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浙江省嘉兴一中2014届高三上学期期中数学理试卷 Word版含答案


嘉兴市第一中学 2013 学年第一学期期中考试

高三数学(理科)

试题卷

满分[ 150]分 ,时间[120]分钟 2013 年 11 月 一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? ? x ? N | 0 ? x ?

5? , ?A B ? ?1,3,5? ,则集合 B ? ( ▲ ) A. ?2,4? B. ?0,2,4? C. ?0,1,3? D. ?2,3,4?

2.复数 z ? A. ?1

2 的虚部为( ▲ 1? i B. 1 C. ?i D. i



3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 63,则判断框中应填( ▲ ) A. n ? 7 B. n ? 7 C. n ? 6 D. n ? 6 4.命题“ ?x ? [1, 2], x ( ▲ ) A. a ? 4
2

开始

? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是
C. a ? 5 D. a ? 5

S ? 0 , n ? 1, a ? 3

B. a ? 4

S ? S ?a
n ? n ?1 a ? a?2
否 是 输出 S 结束

5.设 l , m, n 表示三条不同的直线, ? , ? 表示两个不同的平面,则下列说法 正确的是( ▲ )

A.如 l ∥ m , m ? ? ,则 l ∥ ? ; B.如 l ? m, l ? n, m, n ? ? ,则 l ? ? ; C.如 l ? ? , m ? ? , l ? m ,则 ? ? ? ; D.如 l ∥ ? , l ∥ ? , ? ? ? ? m ,则 l ∥ m .

3sin ? ? cos ? 6.若 3cos ? ? 2sin ? ? 13 ,则 ?( ▲ ) 3sin ? ? cos ? 2 3 11 A. ? B. ? C. D.3 3 2 7
n 7.数列 ?a n ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? an ? 3 ? 2 ,则 a 2012 ? (▲

) D. 4
1006

A. 4

1005

B. 4

1005

?4

C. 2

1006

8.用 1,2,3,4,5,6 组成数字不重复的六位数,满足 1 不在左右两端,2,4,6 三 个偶数中,有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为(▲ ) A. 432 B. 288 C. 216 D. 144 9.棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P , P2 分别是线段 AB, BD1 (不包括 1 端点)上的动点,且线段 P1 P2 平行于平面 A1 ADD1 ,则四面体 P P2 AB1 的体积的最大 1

值是( ▲)

A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 2

10.设偶函数 y ? f (x) 和奇函数 y ? g (x) 的图象如下图所示 y y 2 1 -2 -1

· O -1

2 1

x

-1

· O
-2

1

x

集合 A= x f ( g ( x) ? t ) ? 0 与集合 B= x g ( f ( x) ? t ) ? 0 的元素个数分别为 a,b ,若

?

?

?

?

1 ? t ? 1 ,则 a ? b 的值不可能是 ( . 2
A.12 B.13

▲ ) C.14 D.15

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11. (2 x ? ) 的展开式中的常数项为
4

1 x



12.一个正四棱锥的所有棱长均为 2,其俯视图如右图所示,则该正 四棱锥的正视图的面积为 .

?3 x ? y ? 2 ? 0, ? 13. x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 设 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) ? x ? 0, y ? 0, ?
的最大值为 1,则

俯视图

1 1 ? 的最小值为 a b



14.若 M 为 ?ABC 内一点,且满足 AM ?

3 1 AB ? AC ,则 ?ABM 与 ?ABC 的面积之 4 4


比为 . 15.函数 y ? ( x ? 2) x 在 a ? x ? 2 上的最小值为 ?1 ,则实数 a 的取值范围为 16. 过椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 作圆 x 2 ? y 2 ? 2 的两条切线,点 A, B 为切点.过 A, B 的直 9 4 线 l 与 x 轴, y 轴分别交于点 P, Q 两点, 则 ?POQ 的面积的最小值为 . 17.设 x 为实数,定义{ x }为不小于 x 的最小整数,例如{5.3}=6,{-5.3}=-5,则关于 x 的方 3 程{3 x +4}=2 x + 的全部实根之和为 . 2
三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分)

已知向量 m ? ( 2 sin x,1) , n ? ( 3 cos x,2 cos x) ,函数 f ( x) ? m ? n ? t .
2

(I)若方程 f ( x) ? 0 在 x ? [0,

?
2

] 上有解,求 t 的取值范围;

(II)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 A, B, C 所对的边,当 t ? 3 且 f ( A) ? ?1, b ? c ? 2 时, 求 a 的最小值.

19. (本题满分 14 分) 某单位的联欢活动中有一种摸球游戏, 已知甲口袋中大小相同的 3 个球, 其中 2 个红球, 1 个黑球;乙口袋中有大小相同的 2 个球,其中 1 个红球,1 个白球.每次从一只口袋中摸 一个球, 确定颜色后再放回. 摸球的规则是: 先从甲口袋中摸一个球, 如果摸到的不是红球, 继续从甲口袋中摸一个球,只有当从甲口袋中摸到红球时,才可继续从乙口袋里摸球.从每 个口袋里摸球时, 如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球, 则该游戏者的游戏停止. 游 戏规定,如果游戏者摸到 2 个红球,那么游戏者就中奖.现假设各次摸球均互不影响. (I)一个游戏者只摸 2 次就中奖的概率; (II)在游戏中,如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会,记他摸球的次数为 ? ,求 ? 的 数学期望.

A
20. (本题满分 14 分)

?ABC 中, AB ? 4, AC ? 4 2, ?BAC ? 45? ,以 AC 的中线 BD
为折痕, ?ABD 沿 BD 折起, 将 构成二面角 A ? BD ? C . 在面 BCD 内作 CE ? CD ,且 CE ? 2 . (I)求证: CE ∥平面 ABD ; (II) 如果二面角 A ? BD ? C 的大小为 90 , 求二面角 B ? AC ? E 的余弦值.
?

D E

B

C

21. (本题满分 15 分)

已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的正 a2 b2

方形. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;m] (Ⅱ)过点 Q ( 1 , 0 ) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点. 点 P(4,3) ,记直线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k 2 , 当 k1 ? k2 最大时,求直线 l 的方程.

22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ax(a ? R) . (I)当 a ? 0 时,过点 P(?1, 0) 作曲线 y ? f (x) 的切线,求切线的方程;

? (II)讨论函数 f (x) 在 ?0, ? ? 的单调性;
(III)当 0 ? y ? x ? 1 时,证明: ln x ? ln y ? ln( x ? y) ? 1 .

嘉兴市第一中学 2013 学年第一学期期中考试

高三数学(理科)
一、选择题(每小题 5 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 D

参考答案及评分标准
6 D 7 D 8 B 9 A 10 D

二、填空题(每小题 4 分) 11. 24 , 12.

2



13.

9



14.

1:4



15.

1?

2 ?a ? 1



16.

2 3



17.

-6

.

三、解答题 18. (满分 14 分) 解:(1) t ? [0,3] (2) a 的最小值为 1 19. (满分 14 分) 解:从甲口袋中摸一个球,摸到的球是红色球的概率为 的球是红色球的概率为

2 ;从乙口袋中摸一个球,摸到 3

1 . 2 (1)一个游戏者只摸 2 次就中奖,说明他第一次从甲口袋摸到的是红球,第二次从乙

2 1 1 口袋中摸到的也是红球,所以其概率为 ? ? ; 3 2 3
(2) ? 可取 2,3, 4 .用 A 表示“从甲口袋中摸 1 个球,摸到的是红球”,用 A 表示“从甲

2 1 口袋中摸 1 个球,摸到的不是红球”,则 P( A) ? , P( A) ? ;用 B 表示“从乙口袋中摸 1 个 3 3
球,摸到的是红球”,用 B 表示“从乙口袋中摸 1 个球,摸到的不是红球”,则

1 1 P( B) ? , P( B) ? . 2 2 2 1 1 1 4 P(? ? 2) ? P( A ? B) ? P( A ? A) ? ? ? ? ? ; 3 2 3 3 9 1 1 1 4 P(? ? 3) ? P( A ? B ? B) ? P( A ? B ? B) ? P( A ? A ? B) ? ? ? ? ; 6 6 9 9 1 1 1 P(? ? 4) ? P( A ? A ? B ? B) ? P( A ? A ? B ? B) ? ? ? . 18 18 9 ? 所以 ? 的分布列为: 2 3 4 P 4 4 1 9 9 9

4 4 1 8 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 9 9 3 20. (满分 14 分)
解: (1)由 AB ? 4, AC ? 4 2, ?BAC ? 45? 得 BC ? 4 ,所以 ?ABC 为等腰直角三角形, 由 D 为 AC 的中点得 BD ? AC ,以 AC 的中线 BD 为折痕翻折后仍有 BD ? CD ,因为 A CE ? CD ,所以 CE ∥ BD ,又 CE ? 平面 ABD , BD ? 平 面 ABD ,所以 CE ∥平面 ABD . (2) 如果二面角 A ? BD ? C 的大小为 90? , A ? 由 D B D 得 AD ? 平面 BDC ,因此 AD ? CE ,又 CE ? CD ,所以

G

CE ? 平面 ACD ,从而 CE ? AC .由题意 AD ? DC ? 2 2 ,
所 以 R t? A D C , AC ? 4 . 设 BC 中 点 为 F , 因 为 中

F D E

A B? B C 4 ,所以 BF ? AC ,且 BF ? 2 3 ,设 AE 中点 ?
为 G , FG ∥ CE , C ? C 得 FG ? AC , 则 由 E A 所以 ?BFG 为二面角 B ? AC ? E 的平面角,连结 BG ,在 ?BCE 中,因 为 BC ? 4, CE ? 2, ?BCE ? 135 , 所 以 BE ? 26 . 在
?

B

C

Rt DCE 中 ?

DE ? (2 2) 2 ? ( 2) 2 ? 10
. 在
2









Rt ?ADE





AE ? (2 2) 2 ? ( 10) 2 ? 3 2

?ABE

中 ,

1 B G? 2
2

1 A ?B 2
2

2

1 B E ? 4

3 3 ,所以在 ?BFG 中, ?A E 2

z
A

1 33 12 ? ? 2 2 ?? 6 cos ?BFG ? 3 2 2?2 3 ? 2

. 因 此 二 面 角

B ? A ?C 的余弦值为 ? E

6 . 3 解法二:如果二面角 A ? BD ? C 的大小为 90? ,由

F D E

B
x

C

y

AD ? BD 得 AD ? 平面 BDC ,又由(1)知 BD ?CD ,所以以 D 为坐标原点, DB, DC, DA 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系.又 CE ? CD ,所以 CE ? 平面 ACD ,又 CE ? 平面
ACE ,所以平面 ACE ? 平面 ACD . 设 AC 中点为 F ,连结 DF ,则 DF ? AC ,且 DF ? 2 ,从而 DF ? 平面 ACE .由(1)可
知, ? CD ? AD ? 2 2 , 所以 B(2 2,0,0) , (0, 2 2,0) ,A(0,0, 2 2) , 因此 F (0, 2, 2) , C BD

???? ??? ? ???? 即平面 ACE 的法向量为 DF ? (0, 2, 2) ,又 AB ? (2 2,0, ?2 2) , AC ? (0, 2 2, ?2 2) ,

? ??? ? ? ???? ? 设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AB ? 0, n ? AC ? 0 ,所以 x ? y ? z ,所以可以取
? ? ???? ? ???? 6 ,结合图形 n ? (1,1,1) ,设 n 与 DF 的夹角为 ? ,由 n ? DF ? 2 2 ? 3 ? 2 ? cos ? 得 cos? ? 3 6 可知二面角 B ? AC ? E 的余弦值为 ? . 3
21. (本题满分 15 分) 解:解: (Ⅰ)由已知得 b ? c ?
2 2 2

2.

…………………2 分

又 a ?b ? ?4 ,所以椭圆 C 的方程为 c (Ⅱ)①当直线 l 的斜率为 0 时,则 k 1 ? k 2 ?

x2 y2 ? ? 1 . …………………5 分 4 2

3 3 3 ? ? ; …………………7 分 4?2 4?2 4

②当直线 l 的斜率不为 0 时, A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y 2 ) , 设 直线 l 的方程为 x ? my ?1 , 将 x ? my ?1 代入 则 y1 ? y 2 ?

x2 y2 ? ? 1 ,整理得 ( 2?) 2?m 3 0 m2 y 2y ?? . 4 2
…………………9 分

?3 ?2m , y1 y 2 ? 2 . 2 m ? 2 m ?2

又 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ?1 , 所以, k1 ? k2 ?

(3 ? y1 )(3 ? y 2 ) 3 ? y1 3 ? y2 ? ? 4 ? x1 4 ? x2 (3 ? m y1 )(3 ? m y 2 )

?

9 ? 3(y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? 2 9 ? 3m(y1 ? y2 ) ? m y y2 1
3m 2 ? 2m ? 5 3 4m ? 1 . ? ? 2 4m ? 6 4 8m 2 ? 1 2
…………………11 分

?

令 t ? 4m?1,则 k1 ? k 2 ?

3 2t 3 2 ? 1 ? 2 ? ? 4 t ? 2t ? 25 4 ( t ? 2 5 ) ? 2 t

所以当且仅当 t ? 5 ,即 m ? 1 时,取等号. 由①②得,直线 l 的方程为 x ? y ?1? 0. 22. (本题满分 15 分)

…………………14 分

解: (1)当 a ? 0 时,过点 P(?1,0) 作曲线 y ? f (x) 的切线,求切线的方程; 当 a ? 0 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ,设切点 P ( x0 , ln(1 ? x0 )) , ∵ f ?( x) ?

ln( x0 ? 1) 1 1 ? ,∴ ,即 x0 ? e ? 1 , 1 ? x0 x0 ? 1 1? x

1 ,切线的方程为 x ? ey ? 1 ? 0 ; e 1 1 ? (2)∵ f ?( x) ? ? a ,且当 x ? ?0, ? ? 时有 ? ?0,1? 1? x 1? x 1 ? ? ∴当 a ? 0 时, f ?( x) ? ? a ? 0 在 ?0, ? ? 上恒成立,即 f (x) 在 ?0, ? ? 上单调递增 1? x
∴切线的斜率 k ?

当 a ? 1 时, f ?( x) ?

1 ? ? ? a ? 0 在 ?0, ? ? 上恒成立,即 f (x) 在 ?0, ? ? 单调递减 1? x 1? a ? 1? a ? ,??) 上单调递减; ? 上单调递増,在 ( a ? a ?

当 0 ? a ? 1 时, f (x) 在 ?0,

(3)当 0 ? a ? 1 时, f (x) 的最大值为 M (a) ? ? ln a ? a ? 1 ∵ M ?(a) ?

a ?1 ? 0 在 (0,1) 上恒成立, a

∴ M (a) ? ? ln a ? a ? 1 在 (0,1) 上单调递减,即 M (a) ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 ∴ ? ln y ? y ? 1 ? ? ln x ? x ? 1 ,即 ln x ? ln y ? x ? y 同时 0 ? x ? y ? 1 ,有 M ( x ? y) ? ? ln( x ? y) ? ( x ? y) ? 1 ? 0 ,即 x ? y ? ln( x ? y) ? 1 ∴当 0 ? y ? x ? 1 时,有 ln x ? ln y ? ln( x ? y) ? 1 .


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