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福建省长泰一中高考数学一轮复习《不等式证明》(二)学案


福建省长泰一中高考数学一轮复习《不等式证明》(二)学案
基础过关

例 1. 已知 f(x) =x +px+q, (1) 求证:f(1)+f(3)-2f(2)=2; (2) 求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一个不小于 .
2 1

2

证明: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2 (2)用反证法。假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于 ,则|f(1)|+2|f(2)|+|
2 1

f(3) |<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2,出现矛盾. ∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 .
2 1

变式训 练 1:设 a 、 b 、 c ? A.都不大于 2 B.都不小于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 解: D

R

?

,那么三个数 a ?

1 b

、b ?

1 c

、c ?

1 a

( )

例 2. (1) 已知 x +y =1,求证: ?
2 2

2

2

1? a

2

? y ? ax ?

1? a

2

. .

(2) 已知 a、b∈R,且 a +b ≤1,求证: 证明:(1)设 x ? cos ? , y ? sin ? ∴
y ? ax ? sin ? ? a cos ? ?
1 1? a
2

a ? 2 ab ? b
2

2

?

2

1 ? a sin( ? ? ? )
2

(其中 cos ? ∵ ∴

?

, sin ? ? ?

a 1? a
2

)

? 1 ? sin( ? ? ? ) ? 1

?

1? a

2

? y ? ax ?

1? a

2

用心 爱心 专心

1

(2)令 a ? k sin ? , b ? k cos ? (其中 k ≤1), 则
a ? 2 ab ? b
2 2

2

? k sin ? ? 2 k sin ? cos ? ? k cos ?
2 2 2 2 2

? k

2

2 sin( 2 ? ?

?
4

)



2k ?
2

2

故原不等式成立. 2 2 变式训练 2: 设实数 x,y 满足 x +(y-1) =1,当 x+y+c≥0 时,c 的取值范围是( )

A. [ C. [

2 ? 1,,? ? )

B.

( ?? ,, 2 ? 1]

2 ? 1,,? ? )

D. ( ?? ,,

2 ? 1]

解:A 例 3. 若 n ? N ,且
1 2 ? 1 n ?1 ? 1 2
2

n ? 2

,求证:
1 n
2

?

1 3
2

? ????

?1

证明:当 n ? 2 时
? 1 2
2

n ( n ? 1) ? n

2

? n ( n ? 1)



1 n

?

1 n ?1

?

1 n
2

?

1 n ?1

?

1 n

? 1 n ?

1 3
2

? ??? ? 1 )?

1 n 1 2
2

?( 1

1 2

?

1 3

)?(

1 3

?

1 4

) ? ???

?(

n ?1

?

n ?1



1 2
2

? 1

1 3
2

? ??? ? 1 n

1 n
2

? (1 ? 1 n ?1

1 2

)?(

1 2

?

1 3

) ? ???

?(

n ?1

?

) ?1?

故原不等式成立.

用心 爱心 专心

2

综合(1)和(2)可知, 即
1 2 ? x ? x ?1
2

1 2

? y?

3 2



x ?1
2

?

3 2


f ( x ) ? ax
2

变式训练 4:设二次函数
y ? x

? bx ? c ( a 、 b 、 c ? R 且 a ? 0 )

,若函数 y ?

f (x)

的图象与直线

和 y ? ? x 均无公共点.
?b
2

(1) 求证: 4 ac

?1

(2) 求证:对于一切实数 x 恒有 | ax 2
2

? bx ? c | ?

1 4|a|

证明:(1)由 ax +(b-1)x+c=0 无实根,得 Δ 1=(b-1) -4ac<0 2 由 ax +(b+1)x+c=0 无实根 2 得 Δ 2=(b+1) -4ac<0 2 两式相加得:4ac-b >1 (2)∵4ac-b >1>0, ∴a(x+ ∴|ax+bx+ c|=| a(x+ =|a|(x+ 归纳小结 1.凡是含有“至少”,“至多”,“唯一”,“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证 法. 2.在已知式子中,如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数,可进 行三角变换,换元法证明不等式时,要注意换元的等价性. 3 .放缩法证题中,放缩必须有目标,放缩的途径很多,如用均值不等式,增减项、放缩因 式等. 4.含有字母的不等式,如果可以化成 一边为零,另一边是关于某字母的二次三项式时,可 用判别式法证明不等式成立,但要注意根的范围和题设条件的限制.
b 2a
2

2

b 2a b 2a

) 与 )+
2

2

4 ac ? b 4a

2

同号, |

4 ac ? b 4a

2

) +

2

4 ac ? b 4a

2



4 ac ? b 4a

2

>

1 4a

用心 爱心 专心

3


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