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【数学】2011版《3年高考2年模拟》: 第16章 系列


第十六章
第一部分

系列

三年高考荟萃

2010 年高考题
一、选择题

? x ? ?1 ? t 1.(2010 湖南文)4. 极坐标 p ? cos ? 和参数方程 ? (t 为参数)所表示的图形分别 ? y ?2?t
是 A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线 【答案】 D

2.(2010 重庆理) (3) lim ? A. —1 B. —

1 ? ? 4 ? ?= 2 x ?2 x ? 4 x?2? ?
1 4
C.

1 4

D. 1

【答案】 B 解析: lim ?

2? x ?1 1 1 ? ? 4 ? lim ?? ? ? = lim ( 2 2 x ?2 x ? 4 4 x ? 2 ? x?2 ( x ? 4)(x ? 2) ? x ?2 x ? 2

3.(2010 北京理) (5)极坐标方程(p-1) ? ? ? )=(p ? 0)表示的图形是 ( (A)两个圆 (C)一个圆和一条射线 【答案】C 4.(2010 湖南理)5、 A、 ?2 ln 2 (B)两条直线 (D)一条直线和一条射线

?

4

2

1 dx 等于 x
C、 ? ln 2 D、 ln 2

B、 2 ln 2

5.(2010 湖南理)3、极坐标方程 ? ? cos ? 和参数方程 ? 形分别是 A、圆、直线 C、圆、圆 B、直线、圆

? x ? ?1 ? t ( t 为参数)所表示的图 ? y ? 2 ? 3t

D、直线、直线

6.(2010 安徽理)7、设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的方程为 ? y ? ?1 ? 3sin ?

x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距离为
A、1 【答案】B B、2

7 10 的点的个数为 10
C、3 D、4

【解析】化曲线 C 的参数方程为普通方程: ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 ,圆心 (2, ?1) 到直线
2 2

x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离 d ?

| 2 ? 3 ? (?1) ? 2 | 7 ? 10 ? 3 ,直线和圆相交,过圆心和 l 平行的 10 10

直线和圆的 2 个交点符合要求, 又 要求,所以选 B.

7 10 7 10 ? 3? , 在直线 l 的另外一侧没有圆上的点符合 10 10

【方法总结】解决这类问题首先把曲线 C 的参数方程为普通方程,然后利用圆心到直线的距 离 判 断 直 线 与 圆 的 位 置关 系 , 这 就 是 曲 线 C 上 到 直 线 l 距 离 为

7 10 ,然后再判断知 10

7 10 7 10 ,进而得出结论. ? 3? 10 10
二、填空题

cos
1.(2010 上海文)3.行列式

?
6

sin cos

?
6

sin
【答案】 0.5

?
6

?
6

的值是



cos
解析:考查行列式运算法则

?
6

sin cos

?
6

sin

?
6

?
6

= cos

π π π π ? 1 cos ? sin sin ? cos ? 6 6 6 6 3 2

2.(2010 陕西文)15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题评分) A.(不等式选做题)不等式 2 x ? 1 <3 的解集为. 【答案】 x ?1 ? x ? 2 。

?

?

解析: 2x ? 1 ? 3 ? ?3 ? 2x ? 1 ? 3 ? ?1 ? x ? 2 B.(几何证明选做题)如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm,以

AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则 BD=
【答案】

cm.

16 5 16 5

解析:? CD ? AB ,由直角三角形射影定理可得

BC 2 ? BD ? BA, 又BC ? 4, BA ? 5, 所以 BD ?
C.(坐标系与参数方程选做题)参数方程 ?

? x ? cos ? , ( ? 为参数)化成普通方程为 ? y ? 1 ? sin ?

【答案】x +(y-1) =1.

2

2

解析: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 3.(2010 北京理) (12)如图, ? O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 A。若 BD ? AE,AB=4, BC=2, AD=3,则 DE= = 【答案】5 。 ;CE

2 7

4.(2010 天津文) (11)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P。 若 PB=1,PD=3,则 【答案】

BC 的值为 AD



1 3

【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性 质,属于容易题。 因为 A,B,C,D 四点共圆,所以 ?DAB ? ?PCB, ?CDA ? ?PBC ,因为 ? P 为公共角,所以 ⊿PBC∽⊿PAB,所以

BC PB 1 = = AD PD 3

【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补,圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重 要内容,也是考查的热点。 5.(2010 天津理) (14)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P, 若

PB 1 PC 1 BC = , = ,则 的值为 PA 2 PD 3 AD



【答案】

6 6

【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角 形的性质,属于中等题。 因为 A,B,C,D 四点共圆,所以 ?DAB ? ?PCB, ?CDA ? ?PBC ,因为 ? P 为公共角,所以

⊿PBC∽⊿PAB,所以

PB PC BC x y 6y ? ? .设 OB=x,PC=y,则有 ,所以 ? ?x? PD PA AD 3y 2x 2

BC x 6 ? ? AD 3 y 6
【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补,圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重

要内容,也是考查的热点。 6.(2010 天津理) (13)已知圆 C 的圆心是直线 ? 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为 【答案】 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 本题主要考查直线的参数方程,圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识,属于容易题。 令 y=0 得 t=-1,所以直线 ?

? x ? 1, 与 (t为参数) x 轴的交点,且圆 C ? y ? 1? t

?x ? t 与 x 轴的交点为(-1.0) ? y ? 1? t
| ?1 ? 0 ? 3 | ? 2 ,所以圆 C 的 2

因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 r ? 方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2

【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。 7.(2010 广东理)15、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ ,θ )(0 ≤ θ <2π ) 中,曲线 ρ = 2 sin ? 与 p cos ? ? ?1 的交点的极坐标为______. 【答案】 ( 2,

3? ). 4

由极坐标方程与普通方程的互化式 ?

? x ? ? cos ? , 知,这两条曲线的普通方程分别为 ? y ? ? sin ?

? x ? ?1, ? x ? ? cos ? , 3? ). 由? 得点(-1,1)的极坐标为 ( 2, x2 ? y 2 ? 2 y, x ? ?1.解得 ? 4 ? y ? ? sin ? ? y ? 1.
8.(2010 广东理)14、(几何证明选讲选做题)如图 3,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦, 它们相交于 AB 的中点 P,PD= 【答案】

2a ,∠OAP=30°,则 CP=______. 3

9 a 8

因为点 P 是 AB 的中点,由垂径定理知, OP ? AB . 在 Rt ?OPA 中, BP ? AP ? a cos 30 ?
?

3 a .由相交线定理知, 2

BP ? AP ? CP ? DP ,即

9 3 3 2 a? a ? CP ? a ,所以 CP ? a . 8 2 2 3

9.(2010 广东文)15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? ,? ) (0 ? ? ? 2? ) 中,曲线

? (cos? ? sin ? ) ? 1 与 ? (cos? ? sin ? ) ? 1的交点的极坐标为

.

10.(2010 广东文)14.(几何证明选讲选做题)如图 3, 在直角梯形 ABCD 中, DC∥AB,CB ? AB ,AB=AD= a ,CD= 点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF= 【答案】

a , 2

a 2

解:连结 DE,可知 ?AED 为直角三角形。则 EF 是 Rt?DEA 斜边上的中线,等于斜边的一半, 为

a . 2

三、解答题 1.(2010 辽宁理) (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E (I)证明: ?ABE

?ADC

(II)若 ?ABC 的面积 S ? 证明:

1 AD ? AE ,求 ?BAC 的大小。 2

(Ⅰ)由已知条件,可得 ?BAE ? ?CAD 因为 ?AEB与?ACB 是同弧上的圆周角,所以 ?AEB=?ACD 故△ABE∽△ADC. (Ⅱ)因为△ABE∽△ADC,所以 ……5 分

AB AD ? ,即 AB·AC=AD·AE. AE AC 1 1 又 S= AB·ACsin ?BAC ,且 S= AD·AE,故 AB·ACsin ?BAC = AD·AE. 2 2
则 sin ?BAC =1,又 ?BAC 为三角形内角,所以 ?BAC =90°. 2.(2010 辽宁理) (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ……10 分

已知 P 为半圆 C:

( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0) ,

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

的长度均为

? 。 3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。 解: (Ⅰ)由已知,M 点的极角为 故点 M 的极坐标为(

? ? , ). 3 3

? ? ,且 M 点的极径等于 , 3 3
……5 分

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(

?
6

,

3? ) ,A(0,1) ,故直线 AM 的参数方程为 6

? ? ? x ? 1 ? ( 6 ? 1)t ? (t 为参数) ? ? y ? 3? t ? 6 ?

……10 分

3.(2010 辽宁理) (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c 均为正数,证明: a ? b ? c ? (
2 2 2

1 1 1 2 ? ? ) ? 6 3 ,并确定 a, b, c 为何值时, a b c

等号成立。 证明: (证法一) 因为 a,b,c 均为正数,由平均值不等式得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 3(abc) 3
1 ? 1 1 1 ? ? ? 3(abc) 3 a b c

2



所以 ?

2 ? ? 1 1 1? ? ? ? ? 9(abc) 3 ?a b c?

2



……6 分

故a ?b ?c ?( ?
2 2 2

1 a

2 2 ? 1 1 2 ? ) ? 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 . b c

又 3(abc) ? 9(abc) 所以原不等式成立.

2 3

?

2 3

? 2 27 ? 6 3

③ ……8 分
2 ? 2 3

当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立。当且仅当 3(abc) 3 ? 9(abc) 成立。

时,③式等号

即当且仅当 a=b=c= 3 时,原式等号成立。 (证法二) 因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得

1 4

……10 分

a 2 ? b 2 ? 2ab b 2 ? c 2 ? 2bc c 2 ? a 2 ? 2ac
所以 a ? b ? c ? ab ? bc ? ac
2 2 2

① ② ……6 分

同理

1 1 1 1 1 1 ? 2? 2? ? ? 2 a b c ab bc ac 1 1 1 2 2 2 2 故a ?b ?c ?( ? ? ) a b c

? ab ? bc ? ac ? 3 ?6 3
所以原不等式成立.

1 1 1 ?3 ?3 ab bc ac



……8 分

当且仅当 a=b=c 时, ①式和②式等号成立, 当且仅当 a=b=c, ab)2 ? (bc)2 ? (ac)2 ? 3 时, ( ③式等号成立。
1

即当且仅当 a=b=c= 3 4 时,原式等号成立。

……10 分

4.(2010 福建理)21.本题设有(1) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答, (2) 满分 14 分。如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题 目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M= ?

?1 a? ?c 2? ? 2 0? ? ,且 MN ? ? ?, ?,N ?? ?0 d ? ? ?2 0 ? ?b 1?

(Ⅰ)求实数 a, b, c, d 的值; (Ⅱ)求直线 y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程。 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) 。在极坐标系(与直 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方 程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) , 求|PA|+|PB|。 (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | 。 (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5? ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 围。 (1)选修 4-2:矩阵与变换 【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力。

?c ? 0 ? 2 ?a ? ?1 ? 2 ? ad ? 0 ?b ? ?1 ? ? 【解析】 (Ⅰ)由题设得 ? ,解得 ? ; ?bc ? 0 ? ?2 ?c ? 2 ? 2b ? d ? 0 ?d ? 2 ? ?
(Ⅱ) 因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线 (或点) 所以可取直线 y ? 3x 上的两 , (0, 0)(1,3) , , 由?

? 1 ?1? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ?1? ? 1 ? ? ?2 ? , ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? 得:点(0,0)(1,3)在矩阵 M 所对应的 ? ?1 1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? ?1 1 ? ? 3 ? ? 2 ?

线性变换下的像是(0,0)(-2,2) , ,从而 直线 y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为 y ? ? x 。 (2)选修 4-4:坐标系与参数方程 【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基 础知识,考查运算求解能力。

【解析】 (Ⅰ)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0, 即 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5. (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 , 2 2

即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0, 由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根, 所以 ? 1

?t ? t2 ? 3 2 ? , 又直线l过点P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得: ?t1t2 ? 4 ?

|PA|+|PB|= | t1|+|t 2 | = t1 +t 2 = 3 2 。 (3)选修 4-5:不等式选讲 【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力。 【解析】 (Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? a ? 3 ,又已知不等式 f ( x) ? 3 的解 集为 ?x | ?1 ? x ? 5? ,所以 ?

?a ? 3 ? ?1 ,解得 a ? 2 。 ?a ? 3 ? 5

(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ,设 g (x)=f ( x) ? f ( x ? 5) ,于是

? ?2 x ? 1,x < ? 3 ? g (x)=|x-2|? | x ? 3| = ?5, ? 3 ? x ? 2 ,所以 ? 2 x ? 1,x >2 ?
当 x<-3 时, g(x)>5 ;当 -3 ? x ? 2 时, g(x)>5 ;当 x>2 时, g(x)>5 。 5.(2010 江苏卷)21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的 ....... ..... 答题区域内作答。若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演 ....... 算步骤。 A. 选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C,若 DA=DC,求证:AB=2BC。 [解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证 能力。 (方法一)证明:连结 OD,则:OD⊥DC, 又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO,
A O B C D

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=30 ,∠DOC=60 , 所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC。 (方法二)证明:连结 OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=90 ,AB=2 OB。 因为 DC 是圆 O 的切线,所以∠CDO=90 。 又因为 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC。 故 AB=2BC。
0 0 0 0

B. 选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设 k 为非零实数,矩阵 M= ?

?k 0? ?0 1 ? ? ,N= ?1 0? ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1,△A1B1C1 ? 0 1? ? ?

的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值。 [解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点,考查运算求解能力。满分 10 分。 解:由题设得 MN ? ?

? k 0? ?0 1 ? ?0 k ? ?? ??? ? ? 0 1 ? ?1 0 ? ?1 0 ?

由?

?0 k ? ?0 ?2 ?2? ?0 0 k ? 、B 、C 。 ?? ??? ? ,可知 A1(0,0) 1(0,-2) 1( k ,-2) ?1 0 ? ?0 0 1 ? ?0 ?2 ?2?

计算得△ABC 面积的面积是 1,△A1B1C1 的面积是 | k | ,则由题设知: | k |? 2 ?1 ? 2 。 所以 k 的值为 2 或-2。

C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆ρ =2cosθ 与直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 相切,求实数 a 的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力。满分 10 分。

解: ? 2 ? 2?cos? ,圆ρ =2cosθ 的普通方程为: x2 ? y 2 ? 2x,( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , 直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 的普通方程为: 3x ? 4 y ? a ? 0 , 又圆与直线相切,所以

| 3 ?1 ? 4 ? 0 ? a | 32 ? 42

? 1, 解得: a ? 2 ,或 a ? ?8 。

D. 选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 设 a、b 是非负实数,求证: a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。 [解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力。满分 10 分。 (方法一)证明: a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a )

? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? ( a ? b )2[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ]
因为实数 a、b≥0, ( a ? b )2 ? 0,[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ] ? 0 所以上式≥0。即有 a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。 (方法二)证明:由 a、b 是非负实数,作差得

a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a ) ? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ]
当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 所以 a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。

[必做题]第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时 ....... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2009 年高考题
一、填空题

1、09 广东理 14)坐标系与参数方程选做题) ( ( 若直线 ? 垂直,则常数 k = 【解析】将 ? .

? x ? 1 ? 2t (t 为参数) 与直线 4 x ? ky ? 1 ? y ? 2 ? 3t

? x ? 1 ? 2t 3 7 3 化为普通方程为 y ? ? x ? ,斜率 k1 ? ? , 2 2 2 ? y ? 2 ? 3t
4 ? 3? ? 4? ,由 k1k2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 得 k ? ?6 ; k ? 2? ? k ?

当 k ? 0 时,直线 4 x ? ky ? 1 的斜率 k 2 ? ? 当 k ? 0 时,直线 y ? ? 综上可知, k ? ?6 . 答案

3 7 x ? 与直线 4 x ? 1 不垂直. 2 2

?6
o

? 2、 广东理 15) (几何证明选讲选做题)如图 3, A、 C 是圆 O 上的点, AB=4, ACB ? 30 , (09 点 B、 且
则圆 O 的面积等于 .

图3 【解析】连结 AO,OB,因为 ?ACB ? 30 ,所以 ?AOB ? 60 , ?AOB 为等边三角形,故圆
o o 2 O 的半径 r ? OA ? AB ? 4 ,圆 O 的面积 S ? ? r ? 16? .

答案

16?

3、(天津理 13) 设直线 l1 的参数方程为 ? 与 l2 的距离为_______

?x ? 1? t (t 为参数) ,直线 l2 的方程为 y=3x+4 则 l1 ? y ? 1 ? 3t

【解析】由题直线 l1 的普通方程为 3 x ? y ? 2 ? 0 ,故它与与 l2 的距离为 答案
3 10 5

|4?2| 10

?

3 10 。 5

4、 (09 安徽理 12)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中 取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ? ?

?

? x ? 1 ? 2cos ? ( ? ? R ) ,它与曲线 ? 4 ? y ? 2 ? 2sin ?

( ? 为参数)相交于两点 A 和 B,则|AB|=_______. 【解析】直线的普通方程为 y ? x ,曲线的普通方程 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ∴ | AB |? 2 22 ? (

|1 ? 2 | 2 ) ? 14 1?1

答案 二、解答题 5、 (09 海南 22)本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 ?ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H, ?B ? 60 ,F 在 AC 上,
0

且 AE ? AF 。 (Ⅰ)证明:B,D,H,E 四点共圆: (Ⅱ)证明: CE 平分 ? DEF 。 解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为∠B=60°, 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°, 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以 B,D,H,E 四点共圆. (Ⅱ)连结 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线,得∠HBD=30° 由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以∠CED=∠HBD=30°. 又∠AHE=∠EBD=60°,由已知可得 EF⊥AD, 可得∠CEF=30°. 所以 CE 平分∠DEF. 6、 (09 海南 23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 已知曲线 C 1 : ?

开始

a ?1

a ? 2a ? 1


a ? 100 ?
是 输出 a

结束

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) C 2 : ? , ( ? 为参数) 。 ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值。

x2 y 2 ? ? 1. 解: (Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 : 64 9
2 2

C1 为圆心是( ?4,3) ,半径是 1 的圆.

C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
(Ⅱ)当 t ?

? 3 时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ), 故M ( ?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ). 2 2
5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | . 5

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0, M 到C3的距离d ?
从而当 cos ? ?

4 3 8 5 ,sin ? ? ? 时, d取得最小值 . 5 5 5

7、 (09 海南 24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原 点的距离,y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

解 (Ⅰ) y ? 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |,0 ? x ? 30. (Ⅱ)依题意,x 满足

4 | { 0 |?xx??1030.?6 | x ? 20 |? 70,
解不等式组,其解集为【9,23】 所以

x ? [9, 23].

8、 (09 江苏)A.选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,在四边形 ABCD 中,△ABC≌△BAD. 求证:AB∥CD. 【解析】 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识, 考查推理论证能力。满分 10 分。 证明:由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA,故 A、B、C、D 四 共圆,从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD 得∠CAB=∠ DBA。因此∠DBA=∠CDB,所以 AB∥CD。 B. 选修 4 - 2:矩阵与变换 求矩阵 A ? ? 点

? 3 2? ? 的逆矩阵. ?2 1?

【解析】 本小题主要考查逆矩阵的求法,考查运算求解能力。满分 10 分。

解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ?

?x y ? ? 3 2 ? ? x y ? ?1 0 ? ? , 则 ?2 1 ? ? z w? ? ?0 1? , ? z w? ? ?? ? ? ?

即?

?3x ? 2 z 3 y ? 2w? ?1 0? ?3x ? 2 z ? 1, ?3 y ? 2w ? 0, ? ,故 ? ? 2 x ? z 2 y ? w ? ?0 1? ?2 x ? z ? 0, ?2 y ? w ? 1, ? ? ? ? ? ?1 2 ? ?. ? 2 ?3?

解得: x ? ?1, z ? 2, y ? 2, w ? ?3 , 从而 A 的逆矩阵为 A?1 ? ?

C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

1 ? ?x ? t ? t ? 已知曲线 C 的参数方程为 ? , ( t 为参数, t ? 0 ). ? y ? 3(t ? 1) ? t ?
求曲线 C 的普通方程。 【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识,考查转化问题的能力。满分 10 分。 解 因为 x ? t ? ? 2, 所以 x ? 2 ? t ? ?
2 2

1 t

1 t

y , 3

故曲线 C 的普通方程为: 3x2 ? y ? 6 ? 0 . D. 选修 4 - 5:不等式选讲 设 a ≥ b >0,求证: 3a ? 2b ≥ 3a b ? 2ab .
3 3 2 2

证明: 3a ? 2b ? (3a b ? 2ab ) ? 3a (a ? b) ? 2b (b ? a) ? (3a ? 2b )(a ? b).
3 3 2 2 2 2 2 2

因为 a ≥ b >0,所以 a ? b ≥0, 3a ? 2b >0,从而 (3a2 ? 2b2 )(a ? b) ≥0,
2 2

即 3a ? 2b ≥ 3a b ? 2ab .
3 3 2 2

9、 (09 辽宁理 22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 已知 ? ABC 中,AB=AC, D 是 ? ABC 外接圆劣弧 ? 上 AC

的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD 至 E。 (1)求证:AD 的延长线平分 ? CDE; (2)若 ? BAC=30, ? ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ,求 ? ABC 外接圆的面积。 解(Ⅰ)如图,设 F 为 AD 延长线上一点 ∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠CDF=∠ABC

又 AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线平分∠CDE. (Ⅱ)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H,则 AH⊥BC. 连接 OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=15 , ∠ACB=75 , ∴∠OCH=60 .
3 r=2+ 3 ,a 得 r=2,外接圆的面积为 4 ? 。 2 10、 (09 辽宁理 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy
0 0 0

设圆半径为 r,则 r+

中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos( ? ? =1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点。 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。

?
3



? 解(Ⅰ)由 ? cos( ? ) ? 1得 ? 3

? ( cos? ?

1 2

3 sin? ) ? 1 2

从而 C 的直角坐标方程为
1 3 x? y ?1 2 2 即 x ? 3y ? 2

? ? 0时,? ? 2,所以M (2,0) ?? ?
2 时,? ? 2 3 2 3 ? ,所以N ( , ) 3 3 2

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0) N 点的直角坐标为 (0,
2 3 ) 3
(1. 3 2 3 ? ), 则P点的极坐标为( , ), 3 3 6

所以 P 点的直角坐标为

所以直线 OP 的极坐标方程为 ? ? ? , ? ? (??,??) ? 11、 (09 辽宁理 24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | 。 (1)若 a ? ?1, 解不等式 f ( x) ? 3 ;

(2)如果 ?x ? R , f ( x) ? 2 ,求 a 的取值范围。 解(Ⅰ)当 a=-1 时,f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳. 由 f(x)≥3 得 ︱x-1︳+︱x+1|≥3 (ⅰ)x≤-1 时,不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥3

2008 年高考题
一、填空题 1. (2008 广东理) (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1,C2 的极坐标方 程分别为 ? cos ? ? 3 , ? ? 4cos ? ? ? ≥ 0,≤? ? 0 则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为 .

? ?

π? ?, 2?

答案

(2 3, ) 6

?

2. (2008 广东理) (不等式选讲选做题)已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 有实根,则 a 的取值范围是 答案 .

1 ? a ?0 4

0?a?

1 4

3. (2008 广东理) (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? 是圆 . 答案 二、解答题 4.(2008 宁夏理) (10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A, 过 A 作直线 AP 垂直于直线 OM,垂足为 P. (1)证明:OM·OP = OA2; (2)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直于直线 ON, 且交圆 O 于 B 点.过 B 点的切线 交直线 ON 于 K.证明:∠OKM = 90°. (1)证明 因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA ? AM . 又因为 AP ? OM .在 Rt△OAM 中,由射影定理知, OA ? OM ? OP.
2

3

(2)证明 因为 BK 是圆 O 的切线, BN ? OK . 同(1) ,有 OB ? ON ? OK ,又 OB ? OA ,
2

所以 OP ? OM ? ON ? OK ,即 又 ∠NOP ? ∠MOK ,

ON OM ? . OP OK

? 所以 △ONP ∽△OMK ,故∠OKM ? ∠OPN ? 90 .

5.(2008 宁夏理) (10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲
? ?x ? ? x ? cos ? 已知曲线 C1: ? (? 为参数) ,曲线 C2: ? ? ? y ? sin ? ?y ? ? ? 2 t? 2 2 (t为参数) . 2 t 2

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1 ' , C2 ' .写出

C1 ' , C2 ' 的参数方程. C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说
明你的理由. 解(1) C1 是圆, C2 是直线.

C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1,圆心 C1 (0, ,半径 r ? 1 . 0)

C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .
因为圆心 C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 1 , 所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (2)压缩后的参数方程分别为

? ? x ? cos ?, ?x ? ? ? C1? : ? ( ? 为参数) C 2? : ? ; 1 ? y ? 2 sin ? ?y ? ? ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 t 4
1 2 , x? 2 2

化为普通方程为: C1? : x2 ? 4 y 2 ? 1 , C 2? : y ? 联立消元得 2 x ? 2 2 x ? 1 ? 0 ,
2

其判别式 ? ? (2 2)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 0 , 所以压缩后的直线 C 2? 与椭圆 C1? 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. 6.(2008 宁夏理) (10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 8 | ? | x ? 4 | . (1)作出函数 y ? f (x) 的图象; (2)解不等式 | x ? 8 | ? | x ? 4 |? 2 .

? 4, ? 解(1) f ( x ) ? ? ?2 x ? 12, ? ?4 ?
图象如下:

x ≤ 4, 4 ? x ≤ 8, x ? 8.

y

4 2 1

-2 - 1 -2 -4

O1 2 3 4

8

x

(2)不等式 x ? 8 ? x ? 4 ? 2 ,即 f ( x) ? 2 , 由 ?2 x ? 12 ? 2 得 x ? 5 . 由函数 f ( x ) 图象可知,原不等式的解集为 (?∞, . 5) 7.(2008 江苏)A.选修 4-1:几何证明选讲? 如图所示,设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线 交于点 E,∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D.求证:ED2=EC·EB.? B.选修 4-2:矩阵与变换? 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 4x2+y2=1 在矩阵 A= ? 求 F 的方程.? C:选修 4-4:坐标系与参数方程

?2 ?0

0? 对应的变换下得到曲线 F, 1? ?

x2 ? y 2 ? 1 上的一个动点, 在平面直角坐标系 xOy 中,设 P(x,y)是椭圆 3
求 S=x+y 的最大值. D:选修 4-5:不等式选讲 设 a,b,c 为正实数,求证:

1 1 1 ? 3 ? 3 ? abc ? 2 3. 3 a b c

A.证明: 如图所示,因为 AE 是圆的切线,? 又因为 AD 是∠BAC 的平分线,? 所以∠BAD=∠CAD.? 从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD.? 因为∠ADE=∠ABC+∠BAD,∠DAE=∠CAE+∠CAD,? 所以∠ADE=∠DAE,故 EA=ED.? 因为 EA 是圆的切线,所以由切割线定理知,EA2=EC·EB,?而 EA=ED,所以 ED2=EC·EB. B.解: 设 P(x0,y0)是椭圆上任意一点, 点 P(x0,y0)在矩阵 A 对应的变换下变为点 P′(x′0,y′0),则有

x′ ? 0 , ? x′ ?2 0? ? x0 ? ? x′? 2 x0 , ? x0 ? 0? 0 ?? ,即? 所以? 2 ? y′ ? 0 1 ?? y ? ? ? 0 ? ? y′? y 0 , 0 ? 0? ? ? y 0 ? y′ 0. ?
2 2 又因为点 P 在椭圆上,故 4x0 ? y0 ? 1, 从而( x′2 ? ( y′2 ? 1. 0) 0)

所以曲线 F 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. C.解:由椭圆

? x ? 3 cos? , x2 ? y 2 ? 1的参数方程为 (?为参数), ? 3 y ? sin ? ?

故可设动点 P 的坐标为( 3 sin ? , sin ? ),其中 0 ? ? ? 2? . 因此, S ? x ? y ? 3 cos? ? sin ? ? 2 ? ? 所以当 ? ?

? 3 ? 1 ?? ? cos? ? sin ? ? ? 2 sin ? ? ? ?. ? 2 ? 2 3? ? ? ?

?
6

时, S取得最大值 2.

D.证明:因为 a,b,c 是正实数,由平均不等式可得

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 3 ? 3 ? 3 ,即 3 ? 3 ? 3 ? . 3 abc a b c a b c a b c 所以
所以

1 1 1 3 3 3 ? 3 ? 3 ? abc ? ? abc.而 ? abc ? 2 ? abc ? 2 3, 3 abc abc abc a b c

1 1 1 ? 3 ? 3 ? abc ? 2 3. 3 a b c

第二部分

两年联考汇编

2010 年联考题
题组二(5 月份更新)
1. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学) (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , E 为⊙ O 上一点,AE=AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 , (1)求 PF 的长度. (2)若圆 F 且与圆 O 内切,直线 PT 与圆 F 切于点 T,求线段 PT 的长度
A C

E F O B D P

解:(1)连结 OC , OD, OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得 ?CDE ? ?AOC , 又 ?CDE ? ?P ? ?PFD , ?AOC ? ?P ? ?OCP ,

PF PD 从而 ?PFD ? ?OCP ,故 ?PFD ∽ ?PCO ,∴ ? , ………… 4 ? PC PO A PC ? PD 12 ? ? 3 . ……… 6 ? 由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 ,故 PF ? PO 4 (2)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r,因为 OF ? 2 ? r ? 1 即 r ? 1 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点圆 F 的切线为 PT
则 PT ? PB ? PO ? 2 ? 4 ? 8 ,即 PT ? 2 2
2

E O C F B D P

………… 10?

2. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系下,已知圆 O: ? ? cos ? ? sin ? 和直线 l : ? sin(? ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程;

?
4

)?

2 , 2

(2)当 ? ? ? 0, ? ? 时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.
2 解: (1)圆 O: ? ? cos ? ? sin ? ,即 ? ? ? cos? ? ? sin ?

圆 O 的直角坐标方程为: x ? y ? x ? y ,即 x ? y ? x ? y ? 0
2 2 2 2

………… 3?

直线 l : ? sin(? ?

?
4

)?

2 ,即 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 2

则直线 l 的直角坐标方程为: y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 (2)由 ?

………… 6 ?

? x2 ? y2 ? x ? y ? 0 ? x ? y ?1 ? 0

得?

?x ? 0 ?8? ? y ?1

故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 (1,

?
2

)

………… 10?

3. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学) (本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 对于任意实数 a (a ? 0) 和 b ,不等式 a ? b ? a ? b ? a ( x ?1 ? x ? 2 ) 恒成立,试求实数 x 的取值范围.

解:由题知, | x ? 1| ? | x ? 2 |?

| a ?b| ? | a ?b| 恒成立, |a|
………… 2 ?

故 x ?1 ? x ? 2 不大于

| a ?b| ? | a ?b| 的最小值 |a|

∵ | a ? b | ? | a ? b |?| a ? b ? a ? b |? 2 | a | ,当且仅当 ? a ? b ?? a ? b ? ? 0 时取等号 ∴

| a ?b| ? | a ?b| 的最小值等于 2. |a|
1 5 ?x? 2 2

………… 5 ? ………… 7 ? ………… 10?

∴x 的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2 的解 解不等式得

4.(三明市三校联考)本题(1)(2)(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答, 、 、 满分 14 分,如果多做,则按所做的前两题计分。 (Ⅰ) (本小题满分 7 分)选修 4-4:矩阵与变换 求矩阵 A ? ?

? 3 2? ? 的逆矩阵. ?2 1?

(Ⅱ) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半
? 2 t ?1 ?x ? 2 轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: ? ,求直线 l 与曲线 C 相交所成 ? ? y? 2t ? ? 2 的弦的弦长.

(Ⅲ) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

?x y ? ? 3 2 ? ? x y ? ?1 0 ? ? , 则 ?2 1 ? ? z w? ? ?0 1? , ? z w? ? ?? ? ? ? ?3x ? 2 z 3 y ? 2w? ?1 0? ?3x ? 2 z ? 1, ?3 y ? 2w ? 0, 即? ? ??? ? ,故 ? ? 2 x ? z 2 y ? w ? ?0 1? ?2 x ? z ? 0, ?2 y ? w ? 1, 解得: x ? ?1, z ? 2, y ? 2, w ? ?3 , ? ?1 2 ? 从而 A 的逆矩阵为 A?1 ? ? ?. ? 2 ?3?
解: (I) 设矩阵 A 的逆矩阵为 ?
2 2

(Ⅱ) 曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程为 x +y -4x=0, (x-2)+y =4 即
2 2

直线 l 的参数方程 ? ?
? ? ? ?

?

x?

2 t ?1 ,化为普通方程为 x-y-1=0, 曲线 C 的圆心(2,0)到直线 2 2 y? t 2

l 的距离为 1 ? 2 2 2
所以直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长 2 4 ? 1 = 14 . 2 (Ⅲ)当 x<0 时,原不等式可化为 ?2 x ? 1 ? ? x ? 1, 解得x ? 0 又? x ? 0,? x 不存在; 当0? x ?

1 1 1 时,原不等式可化为 ?2 x ? 1 ? x ? 1, 解得x ? 0 ;又? 0 ? x ? ,?0 ? x ? ; 2 2 2

1 1 当 x ? ,? ? x ? 2 2 2 综上,原不等式的解集为 {x | 0 ? x ? 2}.

题组一(3 月份更新)
1.(2009 番禺一模)在直角坐标系中圆 C 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,若以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, ? ? y ? 2 ? 2sin ?
则圆 C 的极坐标方程为______ 答案 __.

? ? 4sin ?
? a b ? ? x ? ? ax ? by? ??? ? ? ? ?, 该运算的几何意义为 d ? ? y ? ? cx ? dy ? ? ? ? ? ?
的 作 用 下 变 换 成 点

2.(2009 上海十四校联考)矩阵的一种运算 ? ?c ? 平 面 上 的 点

?a b? ( x, y ) 在 矩 阵 ? ?c d ? ? ? ?

?1 a ? (ax ? by, cx ? dy),若曲线x 2 ? 4xy ? 2 y 2 ? 1 在 矩 阵 . ? ? b 1? 的 作 用 下 变 换 成 曲 线 ? ? ?
x 2 ? 2 y 2 ? 1, 则a ? b 的值为
答案 2 3.(2009 番禺一模)如图,EB、EC 是⊙O 的两条切线,B、C 是 切点,A、D 是⊙O 上两点,如果∠E=46 ,∠DCF=32 , ∠A 的大小为 答案 .
0 0



99?

x ?1
4.(2009 上海卢湾区 4 月模考)不等式

2 2

0


0 3

x ? 1 x ≥ 0 的解为 1

答案 2 ? 3 ≤ x ≤ 2 ? 3 5.(2009 番禺一模)若不等式 x ?

1 ? a ? 2 ? 1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 x

a 的取值范围是_________________.
答案

(1, 3)
lg 2 x lg x ? 1 2 1 ? 1 的实数解 x 为________________。

6.(2009 上海八校联考)满足方程 答案 x=2

7.(2009 上海奉贤区模拟考)不等式 答案 x ? ?4

1 ?2 ? 2 的解集为 3 x



8.(2009 上海普陀区)关于 x、y 的二元线性方程组 ?

?2x ? my ? 5, 的增广矩阵经过变换,最 ?nx ? 3 y ? 2

后得到的矩阵为 ? ? 答案 4

?1 0 3 ? ? ,则 x ? y ? ? ?0 1 1?

.

9.(2009 上海普陀区)将函数 f ( x) =

3 sin x 的图像向左平移 a ( a > 0 )个单位,所得图 1 cos x

像对应的函数为偶函数,则 a 的最小值为 答案

.

5 p 6
1 z , ? 3 ? 2i( i 是虚数单位) 则 z ? __________. ?2 zi

10. (2009 上海十校联考) 若复数 z 满足

答案

4 7 ? i 5 5

? 11.(2009 上海闸北区)增广矩阵为 ?       的线性方程组的解用向量的坐标形式可表 ?3 1 8? ? ?
示为 答案 (3,?1) 二、解答题 .

?1

?2

5?

a2 b2 c2 ? ? a ? b ? c. 12. (2009 厦门集美中学) (不等式选讲) a, b, c 均为正数, 设 证明: ? b c a
证明

a2 b2 c2 a2 b2 c2 ? ? ? a ? b ? c ? ( ? b) ? ( ? c) ? ( ? a) ? 2a ? 2b ? 2c b c a b c a a2 b2 c2 ? ? ? a ? b ? c. b c a
2 2 2 a12 ? a 2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 .

即得

另证 利用柯西不等式 a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3 ? 取 a1 ?

a b

, a2 ?

b c

, a3 ?

c a

, b1 ? b , b2 ? c , b3 ? a 代入即证.

13. (2009 上海十四校联考) 在△ABC 中, A, C 所对边分别为 a, c, 角 B, b, 已知 a ? 2 3, c ? 2,

sin C 0 cos A

sin B b 0

0 ? 2c ? 0, 求?ABC的面积S . 1
…………3 分

解:由行列式得: b sin C ? 2c sin B ? cos A ? 0

b2 ? c2 ? a2 ? 0 …………6 分 由正、余弦定理得: bc ? 2cb ? 2bc
? b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,? A ?

?
3

………………9 分

又? a ? 2 3, c ? 2,?b ? 4

………………12 分

? S? ?

1 bc sin A ? 2 3 2

……………………14 分

14.(2009 盐城中学第七次月考)不等式选讲已知 x,y,z 均为正数.求证:
x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z

证明 因为 x,y,z 无为正数.所以 同理可得

x y 1 x y 2 ? ? ( ? ) ≥ , ……………………4 分 yz zx z y x z

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ , zx xy x xy yz y

………………………………………7 分

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得
x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? .………10 分 yz zx xy x y z

15.(2009 南京一模)如图,已知四边形 ABCD 内接于⊙O, EF || CD , FG 切⊙O 于点 G .求 证: EF ? FG . 证明:因为 FG 切⊙O 于点 G ,所以 FG ? FB ? FA
2

因为 EF || CD ,所以 ?BEF ? ?ECD 又 A、B、C、D 四点共圆,所以 ?ECD ? ?EAF, 所以 ?BEF ? ?EAF 又 ?EFA ? ?BFE ,所以 ?EFA ∽ ?BFE 所以 所以

EF FB ? AF FE

即 EF

2

? FB ? FA

FG 2 ? EF 2

即: EF ? FG =l 与

16.(2009 厦门同安一中) (极坐标与参数方程)若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ?

? ? =2cos(θ + ) ,它们相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
2 2 解 由 ? ? 1 得 x ? y ? 1,

π 3

又? ? ? 2 cos(? ? ? ) ? cos ? ? 3 sin ? ,? ? 2 ? ? cos ? ? 3? sin ?
3

? x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 ,
2 2 ? 由 ?x ? y ? 1 ? 2 2

?x ? y ? x ? 3y ? 0 ?
2

得 A(1, 0), B(? 1 , ? 3 ) ,
2 2

2 3? ? 1? ? ? AB ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? ? 3 2 ? ? 2? ? ? ?

.……7 分

17.(2009 厦门北师大海沧附属实验中学) (极坐标与参数方程)以直角坐标系的原点 O ? 为极点, 轴的正半轴为极轴. x 已知点 P 的直角坐标为(1, -5), M 的极坐标为(4, ). 点 若 2 直线 l 过点 P,且倾斜角为 ? ,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径. 3

(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.

1 ? ?x ? 1? 2 t ? 解(Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? , 3 ? y ? ?5 ? t ? ? 2
圆 C 的极坐标方程为 ? ? 8sin ?

(Ⅱ)因为 M ? 4,

? ?? ? 对应的直角坐标为 ? 0, 4 ? ? 2?

直线 l 化为普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 圆心到直线 l 的距离 d ?

0?4?5? 3 3 ?1

?

9? 3 ? 5 ,所以直线 l 与圆 C 相离. 2

2009 年联考题
一、选择题 1、 (辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考)极坐标方程 ? =cosθ化为直角坐 标方程为 ( B.x +(y+ D.(x2

)

1 2 2 1 ) +y = 2 4 1 2 1 2 C.x +(y- ) = 2 4
A.(x+ 答案 D.

1 2 1 ) = 2 4

1 2 1 2 ) + y = 2 4

1 0 1
2、 (2009 上海普陀区)以下向量中,能成为以行列式形式表示的直线方程 x

2 1 ?0的 y 1 1
( )

一个法向量的是 A. n ? ?1, ?2? ; 答案 A

?

B. n ? ? ?2,1? ;

?

C. n ? ? ?1, ?2? ;

?

D. n ? ? 2,1? .

?

?x ? y ? 4z ? 0 ? 3、 (2009 上海青浦区)线性方程组 ?3 x ? y ? 5 z ? 1 的增广矩阵是 ?x ? 6 y ? 8z ? 7 ? ?1 1 4 0 ? ? ? A. ? 3 1 5 1 ? ?1 6 8 7 ? ? ? ?1 1 4 0 ? ? ? B. ? 3 1 5 ? 1 ? ?1 6 8 ? 7 ? ? ? ?1 1 4 ? ? ? C. ? 3 1 5 ? ?1 6 8 ? ? ? ?1 3 1 ? ? ? D. ?1 1 6 ? ? 4 5 8? ? ?





答案 A 二、填空题 4、 (2009 广州一模) (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线ρ sin(θ + ρ =4 截得的弦长为 答案 .

π )=2 被圆 4

4 3

5、 (2009 广州一模)(几何证明选讲选做题) 已知 PA 是圆 O(O 为圆心)的切线,切点为 A, PO 交圆 O 于 B,C 两点,AC = 3 ,∠PAB=300,则线段 PB 的长为 .

答案 1 6、 (2009 广州一模)(不等式选讲选做题) 已知 a,b,c∈R,且 a+b+c=2,a2+2b2+3c2=4, 则 a 的取值范围为_____________ 答案

[

2 ,] 2 11

7、 (2009 广东三校一模)(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为 ? ? 2 cos? 和

? ? sin ? 的两个圆的圆心距为____________;
答案

5 2

8、 (2009 广东三校一模) (不等式选讲选做题)若不等式 x ?

1 ? a ? 2 ? 1 对一切非零实 x

数 x 均成立,则实数 a 的最大值是__________________; 答案 3 9、 (2009 广东三校一模)(几何证明选讲选做题)如图, PT 切圆 O 于点 T , PA 交圆 O 于 A 、 B 两点,且与直径 CT 交于点 D ,

A

C D O B

CD ? 2, AD ? 3, BD ? 6 ,则 PB ? ______.

15 . 答案 T 10、(2009 东莞一模)(几何证明选讲选做题)如图,AD 是⊙ O 的切线,AC 是 ⊙ O 的弦, C 做 AD 的垂线, 过 垂足为 B, 与⊙ O 相交于点 E, 平分 ?CAB , AE ? 2 , CB AE 且 则 AB ? , AC ? , BC ? .
答案

P

3, 2 3,3 ;

11、(2009 东莞一模)(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中,点

?1,0? 到直线 ? ?cos? ? sin? ? ? 2 的距离为
2 2
.

. C O E A B D

答案

12、 (2009 东莞一模) (不等式选讲选做题) 函数 f ( x) ? x ? x ? 3 的最大值为 答案 3

13、 (2009 江门一模) (坐标系与参数方程选做题) P 是曲线

? x ? sin ? ? cos ? ( ? ? [0 , 2? ) 是 参 数 ) 上 一 点 , P 到 点 Q(0 , 2) 距 离 的 最 小 值 ? ? y ? 1 ? sin 2?
是 答案 .

7 2

14、 (2009 江门一模) (不等式选讲选做题)已知关于 x 的不等式 | x ? a | ? | x ? 1| ?a ? 2009 ( a 是常数)的解是非空集合,则 a 的取值范围是 答案 .

(?? , 1 0 0) 4

15、 (2009 江门一模) (几何证明选讲选选做题)如图 4,三角形 ABC 中,

AB ? AC ,⊙ O 经过点 A ,与 BC 相切于 B ,
与 AC 相交于 D ,若 AD ? CD ? 1 ,则⊙ O 的 半径 r ? 答案 .

A

O?
D

2 14 7

B

图4

C

16、 (2009 茂名一模) (坐标系与参数方程选做题)把极坐标方程 ? cos(? ? 坐标方程是 答案 .

?

6

) ? 1 化为直角

3x ? y ? 2 ? 0

17、 (2009 茂名一模) (不等式选讲选做题)函数 y ? 5 x ?1 ? 10 ? 2 x 的最大值为 _________。 答案 6 3 18、 (2009 茂名一模) (几何证明选讲选做题)如图,梯形 ABCD , AB // CD ,

E 是对角线 AC 和 BD 的交点, S?DEC

: S?DBC ? 1: 3 ,

D E A

C

B

则 S?DEC

: S ABD ?



答案 1:6 19 、 ( 2009 汕 头 一 模 )( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 两 直 线 的位置关系是________(判断垂直或平行或 斜交) 答案 垂直

|x?
20、 (2009 汕头一模) (不等式选讲选做题)不等式

1 |?| a ? 5 | ?1 x 对于一非零实数 x 均成

立,则实数 a 的取值范围是_________ 答案 4<a<6 21、 (2009 汕头一模) (几何证明选讲选做题)如图,⊙O 中的弦 AB 与直径 CD 相交于点 p,M 为 DC 延长线上一点,MN 为⊙O 的切 线,N 为切点,若 AP=8, PB=6, PD=4, MC=6,则 MN 的长为 ___ 答案 2 33 22、 (2009 韶关一模)在极坐标系中,圆心在 ( 2, ? ) 且过极点的圆的方程 为_ 答案 .

D E
A

? ? ?2 2 c o s ?
.

C O
B

23、 (2009 韶关一模)如图所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3, 过 C 作圆的切线 l ,则点 A 到直线 l 的距离 AD 为 答案

l

9 2

24、 (2009 韶关一模)如果关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集是全体实数,则 a 的取 值范围是 答案 .

? ??,1?

25、 (2009 深圳一模) (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为

?x ? cos? , ? ? [0, ? ] ,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 在极坐标系中的 ? ? y ? sin ?
方程为 ? ? 是 答案

b .若曲线 C1 与 C 2 有两个不同的交点,则实数 b 的取值范围 sin ? ? cos ?


1? b ? 2

A
D

C

26、 (2009 深圳一模) (几何证明选讲选做题)如图, PT

O?

B

T

P

切⊙ O 于点 T , PA 交⊙ O 于 A 、 B 两点,且与直径 CT 交于点 D , CD ? 2 , AD ? 3 , BD ? 6 ,则 PB ? . 答案 15 27.(2009 深圳一模) (不等式选讲选做题)若不等式

a ? 1 ? x ? 2 y ? 2z ,对满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1的一切
实数 x 、 y 、 z 恒成立,则实数 a 的取值范围是 答案 .

a ? 4或a ? ?2

28、 (2009 湛江一模) (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若过点 A(3,0) 且与极轴 垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A、B 两点,则 | AB |? _________ 答案 _.

2 3

29、 (2009 湛江一模) (不等式选讲选做题)设 x ? y ? z ? 1 ,则 F ? 2 x 2 ? y 2 ? 3z 2 的最 小值为________. 答案

6 11
P C

A

30、 (2009 湛江一模) (几何证明选讲选做题)如图,已知 PA、PB 是 圆 O 的切线,A、B 分别为切点,C 为圆 O 上不与 A、B 重合的另一点,若∠ACB = 120°,则∠APB = . 答案

O

60?

B

三、解答题 31、 (2009 厦门北师大海沧附属实验中学) (不等式选讲) x ? y ? z ? 1, 求 F ? 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 设 的最大值.



? F ? 2x2 ? 3 y2 ? z 2 ?
当且仅当

6 11
且 x ? y ? z ? 1, x ?

2x 3y z ? ? 1 1 1 2 3

3 2 6 , y ? ,z ? 11 11 11

F 有最小值

6 11

32、 (2009 厦门一中) (不等式选讲) an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ????? n(n ? 1) (n?N*) 设 ,比较 an 、

n( n ? 1) (n ? 1) 2 、 的大小,并证明你的结论. 2 2
解 ∵ an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 又∵ an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ????? n(n ? 1)

n(n ? 1) 2

?

1? 2 2 ? 3 n ? ( n ? 1) ? ??? 2 2 2 2 n(n ? 1) ? n(n ? 3) n ? 2n (n ? 1) 2 ? ? ? 4 2 2
n( n ? 1) (n ? 1) 2 < an < 2 2



33、 (2009 厦门二中) (不等式选讲)解不等式: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 . 解 原不等式等价于:

? x ? ?2 ? ?? 2 x ? 1 ? 5
解得

或?

? ? 2 ? x ?1 ?1 ? x ? x ? 2 ? 5


或?

? x ?1 ?2 x ? 1 ? 5


? 3 ? x ? ?2

?2 ? x ?1

1? x ? 2

所以 原不等式的解集为 x ? 3 ? x ? 2

?

?

34、 (2009 厦门乐安中学) (不等式选讲)在设 a , b, c 为正数且 a ? b ? c ? 1 ,

1 1 1 100 求证: (a ? )2 ? (b ? )2 ? (c ? )2 ? . a b c 3
证明

1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? 1 ? 1 )[(a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? (c ? ) 2 ] ? [1? (a ? ) ? 1? (b ? ) ? 1? (c ? )]2 3 a b c 3 a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 ? [1 ? ( ? ? )]2 ? [1 ? ( a ? b ? c)( ? ? )]2 ? (1 ? 9) 2 ? 3 a b c 3 a b c 3 3 3 35 、 2009 厦 门 十 中 ) 不 等 式 选 讲 ) 已 知 实 数 a, b, c , d 满 足 a ? b ? c ? d ? , ( (

a2 ? 2b2 ? 3c2 ? 6d 2 ? 5 试求 a 的最值
解 由柯西不等式得,有 2b ? 3c ? 6d
2 2
2

?

2

? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?b ? c ? d ? ? ? ?2 3 6?
2

2

2 2 2 即 2b ? 3c ? 6d ? ? b ? c ? d ?

2 由条件可得, 5 ? a ? ? 3 ? a ?

解得, 1 ? a ? 2 当且仅当 代入 b ? 1, c ?

2b 3c 6d ? ? 时等号成立, 12 13 16

1 1 , d ? 时, 3 6

amax ? 2

b ? 1, c ?
?

2 1 ,d ? 时 3 3

amin ? 1
,求

36、 (2009 厦门同安一中) (不等式选讲)已知 a 、 b ? R ,且

的最小值

解 所以

因为

,所以

,所以





。式中等号当且仅当 时成立,此时 . 。所以当 时, 取最小值

37、 (2009 厦门英才学校) (不等式选讲)已知函数 f ?x? ? x ? 4 ? x ? 2 . (Ⅰ)作出函数 y ? f ?x ? 的图像; (Ⅱ)解不等式 x ? 4 ? x ? 2 ? 1

x?4 ? ?2 ? 解(Ⅰ)依题意可知 f ( x ) ? ? ?2 x ? 6 2 ? x ? 4 , ?2 x?2 ?
则函数 y ? f ?x ? 的图像如图所示: (Ⅱ)由函数 y ? f ?x ? 的图像容易求得原不等式的 解集为 (?? , ) …………7 分

5 2

? 1 0? ?1 0 ? 38、 (2009 厦门乐安中学) (矩阵)已知矩阵 M ? ? , N ? ? 2 ? ,矩阵 MN 对应的变换 ? ?0 1 ? ?0 2? ? ?
把曲线 y ? sin x 变为曲线 C,求C的方程.

?1 ? ?1 ? ?1 0 ? ? 0? ? 0? 解 MN ? ? ,设 P( x, y) 是所求曲线 C 上的任意一点,它是曲线 ? 2 ?? 2 ? ? 0 2 ?? 0 1 ? ? 0 2 ? ? ? ? ? ?1 ? ? x ? ? 0 ? ? x0 ? y ? sin x 上 点 P ( x0 , y0 ) 在 矩 阵 MN 变 换 下 的 对 应 点 , 则 有 ? ? ? 2 ? ? ,即 0 ? ? y ? ? 0 2 ? ? y0 ? ? ? 1 ? ? x ? x0 , 所以 2 ? ? y ? 2 y0 . ? ? x0 ? 2 x, ? ? 1 又 点 P( x0 , y0 ) 在 曲 线 y ? s i nx 上 , 故 y0 ? sin x0 , 从 而 ? y0 ? 2 y. ?

1 y ? sin 2 x ,所求曲线 C 的方程为 y ? 2sin 2 x . 2

39、 (2009 厦门十中) (矩阵)已知矩阵 A= ? ①计算 AB;

? 2 1? ? 1 ?2 ? ? ,B= ? ?. ? ?1 2 ? ?0 1 ?

②若矩阵 B 把直线 l : x ? y ? 2 ? 0 变为直线 l ? ,求直线 l ? 的方程.



①AB= ?

? 2 ?3 ? ? ? ?1 4 ?

②任取直线 l 上一点 P(x,y),设 P 经矩阵 B 变换后为 P? ? x?, y?? ,则

? x? ? ? 1 ?2 ?? x ? ? x ? 2 y ? ? x? ? x ? 2 y ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ,? ? ? ? y ? ? 0 1 ?? y ? ? y ? ? y ?y

? x ? x? ? 2 y? ?? ? y ? y?

代入 l : x ? y ? 2 ? 0 ,得 x? ? 3 y? ? 2 ? 0 ,∴直线 l ? 的方程为 x? ? 3 y? ? 2 ? 0 . 40、 (2009 厦门同安一中) (矩阵)在直角坐标系中, ?OAB 的顶点坐标 O(0,0) , A(2,0) ,

B(1, 2 ) , 求 ?OAB 在 矩 阵 MN 的 作 用 下 变 换 所 得 到 的 图 形 的 面 积 , 其 中 矩 阵
?1 M ?? ?0 0 ?, ?1 ? N ?? ? 1?

?

?0 ? ?

2? ? 2 ? 2 ? 2 ? ?



? 2 ?,? 2 ? ?1 ? ?1 ? 2 ? 2 ? ? ?0 ? MN ? ? ? ? ? ?0 ? 2 ? ?0 ? 2 ? ?0 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?

?0? ? ? ? ? …2 分 ?1 ? ?0? ?0

2 ? ……4 ? 2 ? ? ? 2? ? ? 2? ?0 ? ?0 ? 2? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?

分.

? 2 ? ?1 ? 2 ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ……5 分 ? ? ? ? ? ?0 ? 2 ? ? 2 ? ?? 1? ? ? 2 ? ?

可知 O, A, B 三点在矩阵 MN 作用下变换所得的点分别为 O?(0,0), A?(2,0), B?(2,?1) . 可得 ?O ?A?B ? 的面积为 1.……7 分. 41、 (2009 厦门一中) 极坐标与参数方程)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? ( 与曲线 ?

?
6

,设 l

? x ? 2cos ? ( ? 为参数)交于两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。 ? y ? 2sin ?

? ? ? 3 t ?x ? 1? ? x ? 1 ? t cos 6 ? ? 2 解 直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 t ?x ? 1? ? 2 2 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 曲线的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ,把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
42、 (2009 厦门二中) 极坐标与参数方程)已知直线 l 的参数方程: ? (

? x ? 2t ( t 为参 ? y ? 1 ? 4t

数) ,圆 C 的极坐标方程: ? ? 2 2 sin?? ?

? ?

??

? ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 4?

解 将直线 l 的参数方程化为普通方程为: y ? 2 x ? 1 将圆 C 的极坐标方程化为普通方程为: ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

从圆方程中可知:圆心 C(1,1) ,半径 r ? 所以,圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 所以直线 l 与圆 C 相交.

2
?



2 ?1 ? 1 ? 1 2 2 ? (?1) 2

2 5

? 2?r

43、 (2009 厦门集美中学) 极坐标与参数方程) ( 求曲线 ?

? x ? sin ? 过点 (0,2) 的切线方程. ? y ? cos 2?

x ? sin ? , y ? 1 ? 2 sin 2 ? ,消去参数 ? 得 2x 2 ? y ? 1 .
设切线为 y ? kx ? 2 ,代入得 2 x ? kx ? 1 ? 0
2

令 ? ? k ? 8 ? 0 ,得 k ? ?2 2 ,故 y ? ?2 2x ? 2 即为所求.
2

或 y ? ? ?4 x ,设切点为 ( a, b) ,则斜率为 ? 4a ? 即得切线方程.

b ? 2 1 ? 2a 2 ? 2 2 ? ,解得 a ? ? , a a 2

44、 (2009 厦门乐安中学) 极坐标与参数方程)在极坐标系中,设圆 ? ? 3 上的点到直线 (

? cos ? ? 3 sin ? ? 2 的距离为 d ,求 d 的最大值.


?

?

? cos ? ? 3 sin ? ? 2 可化为 x ? 3 y ? 2
在x
2

?

将极坐标方程 ? ? 3 转化为普通方程: x

2

?

? y2 ? 9

? y ? 9 上任取一点 A ?3cos? ,3sin ? ? ,则点 A 到直线的距离为
2

2 45 、( 2009 厦 门 十 中 )( 极 坐 标 与 参 数 方 程 ) 已 知 圆 C 的 参 数 方 程 为
? x ? 1 ? 2 cos? , ??为参数? ,若 P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交点,以原点 O 为极点,x 轴的 ? y ? 3 ? 2 sin ? ?
正半轴为极轴建立极坐标系,设过点 P 的圆 C 的切线为 l,求直线 l 的极坐标方程. 解 由题设知,圆心 C 1, 3 , P?2.0? ∠CPO=60°,故过 P 点的切线飞倾斜角为 30° 设 M ?? ,? ? ,是过 P 点的圆 C 的切线上的任一点,则在△PMO 中, ∠MOP= ? ?OMP ? 300 ? ? , ?OPM ? 1500 由正弦定理得

d?

3cos ? ? 3 3 sin ? ? 2 2

?

6sin(? ? 300 ) ? 2

,它的最大值为 4

? ?

OM OP ? 2 ? ,? ? 0 sin ?OPM sin ?OMP sin150 sin 300 ? ?

?

?

? ? cos ? ? 600 ? 1 或?sin 300 ? ? ? 1 ,即为所求切线的极坐标方程。
46、 (2009 厦门英才学校) 极坐标与参数方程 )求极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 (

?

?

?

?

? ?

? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值.
解 由

?

?

? ? 2 即 ? 2 ? 4 则 易 得 x2 ? y 2 ? 4 , 由 ? c o ? ? 3 s i ? ? 6 易 得 s n
? 圆心 (0, 0) 到直线的距离为 d 0 ?
0?0?6 12 ? ( 3) 2 ?3

?

?

x ? 3 y ? 6? 0
?

又圆的半径为 2 , ? 圆上的点到直线的距离的最小值为 d ? d0 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 .

47、(2009 南京一模)已知矩阵 M ? ?

?0 1? ?0 ? 1? ? , N ? ?1 0 ? 。在平面直角坐标系中, ?1 0? ? ?

设直线 2 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线 F ,求曲线 F 的方程 解 由题设得 MN ? ?

?0 1? ?0 ? 1? ?1 0 ? ??? ??? ? ,设 ( x, y ) 是直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点, ?1 0? ?1 0 ? ?0 ? 1?

点 ( x, y ) 在矩阵 MN 对应的变换作用下变为 ( x ?, y ?) ,

则有 ?

?1 0 ? ? x ? ? x?? ? x ? ? x?? ? x ? x? ? ? y ? ? ? y ?? , 即 ?? y ? ? ? y ?? ,所以 ? y ? ? y ? ?0 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

因为点 ( x, y ) 在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,从而 2 x? ? (? y ?) ? 1 ? 0 ,即: 2 x? ? y ? ? 1 ? 0 所以曲线 F 的方程为

2x ? y ? 1 ? 0

2 48、(2009 金陵中学三模)(1)设 x 是正数,求证: ?1 ? x ? 1 ? x

?

??1 ? x ? ? 8 x
3

3



(2)若 x ? R ,不等式 ?1 ? x ? 1 ? x 2 1 ? x 3 ? 8 x 3 是否仍然成立?如果仍成立,请给 出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的 x 的值.
3 简证: (1)∵ x ? 0 ,∴ 1 ? x ? 2 x ? 0 , 1 ? x ? 2 x ? 0 , 1 ? x ? 2 x x ? 0 ,三个
2
2 同向正值不等式相乘得 ?1 ? x ? 1 ? x

?

??

?

?

??1 ? x ? ? 8 x
3

3

. ---------5 分

简解: (2) x ? R 时原不等式仍然成立. 思路 1:分类讨论 x ? 0 、 ?1 ? x ? 0 、 x ? ?1 、 x ? ?1 证;
2 ?? 1 ? 3? 思路 2:左边= ?1 ? x ? ?1 ? x ? ?? x ? ? ? ? ? 0 .---------------10 分 2 ? 4? ?? ? ? 2 2

49、(2009 南京一模)选修 4-5:不等式选讲,已知 a, b 为正数,求证: 证明:? a ? 0, b ? 0 ,所以

1 4 9 ? ? . a b a?b

1 4 b 4a b 4a (a ? b)( ? ) ? 5 ? ? ? 5?2 ? ?9 a b a b a b

?

1 4 9 ? ? a b a?b
?? ? 7 ? ?1 2 ? ? ,向量 ? ? ? 4 ? . ? ?1 4 ? ? ?

50、(2009 通州第四次调研)(矩阵与变换)已知矩阵 A ? ?
?? ? ?? ? (1)求矩阵 A 的特征值 ?1 、 ? 2 和特征向量 ?1 、 ? 2 ;

(2)求 A5 ? 的值. 解 (1)矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?

? ?1
1

?2

??4

? ? 2 ? 5? ? 6 ,

令 f (? ) ? 0 ,得 ?1 ? 2, ?2 ? 3 , ?? ? 2? ? ?? ?1? ? 当 ?1 ? 2 时,得 ?1 ? ? ? ,当 ?2 ? 3 时,得 ? 2 ? ? ? . ?1 ? ?1? ? ? ?? ? ?? ? ? 2m ? n ? 7 (2)由 ? ? m?1 ? n?2 得 ? ,得 m ? 3, n ? 1 . ?m ? n ? 4 ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ∴ A5 ? ? A5 (3?1 ? ?2 ) ? 3( A5 ?1 ) ? A5 ?2

…………………5 分

?? ? ?? ? ? 2? ?1? ? 435? 5 ? 3(?15 ?1 ) ? ?2 ? 2 ? 3 ? 25 ? ? ? 35 ? ? ? ? ? .……………………10 分 ?1 ? ?1? ?339 ?

51、(2009 通州第四次调研)(不等式选讲)对于任意实数 a(a≠0)和 b,不等式|a+b| +|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|恒成立,试求实数 x 的取值范围. 解 由 题 知 , | x ? 1| ? | x ? 2 |?

| a ?b| ? | a ?b| 恒 成 立 , 故 |x - 1| + |x - 2| 不 大 于 |a|

| a ? b | ? |a ? b | 的最小值 |a|
∵ | a ? b | ? | a ? b |?| a ? b ? a ? b |? 2 | a | 当且仅当(a+b)(a-b) ≥0 时取等号



| a ?b| ? | a ?b| 的最小值等于 2. |a|
1 5 ?x? 2 2

5分

∴x 的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2 的解 解不等式得 10 分

52、(2009 扬州大学附中 3 月月考)设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐 标伸长到 3 倍的伸压变换. (Ⅰ)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量; (Ⅱ)求逆矩阵 M

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程. 4 9 ? 2 0? 解(Ⅰ)由条件得矩阵 M ? ? , 0 3? ? ? ?1 ? ? 0 ? 它的特征值为 2 和 3 ,对应的特征向量为 ? ? 及 ? ? ; ? 0 ? ?1 ?
?1

以及椭圆

?1 (Ⅱ) M ?1 ? ? 2 ? ?0 ? ?

? 0? x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程为 x2 ? y 2 ? 1. ,椭圆 ? 4 9 1? 3? ?

53、(2009 通州第四次调研)求经过极点 O (0, 0), A(6, 程.

?
2

), B(6 2,

9? ) 三点的圆的极坐标方 4

解 将点的极坐标化为直角坐标,点 O, A, B 的直角坐标分别为 ? 0,0? , ? 0,6? , ? 6,6? , 故 ?OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形,圆心为 ? 3,3? ,半径为 3 2 ,
2 2 圆的直角坐标方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 3? ? 18 ,即 x ? y ? 6 x ? 6 y ? 0 ,
2 2

将 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入上述方程,得 ? ? 6? ? cos? ? sin ? ? ? 0 ,
2

即 ? ? 6 2 cos ? ? ?

? ?

??

?. 4?

?? ? 54、 (2009 盐城中学第七次月考)若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ? 1 与 ? ? 2 cos?? ? ? , 3? ?

它们相交于 A, B 两点,求线段 AB 的长. 解 由 ? ? 1 得 x 2 ? y 2 ? 1, 又? ? ? 2 cos(? ?

?
3

) ? cos ? ? 3 sin ? ,? ? 2 ? ? cos ? ? 3? sin ?

? x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 ,
由?

? x2 ? y 2 ? 1 ? ?x ? y ? x ? 3y ? 0 ?
2 2

得 A(1, 0), B(? , ?
2

1 2

3 ), 2

2 3? ? 1? ? ? AB ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? ? 3. 2 ? ? 2? ? ? ?

55、(2009 南通一模)如图,PA 切⊙O 于点 A ,D 为 PA 的中点,过点 D 引 割线交⊙O 于 B 、 C 两点.求证: ?DPB ? ?DCP . 证明 因为 PA 与圆相切于 A , 所以 DA2 ? DB ? DC , 因为 D 为 PA 中点,所以 DP=DA,
2 所以 DP =DB·DC,即 PD ? DB . DC PD

P D A B O·

因为 ?BDP ? ?PDC , 所以 ?BDP ∽ ?PDC , 所以 ?DPB ? ?DCP . C


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