当前位置:首页 >> 数学 >> 2013年广州一模理数答案

2013年广州一模理数答案


2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满 分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. ? , ?? ? 10. sin 1 11. 12.38

?1 ?2

? ?

12.

1 7 2 或 13.8, n ? n ? 2 2 2

14. ?1,

? 11? 6 ?

? ? 15. 4 ? ? 11? ? ? 2k ? ? (k ? Z ). 6 ? ?

说明:①第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是: ?1,

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公 式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x ) 的最大值为2,且 A ? 0 , 1分 ∵ f ( x ) 的最小正周期为 8 , 分 ∴ f ( x) ? 2sin( ∴T ? ∴A?2. ?????

2?

?

?8, ? ? 得

?
4

.

?????2

?

x? ) . 4 4

?

?????

3分 (2)解法 1:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 ,?????4 分 4 ?2 4?

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 ,?????5 分 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? 6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 . 8分 ∴ cos ?POQ ? 10 分 ∴ sin ?POQ ? 11 分 ∴ △ P O Q 面 积 为 S ? 的 ?????

OP ? OQ ? PQ
2 2

2

2 OP OQ

?

? ? ?
2

6

? 3 2

? ?
2

? 2 3

?

2

2 6 ?3 2

?

3 . ??? 3

1 ? cos2 ?POQ ?

6 . 3

?????

1 1 OP OQ sin ?POQ ? ? 2 2

6?3 2?

6 3

? 3 2.
????? 12 分 解法 2:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 ,?????4 分 4 ?2 4?

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 ,?????5 分 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) . 8分

??? ?

??? ?

?????

??? ???? ? ??? ???? ? OP ? OQ 6 3 ? ∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ?? ??? ???? ? . ? 3 6 ?3 2 OP OQ

?????

10 分 ∴ sin ?POQ ?

1 ? cos2 ?POQ ?

6 . 3

?????

11 分 ∴ △ P O Q 面 积 为 S ? 的

1 1 OP OQ sin ?POQ ? ? 2 2

6?3 2?

6 3

? 3 2.
????? 12 分 解法 3:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 ,?????4 分 4 ?2 4?

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 ,?????5 分 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴直线 OP 的方程为 y ? 分 ∴点 Q 到直线 OP 的距离为 d ? 9分 ∵ OP ? 分 ∴△ POQ 的面积为 S ?

2 x ,即 x ? 2

2 y ? 0.

?????7

4?2 3

? 2 3.

?????

6,

?????11

1 1 OP ? d ? ? 2 2

6 ? 2 3 ? 3 2.

?????

12 分 17. (本小题满分12分) (本小题主要考查相互独立事件的概率、 离散型随机变量的均值等基础知识, 考查数据处理、 推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) 解:设“甲做对”为事件 A , “乙做对”为事件 B , “丙做对”为事件 C ,由题意知,

P ? A? ?

1 , P ? B ? ? m, P ? C ? ? n . 2

?????1 分

(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ? ? 0 ”是对立的, 所以至少有一位学生做对该题的概率是 1 ? P ? ? 0 ? 1 ? 3分

?

?

1 3 ? . 4 4

????

(2)由题意知 P

??

? 0 ? ? P ABC ?

?

?

1 ?1 ? m ? ?1 ? n ? ? 1 , 2 4 1 1 mn ? , 2 24

?????4 分

P ?? ? 3? ? P ? ABC ? ?
分 整 理 得

?????5

mn ?

1 7 1 , m ? n ? . 由 m ? n , 解 得 m ? , 3 12 12

n ?

1 . 4

?????7 分

(3)由题意知 a ? P

??

? 1? ? P ABC ? P ABC ? P ABC

?

?

?

?

?

?

?

1 ?1 ? m ? ?1 ? n ? ? 1 m ?1 ? n ? ? 1 ?1 ? m ? n ? 11 , ???9 分 2 2 2 24
1 , 4
?????10 分

b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) =

∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2 P(? ? 2) ? 3P(? ? 3) =

13 . 12

???? 12分 18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间 想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一: (1)证明:延长 A D 交 AC 的延长线于点 F ,连接 BF . 1 ∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ?

1 AA1 , 2
?????2 分 ?????3 分

A1 B1

C1

∴ C 为 AF 的中点. ∵ E 为 AB 的中点, ∴ CE ∥ BF .

D

H A E B C F

∵ BF ? 平面 A BD , CE ? 平面 A BD , 1 1 ∴ CE ∥平面 A BD . 1 分

?????4

(2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ? ?????5 分

3 AB ? 2

3.

∵ AB ? 平面 A AB , AA1 ? 平面 A AB , AB ? AA ? A , 1 1 1 ∴ CE ? 平面 A AB . 1 ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A AB 所成的角. 1 7分 ∵ CE ? ?????6 分 ?????

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 , ? EH EH
?????8

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. 分 ∴当 EH ? A1B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 15 . ? ? 2 EH EH
?????

∴ EH ? 9分

2 5 . 5

∵ CE ∥ BF , CE ? 平面 A AB , 1 ∴ BF ? 平面 A AB . 1 10 分 ∵ AB ? 平面 A AB , A1B ? 平面 A AB , 1 1 ∴ BF ? AB ,BF ? A B . 1 分 ∴ ?ABA1 为平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角). 1 分 在 Rt△ EHB 中, BH ? ?????12 ?????11 ?????

EB2 ? EH 2 ?

BH 5 ? , cos ?ABA1 ? EB 5

5 .?13 5

分 ∴平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 1 分 解法二: (1)证明:取 A B 的中点 F ,连接 DF 、 EF . 1 ∵ E 为 AB 的中点, ∴ EF ∥ AA1 ,且 EF ?

5 . 5

?????14

z A1 C1 B1 D

1 AA1 . 2 1 AA1 , 2

?????1 分

∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ?

F
?????2 分 ?????3 分

∴ EF ∥ CD , EF ? CD . ∴四边形 EFDC 是平行四边形. ∴ CE ∥ DF .

H A E x B C y

∵ DF ? 平面 A BD , CE ? 平面 A BD , 1 1 ∴ CE ∥平面 A BD . 1

(苏元高考吧:www.gaokao8.net)?????4 分

(2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ? ?????5 分

3 AB ? 2

3.

∵ AB ? 平面 A AB , AA1 ? 平面 A AB , AB ? AA ? A , 1 1 1 ∴ CE ? 平面 A AB . 1 ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A AB 所成的角. 1 7分 ∵ CE ? ?????6 分 ?????

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 ? , EH EH
?????8

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. 分

∴当 EH ? A1B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 15 . ? ? 2 EH EH
?????

∴ EH ? 9分

2 5 . 5

在 Rt△ EHB 中, BH ?

EB 2 ? EH 2 ?

5 . 5

∵Rt△ EHB ~Rt△ A AB , 1

2 5 EH BH ? ∴ ,即 5 ? AA1 AB AA1
∴ AA ? 4 . 1 10 分

5 5 . 2
?????

以 A 为原点,与 AC 垂直的直线为 x 轴, AC 所在的直线为 y 轴, AA1 所在的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 A (0, 0, 0), A (0, 0, 4) , B 1 ∴ AA1 ? (0, 0, 4) , A1 B ? 设平面 A1BD 的法向量为 n = 由 n ?A B 1 得? í

(

3, 1, 0 , D (0, 2, 2) .

)

????

????

(

???? ? 3, 1, - 4 , A1D ? (0, 2, - 2) .

)

? x, y , z ? ,
0,

????

???? ? 0 , n ?A1D

ì 3x + y - 4 z = 0 ? (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ? 2 y - 2 z = 0. ? ?

令 y = 1,则 z = 1, x =

3.

∴平面 A1BD 的一个法向量为 n = 分

(

3, 1, 1 .

)

?????12

∵ AA1 ? 平面 ABC , ∴ AA1 = (0, 0, 4) 是平面 ABC 的一个法向量.

????

???? ? ???? ? n ? AA1 5 ∴ cos n, AA1 ? . ???? ? ? 5 n AA1
13 分 ∴平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 1

?????

5 . 5

?????14

分 19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归 与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n , ∴ 当 n ? 1 时,有 a1 ? (1 ?1)S1 ? 2, 解得 a1 ? 2 . 分 由 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n , 得 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? 2(n ? 1) , 2分 ② ③ ① 得 : ① ② ????? ?????1

(n ? 1)an?1 ? nSn?1 ? (n ?1)Sn ? 2

.

?????3 分 以下提供两种方法: 法 1:由③式得: (n ? 1)(Sn?1 ? Sn ) ? nSn?1 ? (n ?1)Sn ? 2 , 即 Sn?1 ? 2Sn ? 2 ; ?????

4分

? Sn?1 ? 2 ? 2(Sn ? 2) ,
5分 ∵ S1 ? 2 ? a1 ? 2 ? 4 ? 0 , ∴数列 {Sn ? 2} 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ Sn ? 2 ? 4 ? 2n ?1 ,即 Sn ? 4 ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2 . 6分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n?1 ? 2) ? (2n ? 2) ? 2n , 分

?????

?????

?????7

又 a1 ? 2 也满足上式, ∴ an ? 2n . 分 法 2:由③式得: (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? (n ? 1)Sn ? 2 ? n ? Sn ?1 ? Sn ? ? Sn ? 2 , 得 an ?1 ? Sn ? 2 . 4分 当 n ? 2 时, an ? Sn ?1 ? 2 , 5分 ⑤-④得: n ?1 ? 2an . a 分 由 a1 ? 2a2 ? S2 ? 4 ,得 a2 ? 4 , ∴ a2 ? 2a1 . 7分 ∴数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项, 为公比的等比数列. 2 分 (2)解:∵ p, q, r 成等差数列, ∴ p ? r ? 2q . 9分 假设 a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 成等比数列, 则 ap ? 1 分 即 2p ? 1 ????? ∴ an ? 2n . ?????8 ????? ?????6 ⑤ ????? ④ ????? ?????8

?

? ?a

r

? 1? ? aq ? 1 ,
2

?

?

?????10

?

? ?2

r

? 1 ? 2q ? 1 ,
(*) ?????11 分

? ?

?

2

p r q 化简得: 2 ? 2 ? 2 ? 2 .

∵ p ? r, ∴ 2 p ? 2r ? 2 2 p ? 2r ? 2 ? 2q ,这与(*)式矛盾,故假设不成立.?? 13 分 ∴ a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 不是等比数列. 14 分 ?????

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化 归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法 1:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2
?a 2 ? 16, ? ?????2 分 ? 2 ?b ? 12. ?

? 22 32 ? ? ? 1, 依题意: ? a 2 b2 解得: ?a 2 ? b2 ? 4. ?
∴椭圆 C1 的方程为 分 解法 2:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

?????3

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

根据椭圆的定义得 2a ? AF ? AF2 ? 8 ,即 a ? 4 ,?????1 分 1 ∵ c ? 2 , ∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 12 . 分 ∴椭圆 C1 的方程为 分 (2)解法 1:设点 B ( x1 , ?????2

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

?????3

1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x12 )) , 4 4 4 1 BA ? (2 ? x1 ,3 ? x12 ) , 4

∵ A, B, C 三点共线, (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ∴ BC // BA . 4分 ∴ x2 ? x1 ? 3 ?

??? ?

??? ?

?????

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x2 ? x12 4 ? 4

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得: 2 x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 . ①?????5 分 ( 由 x2 ? 4 y ,即 y ? 6分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

?????

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

x 1 2 x1 1 x1 ? ( x ? x1 ) , y ? 1 x ? x12 . ② 即 4 2 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
③?????8 分

同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

设点 P( x, y) ,由②③得: 而 x1 ? x 2 ,则 x ? 分 代入②得 y ?

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x2 , 2 4 2 4
?????9

1 ( x1 ? x 2 ) . 2

1 x1 x 2 ,?????10 分 4

则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代入①得 4 x ? 4 y ? 12 ,即点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . ????? 11 分 若 PF ? PF2 ? AF ? AF2 1 1 12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. 13 分 ∴满足条件 PF ? PF2 ? AF ? AF2 的点 P 有两个. 1 1 分 解法 2:设点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ? 分 ∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ? ?????14 ????? ,则点 P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, ?????

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

?????4

x1 ( x ? x1 ) , 2
?????

即y? 5分

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

∵ y1 ?

x 1 2 x1 ,∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2

①?????6 分

同理, y 0 ? 分

x2 x0 ? y 2 . ② 2

?????7

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? 分 ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ?

x x 0 ? y . ?????8 2

x x 0 ? y ,?????9 分 2
∴ y0 ? x0 ? 3 . ?????10

∵点 A(2,3) 在直线 L 上, 分

∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . 11 分

?????

若 PF ? PF2 ? AF ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,??12 1 1 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. 13 分 ∴满足条件 PF ? PF2 ? AF ? AF2 的点 P 有两个. 1 1 分 解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 , ?????14 ?????

?

?

由? 分

? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y, ?
2

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 .
2

?????4

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? 8k ? 12 . 5分

?

?

?

?

?????

由 x2 ? 4 y ,即 y ? 6分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

?????

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ? 分 ∵ y1 ?

x1 x 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? y1 ? x12 .?7 2 2 2

x 1 1 2 x1 ,∴ y ? 1 x ? x12 . 4 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
?????

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ? 8分

? x1 x? ?y ? ? 2 由? ? y ? x2 x ? ? ? 2

? x1 ? x2 1 2 x1 , ? 2k , ?x ? ? 4 2 解得 ? 1 2 ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. x2 , ? ? 4 4

∴ P 2k , 2k ? 3 . 10 分 ∵ PF ? PF2 ? AF ? AF2 , 1 1 ∴点 P 在椭圆 C1 : 11 分

?

?

?????

x2 y2 ? ? 1 上. 16 12

?????

? 2k ? ∴
16

2

? 2k ? 3? ?
12
2

2

? 1.
?????12

化简得 7k ? 12k ? 3 ? 0 .(*) 分
2 由 Δ ? 12 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 ,

? ?

?????

13 分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ????? 14 分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基 础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识)

(1)解:∵关于 x 的不等式 f

? x? ?

? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m 2 的解集为 ? m,m ? 1? ,

2 2 即不等式 x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? 0 的解集为 m,m ? 1 ,

?

?

?

2 2 ∴ x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? x ? m

? ?

? ?

?

? ? x ? m ? 1? . ? ? ?

2 2 2 ∴ x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? x ? 2m ? 1 x ? m m ? 1 .

?

∴ a ? 1 ? 2m ? ? 2m ? 1 . ∴ a ? ?2 . 2分 ?????

?

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? ? x ? 1? ? (2)解法 1:由(1)得 g ? x ? ? . x ?1 x ?1 x ?1
∴? x

f ? x?

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

m ? k ln ? x ? 1? 的 定 义 域 为 x ?1

?1,?? ? .
∴ ? ?( x) ? 1 ? 3分
2 方程 x ? 2 ? k x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式

m

? x ? 1?
?

2

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k . ? ? 2 x ?1 ? x ? 1?

?????

?

Δ ? ? 2 ? k ? ? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m .
2

?????

4分 ①当 m ? 0 时, Δ ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?

2?k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,?????5 分

则 x ? 1, x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 . 6分 ②当 m ? 0 时,由 Δ ? 0 ,得 k ? ?2 ?m 或 k ? 2 ?m ,

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?????



k ? ?2 ?m





x1 ?

2?k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

故 x ? 1,?? 时, ? ?( x) ? 0 , (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ∴函数 ? x 在 1,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 没有极值点. 7分 若

?

?

? ? ? ? ?

?

?????

k ? 2 ?m





x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

则 x ? 1, x1 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? x1 , x2 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? x2 , ?? 时 ,

?

?

?

?

?

?

? ?( x ) ? 0.
∴函数 ? x 在 1, x1 上单调递增,在 x1 , x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . 8分 综上所述,当 m ? 0 时, k 取任意实数, 函数 ? x 有极小值点 x2 ; 当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .???9 分 (其中 x1 ?

? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?????

? ?

? ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

)

解法 2:由(1)得 g x

? ?

?

f ? x? x ?1

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? x ? 1? ? . x ?1 x ?1

∴? x

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

m ? k ln ? x ? 1? 的 定 义 域 为 x ?1

?1,?? ? .

∴ ? ?( x) ? 1 ? 3分 若函数 ? x 且

m

? x ? 1?

2

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k . ? ? 2 x ?1 ? x ? 1?

?????

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? 存在极值点等价于函数 ? ?( x) 有两个不等的零点,

至少有一个零点在 1,?? 上. 4分 令 ? ?( x ) ?

?

?

?????

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1

? x ? 1?
?

2

? 0,

2 得 x ? 2 ? k x ? k ? m ? 1 ? 0 , (*)

?

则Δ ? 2 ? k 5分

?

?

2

? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m ? 0 ,(**)

?????

方程(*)的两个实根为 x1 ? 设h x

2? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

.

? ?

? x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ,

①若 x1 ? 1, x2 ? 1,则 h 1 ? ? m ? 0 ,得 m ? 0 ,此时, k 取任意实数, (**)成立. 则 x ? 1, x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 . 6分

??

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?????

? h ?1? ? ? m ? 0, ?m ? 0, ? ②若 x1 ? 1,x2 ? 1 ,则 ? 2 ? k 得? ? 1. ? k ? 0. ? ? 2
又由(**)解得 k ? 2 ?m 或 k ? ?2 ?m , 故 k ? 2 ?m . 分 则 x ? 1, x1 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? x1 , x2 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? x2 , ?? 时 , ?????7

?

?

?

?

?

?

? ?( x ) ? 0.

∴函数 ? x 在 1, x1 上单调递增,在 x1 , x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . 8分 综上所述,当 m ? 0 时, k 取任何实数, 函数 ? x 有极小值点 x2 ; 当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .???9 分 (其中 x1 ?

? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?????

? ?

? ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

)

(2)证法 1:∵ m ? 1 , ∴ g x

? ? ? ? x ? 1? ?
n

1 . x ?1
n

? ? n 1? 1 ? ∴ ? g ? x ? 1? ? ? g x ? 1 ? ? x ? ? ? ? x ? n ? ? ? x? x ? ? ?
n

?

?

1 ? xn ? Cn xn ?1 ?

? 1 1 1 1? 2 n n 1 ? Cn xn ? 2 ? 2 ? ? ? Cn ?1 x ? n ?1 ? Cn n ? ? xn ? n ? x x x x x ? ?
?????10 分

1 2 n ? Cn xn ? 2 ? Cn xn ? 4 ? ? ? Cn ?1x2 ? n .

令 T ? Cn x

1 n?2

2 n ? Cn xn ? 4 ? ? ? Cn ?1x2 ? n , n 1 ? Cn ? 2 x4 ? n ? ? ? Cn xn ? 2

则 T ? Cn x

n ?1 2 ? n

1 2 n ? Cn x2 ? n ? Cn x4 ? n ? ? ? Cn ?1xn ? 2 .

∵x ? 0, ∴ 2T ? Cn x
1

?

n?2

2 n ? x 2 ? n ? Cn x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cn ?1 x 2 ? n ? x n ? 2

?

?

?

?

?

??

11 分
1 ? Cn ? 2 x n ? 2 ? x 2 ? n ? Cn2 ? 2 x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cnn ?1 ? 2 x 2 ? n ? x n ? 2 ?12 分

1 2 n ? 2 Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1

?

? ?
?????13 分 ?????14

0 1 2 n n 0 n ? 2 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn

?

? 2 2n ? 2 .
n n n ∴ T ? 2 ? 2 ,即 ? g x ? 1 ? ? g x ? 1 ? 2 ? 2 . ? ?

?

?

?

?

n

?

?



? ? n 1? 1 ? 证法 2:下面用数学归纳法证明不等式 ? x ? ? ? ? x ? n ? ? 2n ? 2 . x? x ? ? ?
① 当 n ? 1 时,左边 ? ? x ?

n

? ?

1? ? 1? 1 ? ? ? x ? ? ? 0 ,右边 ? 2 ? 2 ? 0 ,不等式成 x? ? x?
?????

立; 10 分

? ? k 1? 1 ? * ② 假设当 n ? k (k ? N )时, 不等式成立, ? x ? ? ? ? x ? k ? ? 2k ? 2 , 即 x? x ? ? ? ? 1? 则 ?x ? ? x? ?
k ?1

k

? 1 ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?

k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ?? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k ? ? ? ? x ? ? ? x k ? k ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?? x? x? ? x ?? ? x ? ? x ? ? ? ? ? k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k x ? ?? x? x ? ? ?

? ? ? k ?1 1 ? ? ? ? ? x ? k ?1 ? x ? ?? ? ?

?????11



? 2 x?
12 分

1 1 ? 2k ? 2 ? 2 xk ?1 ? k ?1 x x

?

?

?????

? 2k ? 1 ? 2 .
分 也就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②可得, ? 对 分

?????13

n ?N * ,? g ? x ? 1?? ? g xn ? 1 ? 2n ? 2 都成立. ???14 ? ?
n

?

?


更多相关文档:

2013年广州市一模(理数word版含答案)

2013年广州市一模(理数word版含答案)_数学_高中教育_教育专区。2013广州一模,数学理科,已经整理好的,含答案2013 年广州市一模数学理科试卷本试卷共 4 页,21 小...

2013年广州市一模理科数学试题及答案(纯word版)

2013 广东 各地 一模 理数... 97页 免费 2013年广州一模英语试题及... 20...2013年广州市一模理科数学试题及答案2013年广州市一模理科数学试题及答案隐藏>> ...

2013广州一模理数试题及答案

2013广州一模理数试题及答案_数学_高中教育_教育专区。www. zgjhjy.com 广州市 2013 届普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)本试卷共 4 页,21 小题,满分 ...

2013广州一模理数试题及答案

2013广州一模理数试题及答案 试卷类型:A 2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科) 2013.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 12...

2013年广州一模理科数学试题及答案

2010广州市一模数学试题 理... 12页 免费 2012广州...2013 年广州一模理科数学试题及答案 考生须知 1.本...请将 2 500 用科学记数法表示为 A. B. C. D...

2013广州一模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】

2013年茂名二模 理综-印... 16页 1下载券2​0​1​3​广​州​一​模​(​理​数​)​【​含​答​案​-​-​全​W...

2013年广州一模数学(理)试卷及答案—word版

2012广州一模试题及答案(数... 19页 10财富值喜欢此文档的还喜欢 ...2013年广州一模数学(理)试卷及答案—word版 隐藏>> 学大教育高考—华南第一品牌...

2013广州一模数学(理)试题+答题卡+答案解析

2013广州一模数学(理)试题+答题卡+答案解析_数学_高中教育_教育专区。广州一模,...(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与...

2013年广州市一模数学理科试卷含答案(word版)

2013 广东 各地 一模 理数... 97页 免费 2012年广东省广州二模试题... 16...三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明 过程和...

2013广州一模理科数学试题

2013广州一模理科数学试题_数学_高中教育_教育专区。 今日推荐 157份文档 2015国家公务员考试备战攻略 2015国考行测模拟试题及历年真题 2015国考申论押密试卷及答案 ...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com