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2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算


2015 届高考数学一轮总复习 5-1 平面向量的概念与线性运算
基础巩固强化 一、选择题 → → → → → → → → → → → → ) 1.(文)(2014· 南通中学月考)设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则( A.PA+PB=0 C.PB+PC=0 [答案] B → → → → → [解析] 如图,根据向量加法的几何意义,BC+BA=

2BP?P 是 AC 的中点,故PA+PC=0. B.PC+PA=0 D.PA+PB+PC=0

→ 2 A. 3 C.-3 [答案] D → → → → → → [解析] CD=AD-AC,DB=AB-AD.

→ 4 B. 3 D.0





→ )

(理)已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD=2DB,CD=rAB+sAC,则 r+s 的值是(

→ → 1 ∴CD=AB-DB-AC=AB- CD-AC. 2 → → → 3 ∴ CD=AB-AC, 2











1

→ → 2 2 ∴CD= AB- AC. 3 3 2 2 又CD=rAB+sAC,∴r= ,s=- , 3 3 ∴r+s=0. a b 2.(2012· 四川理,7)设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成立的充分条件是( |a| |b| A.a=-b C.a=2b [答案] C [解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念. a b a b 因 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同向的单位向量,要使 = 成立,则必须 a 与 b |a| |b| |a| |b| a b 同向共线,所以由 a=2b 可得出 = . |a| |b| [点评] a=-b 时,a 与 b 方向相反;a∥b 时,a 与 b 方向相同或相反.因此 A、B、D 都不能 a b 推出 = . |a| |b| 3.(2013· 长春调研)已知向量 a=(2,1),b=(x,-2),若 a∥b,则 a+b 等于( A.(-2,-1) C.(3,-1) [答案] A [解析] 由 a∥b 可得 2×(-2)-1×x=0,故 x=-4,所以 a+b=(-2,-1),故选 A. →
2









)

B.a∥b D.a∥b 且|a|=|b|

)

B.(2,1) D.(-3,1)







4. (2013· 辽宁五校联考)设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外, BC =16, |AB+AC|=|AB → A.2 [答案] A → =0, → → → OP=( ) → → PB|=4,如图所示,则 →
2

→ ) B.4 C.6 D.8

-AC|,则|AM|=(








2


2

→ →


2


2

→ →

→ →

[解析] 由|AB+AC|=|AB-AC|两边平方得AB +AC +2AB· AC=AB +AC -2AB· AC,即AB· AC





所以AB⊥AC,∴AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线,又由BC =16 得|BC|=4,所以|AM|=2. 5.设OA=e1,OB=e2,若 e1 与 e2 不共线,且点 P 在线段 AB 上,|AP

2

1 2 A. e1- e2 5 5 2 1 B. e1+ e2 5 5 1 4 C. e1+ e2 5 5 2 1 D. e1- e2 5 5 [答案] C → → → → → → → → → → [解析] AP=4PB,∴AB=AP+PB=5PB, → 1 OP=OB+BP=OB- AB 5 → → → → 1 4 1 1 4 =OB- (OB-OA)= OB+ OA= e1+ e2. 5 5 5 5 5 6. (2013· 湖南衡阳八中月考)向量 a=(1,2), b=(1,1), 且 a 与 a+λb 的夹角为锐角, 则 λ 满足( 5 A.λ<- 3 5 C.λ>- 且 λ≠0 3 [答案] C [解析] 当 λ=0 时,a 与 a+λb 平行,其夹角为 0° ,∴λ≠0,由 a 与 a+λb 的夹角为锐角,可 5 5 得 a· (a+λb)=(1,2)· (1+λ,2+λ)=3λ+5>0,解得 λ>- ,综上可得 λ 的取值范围为 λ>- 且 λ≠0, 3 3 故应选 C. 二、填空题 7.(文)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3),若 a-2b 与 c 共线,则 k=________. [答案] 1 [解析] a-2b=( 3,1)-2(0,-1)=( 3,3) ,因为 a-2b 与 c 平行,所以 3× 3-3k=0, 所以 k=1. → → (理)已知点 A(2,3),C(0,1),且AB=-2BC,则点 B 的坐标为________.
3



)

5 B.λ>- 3 5 D.λ<- 且 λ≠-5 3

[答案] (-2,-1) →
?x-2=2x, ? 所以? 解得 x=-2,y=-1. ?y-3=-2?1-y?, ?







[解析] 设点 B 的坐标为(x,y),则有AB=(x-2,y-3),BC=(-x,1-y),因为AB=-2BC,

→ → 8.(2013· 新课标Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE· BD=________. [答案] 2 → → [解析] ∵正方形 ABCD 中,AB⊥AD,∴AB· AD=0, → → → → → 1 ∵E 为 CD 的中点,∴AE= AB+AD,BD=AD-AB, 2 → → → → 1 ∴AE· BD=( AB+AD)· (AD-AB) 2 → → 1 1 2 =- |AB| +|AD|2=- ×22+22=2. 2 2 → → x1+x2 的值为________. [答案] 13 6 → → → → → → → → → → → → → → 9.(文)在△ABC 中,AB=2AC=2,AB· AC=-1,若AO=x1AB+x2AC(O 是△ABC 的外心),则 → → →

[解析] O 为△ABC 的外心,AO=x1AB+x2AC,AO· AB=x1AB· AB+x2AC· AB,由向量数量积的 → 1 几何意义,AO· AB= |AB|2=2,∴4x1-x2=2,① 2 1 又AO· AC=x1AB· AC+x2AC· AC,∴-x1+x2= ,② 2 5 4 13 联立①②,解得 x1= ,x2= ,∴x1+x2= . 6 3 6 (理)(2013· 保定调研)已知两点 A(1,0), B(1,1), O 为坐标原点, 点 C 在第二象限, 且∠AOC=135° , → → 1 2 → 设OC=-OA+λOB(λ∈R),则 λ 的值为________. [答案] → → → → → →

[解析] 由∠AOC=135° 知,点 C 在射线 y=-x(x<0)上,设点 C 的坐标为(a,-a),a<0,则有 1 (a,-a)=(-1+λ,λ),得 a=-1+λ,-a=λ,消掉 a 得 λ= . 2 → → 10. (2013· 广东中山一模)在平行四边形 ABCD 中, E, F 分别是 CD 和 BC 的中点, 若AC=λAE+
4

→ μAF,其中 λ,μ∈R,则 λ+μ=________. [答案] [解析] 4 3

→ → → → → → →



如图,设AB=a,AD=b, 则AC=AB+AD=a+b, 1 AF=AB+BF=a+ b, 2 1 AE=AD+DE= a+b, 2 → 3 3 ∴AE+AF= (a+b)= AC, 2 2 → → 2 2 即AC= AE+ AF. 3 3 2 4 ∴λ=μ= ,λ+μ= . 3 3 能力拓展提升 一、选择题 → 1 11.(2013· 哈尔滨四校统考)在△ABC 中,N 是 AC 边一点,且AN= NC,P 是 BN 上的一点,若 2 → 2 AP=mAB+ AC,则实数 m 的值为( 9 1 A. 9 [答案] B [解析] 1 B. 3 C.1 → → ) D.3 → → → → → → →

5

→ → → → → → → → 1 1 2 2 如图,因为AN= NC,所以AN= AC,AP=mAB+ AC=mAB+ AN,因为 B、P、N 三点共线, 2 3 9 3 2 所以 m+ =1, 3 1 所以 m= ,选 B. 3 → → → → → → 12.(文)(2013· 山西大学附中)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形,设点 P,Q 满足AP=λAB, 3 AQ=(1-λ)AC,λ∈R,若BQ· CP=- ,则 λ=( 2 1± 10 A. 2 1± 2 C. 2 [答案] D → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → [解析] BQ· CP=(BA+AQ)(CA+AP)=BA· CA+BA· AP+AQ· CA+AQ· AP → → =BA· CA-λBA· BA-(1-λ)CA· CA+λ(1-λ)BA· CA =2(-λ2+λ+1)-4λ-4(1-λ) 3 1 =-2λ2+2λ-2=- ,∴λ= . 2 2 2 (理)(2012· 宁夏银川一中二模)已知向量AB=(2,x-1),CD=(1,-y)(xy>0),且AB∥CD,则 + x 1 的最小值等于( y A.2 [答案] C 2 1 2 1 [解析] 因为AB∥CD,所以 2(-y)-(x-1)=0,即 x+2y=1,所以( + )=( + )(x+2y)=4+ x y x y 4y x + ≥4+2 x y 4y x 1 1 ·=8(当且仅当 x= ,y= 时等号成立).故选 C. x y 2 4 → → ) B.4 C.8 D.16 → → → → ) 3 B. 4 1 D. 2



6

→ → 1 13.(文)在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λCB,则 λ=( 3 2 A. 3 1 C.- 3 [答案] A 1 B. 3 2 D.- 3







)

→ → → → → → → 2 2 1 2 [解析] 由于AD=2DB, 得CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ (CB-CA)= CA+ CB, 结合CD= 3 3 3 3 → → 1 2 CA+λCB,知 λ= . 3 3 (理)(2013· 保定模拟)如图所示,已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两边分别交 x· y 于 M,N 两点,且AM=xAB,AN=yAC,则 的值为( x+y → → → → )













A.3

1 B. 3

C.2

1 D. 2 → → → → → → → →

[分析] 由 M、N、G 三点共线知,存在实数 λ、μ 使AG=λAM+μAN,结合条件AM=xAB,AN → y 的关系式. [答案] B → → → → → → → → → [解析] 法 1:由点 G 是△ABC 的重心,知GA+GB+GC=0,得-AG+(AB-AG)+(AC-AG) → → → 1 =0,则AG= (AB+AC).又 M、N、G 三点共线(A 不在直线 MN 上),于是存在 λ,μ∈R,使得AG= 3 → → 1 λAM+μAN(且 λ+μ=1),则AG=λxAB+μyAC= (AB+AC), 3 λ+μ=1, ? ? 所以? 1 ? ?λx=μy=3, → → → → → → → → → =yAC,可将AG用AB,AC表示,又 G 为△ABC 的重心,AG用AB,AC表示的表示式唯一,可求得 x,

7

1 1 x· y 1 1 于是得 + =3,所以 = = . x y x+y 1 1 3 + x y x· y 1 法 2:特殊化法,利用等边三角形,过重心作平行于底边 BC 的直线,易得 = . x+y 3 二、填空题 → → → → → → → 14.(2012· 吉林省延吉市质检)已知:|OA|=1,|OB|= 3,OA· OB=0,点 C 在∠AOB 内,且∠ m + AOC=30° ,设OC=mOA+nOB(m,n∈R ),则 =________. n [答案] 3 → → → → → → → [解析] 如图,设 mOA=OF,nOB=OE,则OC=OF+OE,

→ → → → → 两式相除得:





∵∠AOC=30° ,∴|OC|· cos30° =|OF|=m|OA|=m, |OC|· sin30° =|OE|=n|OB|= 3n, m |OC|cos30° 1 m = = = 3,∴ =3. → tan30° n 3n |OC|sin30° → 与△ABC 的面积之比是________. [答案] 2 3 → → → → → → → → → → → → → →

15.(2013· 浙江余姚中学)在△ABC 所在的平面内有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PBC

[解析] PA+PB+PC=AB ?PA+PC+PB-AB=0?PA+PC+PA=0

8





?2PA=CP, 2 所以 P 是 AC 的三等分点,所以△PBC 与△ABC 的面积之比是 . 3 三、解答题 16.(文)已知 a=(2x-y+1,x+y-2),b=(2,-2), (1)当 x、y 为何值时,a 与 b 共线? (2)是否存在实数 x、y,使得 a⊥b,且|a|=|b|?若存在,求出 xy 的值;若不存在,说明理由. [解析] (1)∵a 与 b 共线, ∴存在非零实数 λ 使得 a=λb,

? ?2x-y+1=2λ, ?x= , ? ∴? ?? 3 ? ?x+y-2=-2λ, ? ?y∈R.
(2)由 a⊥b?(2x-y+1)×2+(x+y-2)×(-2)=0?x-2y+3=0.① 由|a|=|b|?(2x-y+1)2+(x+y-2)2=8.②
? ?x=-1, 由①②解得? 或 ?y=1, ?

1

?x=3, ? 7 ?y=3.
→ → →

5

35 ∴xy=-1 或 xy= . 9 (理)已知点 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5),向量OP=OA+tAB. (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上? (2)t 为何值时,点 P 在第二象限? (3)四边形 ABPO 能否为平行四边形?若能,求出 t 的值;若不能,说明理由. (4)求点 P 的轨迹方程. → → → [解析] ∵OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3) =(1+3t,2+3t),∴P(1+3t,2+3t). 2 (1)∵P 在 x 轴上,∴2+3t=0 即 t=- . 3
? ?1+3t<0, 2 1 (2)由题意得? ∴- <t<- . 3 3 ?2+3t>0. ?



→ → →

(3)∵AB=(3,3),OP=(1+3t,2+3t). 若四边形 ABPO 为平行四边形,则AB=OP,

9

?1+3t=3, ? ∴? 而上述方程组无解, ?2+3t=3. ?

∴四边形 ABPO 不可能为平行四边形. → (4)∵OP=(1+3t,2+3t),
?x=1+3t, ? 设OP=(x,y),则? ? ?y=2+3t.



∴x-y+1=0 为所求点 P 的轨迹方程.

考纲要求 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 补充说明 1.向量共线的应用中注意事项 (1)向量共线的充要条件中,只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和 方程思想的运用. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当 两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线. (3)若 a 与 b 不共线且 λa=μb,则 λ=μ=0. → → → (4)设OA=λOB+μOC(λ,μ 为实数),若 A,B,C 三点共线,则 λ+μ=1. 2.“数形结合”思想 数形结合是求解向量问题的基本方法.向量加法、减法的几何意义,充分体现了数形结合思想. 3.方程思想在向量中的应用 在向量的平行与垂直、 向量的共线、 向量的长度与夹角等问题中, 常常要依据条件列方程求解. 利 用共线条件和平面向量基本定理,是应用的难点. 备选习题 → 四边形 ABCD 为( A.菱形
10







1.设平面内有四边形 ABCD 和点 O,若OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且 a+c=b+d,则 ) B.梯形

C.矩形 [答案] D →

D.平行四边形









[解析] 解法一:设 AC 的中点为 G,则OB+OD=b+d=a+c=OA+OC=2OG,∴G 为 BD 的 中点,∴四边形 ABCD 的两对角线互相平分,∴四边形 ABCD 为平行四边形. → → → → → → → 解法二:AB=OB-OA=b-a, CD=OD-OC=d-c=-(b-a)=-AB, ∴AB 綊 CD,∴四边形 ABCD 为平行四边形. → 边形 ABCD 为( A.梯形 C.菱形 [答案] A → → → → → → [解析] 由已知得AD=AB+BC+CD=-8a-2b,故AD=2BC,由共线向量知识知 AD∥BC, 且|AD|=2|BC|,故四边形 ABCD 为梯形,所以选 A. 3.已知向量 a、b 不共线,若向量 a+λb 与 b+λa 的方向相反,则 λ=________. [答案] -1 [解析] 由条件知存在负数 μ,a+λb=μ(b+λa), ∴(1-λμ)a+(λ-μ)b=0,
2 ? ? ?1-λμ=0, ?λ =1, ∵a 与 b 不共线,∴? ∴? ?λ-μ=0. ? ? ?λ=μ.





2.在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,其中 a、b 不共线,则四 ) B.平行四边形 D.矩形

∵μ<0,∴λ=-1.

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