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2.2平面向量数乘运算及其几何意义


2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义

1.向量加法三角形法则: 特点:首尾顺次连,起点 指终点
C

2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和
B

? a
? ? ?a ?b b

? ? a?b
A

? b



C

? b
A

? a

B

O

? a

3.向量减法三角形法则:

特点:平移同起点,方向指被减

? a

? b

? b
O

B

? a

??? ? ? ? BA ? a ? b
A

作一作,看成果
? ? ? ? 已知非零向量 a ,作出 a ? a ? a ,你能发现什么? ? a ? ? ? ? ? ? 3a与 a 方向相同 a a a ? ? O 3a A C B 且 3a ? 3 a
? ? ? (?a) ? (?a) ? (?a) 类比上述结论,

? ?a

? ?a

? ?a

N

M

Q

P

? ?3a

又如何呢? ? ? ?3a 与 a?方向相反 ? 且 ?3a ? 3 a

一、向量的数乘
? 一般地,我们规定实数λ与向量 a 的积是一个向量, ? 这种运算叫做向量的数乘,记作 ? a ,它的长度和方向
规定如下:

? ? (1) | ? a |?| ? || a |;

? ? (2)当 ? ? 0时, 的方向与 a ?a ? ? 当? ? 0时, ? a 的方向与 a
练一练: 书本P90,练习2,3

的方向相同; 的方向相反。

? ? 特别的,当 ? ? 0 时, ? a ? 0.

(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量),并进行比较。 (2) 已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b, 并进行比较。 ?

a

? 3(2a )

? b ? a
? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b

? ? 3(2a ) = 6 a
? ? a ?b

? ? 2a ? 2b

? 2b

? 2a

二、向量的数乘运算满足如下运算律:

?,?是实数,

(1)( ? ? a ) ? ( ?? )a;

?

?

(2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? ( a ? b ) ? ? a ? ? b .
? ? 特别地:(? ?) a ? ? ?a ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? ?b

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

例1、计算下列各式

? ? (1)(?3) ? 4a ? ?12a ? ? ? ? ? ? (2)3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a ? 5b

? ? ? ? ? ? (3)(2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c )
? ? ? ? ?a ? 5b ? 2c
书本P90,练习5

练一练:

思考:

(1)若b ? ? a(a ? 0),则a, b位置关系如何 ?

? ? b // a
成立

(2)若b // a(a ? 0),则b ? ? a是否成立?

三0),詉{蚕叨ɡ砩: ? ? ? ?),詉a) (a ? 0与b{蚕,? 登医龅庇形ㄒ磺一盖实? ,? ? ?使騜 ? ? 0.
? ?即3a觔{蚕.
? ?
? ? b ? ? a (a ? 0.
? 思考(1)a 为质裁要a是非零向?

? )? b部梢史橇阆蛄吗?

练一练
c
书本P90,练4

2 如图保阎AD=3AB,DE=3BCb,试判断AC与AEa是穥蚕叽。C E.
?AE? ?AD? ?DE 解桑
AC BDa

? ABa ? B
C

?3 ABa ?B
C

C

C

?3 AC
∴ ACa 与AE?{蚕撸


??? ? ? ? ? ?例3.如图保阎群我两桓鱿蛄 a、? b,试作OBA ? a ? ,? ??? ? ? ? ??? ? ? ?OBa ?3a ? 2, OCa ?3a ?53b ,你呐卸螦、B、C三点之
间У奈恢霉叵吗?为质裁?

C

?
a

?5b

? 3b ? 2b ?5b

B

A

? a
O
总结:
证明三点{蚕
的贩:
AB=λB
C且有公共鸬懵:
A,B,C三点{蚕.
? ? ?阎两桓欠橇阆蛄e1和e2担果? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?ABa ?2e1a ? e2担?B
a ?6e1a ?2 e2担?CD? ?4e1a ?8e2担?求证' :A、B、D三点{蚕0.

? ?
? ?
? ? ?
? ?
? ? ?
?设 e ,?e 史墙桓欠橇阆蛄,ABa ?2e?
?ke ,?CBa ?ea ? e ,?1 2?1 2? ?
1 2? ? ?
?CD? ?2e1a ?e2b,若A、B、D三点{蚕遙,莐的值0.

例5.如图保ㄆ叫兴谋咝ABCD的两条,对较呦嘟挥诘鉓b,.
? ?
??? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? b来表示MA ABa ?騛,AD? ? b,,你挠?3a、?、?MB、 MC 和 MD
D M
C

b
A

? a

B

练一练: 书本P2,11题.

,练仙:

C
Da
① ② ④a
小结:


①λ? a 递定壹奥运算 ②),詉{蚕叨ɡ韆 (≠0 )
b=λ
a
),詉aa觔{蚕.
二《ɡ淼挠τ茫 1. 证明3 向羬蚕 2. 证明3三点{蚕 :AB=λB
? 怯泄拆点 3. 证明3两直线ㄆ叫 :AB=λCD?AB∥CDa
A,B,C三点{蚕.
AB与CD不在同一直线上

直线AB∥直线CDa

书本P1,A资椋9,10b

组2,3
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