ? b ln( x ? x 2 ? 1) ? 3 在 (??,0) 上的最大值为 10,则 f ( x) 在 (0,??) 上的最小值为 -4 . 3.若对于任意实数 x , | x ? a | ? | x ? 1 |? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值为 1 3 . 4.设 an ? 2 n , bn ? 5n ? 1(n ? N*), S ? {a1 , a2 ,?, a2015 } ? {b1 , b2 ,?, ba2015 } ,则集合 S 中的元 素的个数为 504 . 5.△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 a ? c ? a sin C ,则 sin 1 . A?C B ? sin 的值为 2 2 6 . 设多项 式 f ( x) 满 足 f ( x) ? f ( x ? 1) ? ?2x 2 ? 2x ? 3 ,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (9) ? - 186 . ?BAC ? 90? , ?CAP 为锐角, 7. 已知点 P 在 Rt△ ABC 所在平面内, | AP |? 2 ,AP ? AC ? 2 , AP ? AB ? 1 .当 | AB ? AC ? AP | 取得最小值时, tan?CAP ? 8. 8 sin 10 ? ? 2 7 2 . 1 的值为 sin 10? 6 . 9.函数 f ( x) ? 8 ? x ? 3x ? 6 的最小值为 10 . 10.使得 p ? 1 p2 ?1 和 都是完全平方数的最大质数 p 为 7 2 2 . 二、解答题(本大题共3小题,每小题20分,共60分.) 11.定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) 满足: ① f (2) ? 1 ;②当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;③ f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) . x y (1)试判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 f (t ) ? f (t ? 3) ? 2 ,试求 t 的取值范围. 解 (1) 设 0 ? x1 ? x2 , 则 x2 x 故 f ( 2 ) ? 0, 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) , ? 1, x1 x1 ………………………………………(5 分) 故 f ( x) 在 (0,??) 上是单调增函数. (2)因为 f (2) ? f ( ) ? f (4) ? f (2) ,所以 f (4) ? 2 f (2) ? 2 ,从而 4 2 f (t ) ? f (t ? 3) ? f (4) . 即 f (t ) ?

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