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基本不等式的运用


a?b 基本不等式 2 ? ab 的应用

——求函数最值

(重要不等式)
如果

a, b ? R

那么

a ? b ? 2ab
2 2

(当且仅当 a

? b 时,等号成立)

(基本不

等式)
如果

a, b ? 0

那么

a?b ? ab 2

(当且仅当

a ? b 时,等号成立)

复习回顾
1. 若正数m ,n满足m ? n ? 6,则mn有最 大 值9 , 此时m ? 3 ,n ? 3 . 2. 若正数m ,n满足mn ? 6,则m ? n有最 小 值 2 6 , 此时m ? 6 ,n ? 6 .

积一定,和有最小值; 和一定,积有最大值。

注意:一正二定三相等!

应用

发现运算结构,应用不等式

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2

1 例1、若 x ? 0 ,求 y ? x ? 的最小值. x
2

a ? b ? 2 ab (a ? 0, b ? 0)

变1:若 x ? 0, 求 y ? 3x ? x 的最小值

b a 变2:若a ? 0, b ? 0,求 y ? ? 的最小值. a b
问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗?

1 变3:若 x ? 3 ,求 y ? x ? 的最小值. x?3

构造条件

三、应用

发现运算结构,应用不等式
2

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2

? a?b ? ab ? ? ?(a ? 0, b ? 0) ? 2 ?

例2、已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? x(1 ? x )的最大值.

1 变式:已知 0 ? x ? ,求函数 y ? x (1 ? 2 x ) 的最大值. 2

结论1:两个正数积为定值,则和有最小值 结论2:两个正数和为定值,则积有最大值
应用要点: 一正数 二定值 三相等

1、应用均值不等式须注意以下三点:
(1)各项或各因式为正 (2)和或积为定值 (3)各项或各因式能取得相等的值,必要时作适当变形, 以满足上述前提,即“一正二定三相等” 2、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转化为“和式”的放缩功能; 创设应用均值不等式的条件,合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧,而拆与凑的成因在于使等号能够成立; 3、均值不等式在实际生活中应用时,也应注意取值范围和能取到 等号的前提条件。

课后练习
1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值, 并说明此时x,y的值.
2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值.
3.求函数 f ( x) ?
及此时 x 的值

x ?5
2

x ?4
2

( x ? R) 的最小值,

1 解1 : ? x ? 0,? ? 0 x 1 1 ?y ? x? ? 2 x? ? 2 x x 1 当x ? , 即x ? 1时, ymin ? 2 x

2 ?0 x 2 2 ? y ? 3x ? ? 2 3x ? ? 2 6 x x 解2 : ? x ? 0,? 3 x ? 0, 2 6 当3x ? , 即x ? 时, ymin ? 2 6 x 3

1 解3 : ? x ? 3,? x ? 3 ? 0, ?0 x ?3 1 1 1 ?y ? x? ? x ?3? ? 3 ? 2 ( x ? 3) ? ?3? 2?3? 5 x ?3 x ?3 x ?3 1 当x ? 3 ? , 即x ? 4时, ymin ? 5 x ?3


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