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2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件:第66讲 随机事件的概率、古典概型与几何概型


1.了解随机事件的含义,了解频率与概率的区别.

2.理解古典概型,掌握其概率计算公式,会求一些 随机事件发生的概率.
3.了解几何概型的意义及其概率的计算方法,会计 算简单几何概型的概率. 4.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.

1. 事 件

?1 ? 必 然 事 件 : 在 条 件 S 下 , ①

__________ 的 事 件

称 为 相 对 于 条 件 S的 必 然 事 件 .

?2?不 可 能 事 件 : 在 条 件 S下 , ② ?3?随 机 事 件 : 在 条 件 S下 , ③

__________ 的 事 件

称 为 相 对 于 条 件 S的 不 可 能 事 件 . ___________ 的 事 件

称 为 相 对 于 条 件 S的 随 机 事 件 .

2. 随 机 试 验 如 果 试 验 满 足 下 列 三 个 特 性 :1 ? 可 以 在 相 同 的 条 件 下 ? 重 复 进 行 ;2 ? 每 次 试 验 的 结 果 具 有 多 种 可 能 性 , 试 验 ? 前 可 以 明 确 知 道 所 有 的 可 能 结 果 ;3 ? 进 行 一 次 试 验 之 ? 前不能确定哪一个结果会出现,则称该试验为随机 试验.

3. 频 率 和 概 率

?1 ? 频 数 与 频 率 : 在 相 同 的 条 件 下 重 复 n次 试 验 ,
观 察 某 一 事 件 A是 否 出 现 , 称 n次 试 验 中 事 件 A 出 现 的 次 数 n A 为 事 件 A出 现 的 频 数 , 称 事 件 A 出 现 的 比 例 ④ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为 事 件 A出 现 的 频 率 .

?2?概 率 : 在 相 同 的 条 件 下 , 大 量 重 复 进 行 同 一
试 验 时 , 随 机 事 件 A发 生 的 频 率 会 在 某 个 常 数 附 近 摆 动 , 即 随 机 事 件 A发 生 的 频 率 具 有 稳 定 性 . 这 时 , 把 这 个 常 数 叫 做 随 机 事 件 A的 概 率 , 记 作 ⑤ __________ .

4. 随 机 事 件 的 概 率 任 何 事 件 的 概 率 是 ⑥ __________ 之 间 的 一个数,它度量该事件发生的可能性. 小 概 率 ( 接 近 0 )事 件 很 少 发 生 , 而 大 概 率 ( 接 近 1) 事 件 则 经 常 发 生 .

5. 基 本 事 件 基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件, 每次试验只出现其中的一个基本事件,其他事件 可以用它们来表示.

6. 古 典 概 型 把具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为 古典概型:

?1 ? 试 验 的 所 有 可 能 结 果 ( 基 本 事 件 )只 有 有 限 个 ,
每次试验只出现其中的一个结果;

?2?每 一 个 试 验 结 果 出 现 的 可 能 性 ⑦

_______ .

7. 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 对 于 古 典 概 型 , 若 试 验 的 所 有 基 本 事 件 数 为 n, 随 机 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 数 为 m , 则 事 件 A的 概 率 为 ⑧ __________. 8. 几 何 概 型 如 果 事 件 A发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 长 度 (面 积 、 体 积 )成 比 例 , 则 称 这 样 的 概 率 模 型 为几何概型.

9. 几 何 概 型 的 两 个 特 点 一 是 ⑨ __________ , 即 每 次 试 验 的 基 本 事 件 个 数 可 以 是 无 限 的 ; 二 是 ⑩ __________ , 即 每 个 基 本 事件的发生是等可能的. 10. 几 何 概 型 的 概 率 计 算 公 式 P ? A? ? ? .

11. 随 机 数 的 含 义 随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且 得到这个范围内的每一个数的机会一样.

【要点指南】 ①一定会发生; ②一定不会发生; ③可能发生也可能不发生; nA ④ ; ⑤ P ? A ?; ⑥ 0到1 ; ⑦ 相 同 ; n ⑧P ? A? ? ? m n ;⑨无限性;⑩等可能性;

构 成 事 件 A的 区 间 长 度 ( 面 积 或 体 积 ) 试验全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

1.下列事件中是随机事件的是(

)

A.在标准大气压下,水加热到 8℃时会沸腾 B.汽车排放尾气,一定污染环境 C.把 9 写成两个数的和,其中有一个数小于 3 D.任取一个正方体的三个顶点,这三个顶点不共面

【解析】 由必然事件, 不可能事件和随机事件的含义 判断选项 A、D 是不可能事件,B 是必然事件,而 C 是 随机事件,故选 C.

2.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 ξ 描述一次该项试验的成功次数,则 P(ξ=0)等于( A.0 1 C.2 1 B.3 2 D.3 )

1 【解析】1-P(ξ=0)=2P(ξ=0),即 P(ξ=0)=3.

3.某射击运动员射击命中 9 环以上的概率为 40%,射击 中心用随机模拟的方法估计这名射击运动员三次射击中命中 9 环以上两次的概率,先由计算器产生 0~9 之间取整数值的随 机数,指定 0,1,2,3 表示命中 9 环以上,4,5,6,7,8,9 表示没有命 中 9 环以上,再以每三个随机数为一组,代表三次射击结果, 经随机模拟产生如下 10 组随机数: 431,257,392,023,551,488,731,752,534,989 据此估计该运动员射击三次恰好有两次命中 9 环以上的概 率为 0.3 .

【解析】 表示恰好两次命中 9 环以上的随机数组有: 431,392,731,共三组,因此射击三次恰有两次命中 9 环以 3 上的概率 P=10=0.3.

4. 把 10 张 质 地 相 同 的 卡 片 分 别 写 上 数 字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 后,任意搅乱放入一纸箱内,从中任取 3 一张,则所抽取的卡片上数字小于 3 的概率是 10 .

【解析】从 10 张卡片中任取一张共有 10 种可能,其中 3 小于 3 的有 0,1,2 共 3 种,故所求事件的概率 P=10.

5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体内随机取 1 1 一点 M, 则使四棱锥 M-ABCD 的体积小于6的概率是 2 .

【解析】设点 M1 到平面 ABCD 的距离为 h. 1 1 1 若 VM1-ABCD=3SABCD· 6,则 h=2, h= 1 可知所有满足到平面 ABCD 的距离小于2的点 M, 1 1 使得 VM-ABCD<6, 所以点 M 在以 ABCD 为底面, 高为2, 1 1 体积为2的长方体内,从而所求概率 P= = . V正方体 2 1 2



古典概型

【例 1】 10 个学生, 有 分别佩带着从 1 号到 10 号的校 徽,任意取 3 人记录其校徽的号码. (1)求最小号码为 5 的概率; (2)求 3 个号码中至多有一个是偶数的概率; (3)求 3 个号码之和不超过 9 的概率.

【解析】(1)从 10 人中任取 3 人,共有 C3 种,最小号码为 5, 10 相当于从 6,7,8,9,10 共五个中任取 2 个,则共有 C2种结果. 5 C2 1 5 则最小号码为 5 的概率为 P=C3 =12. 10 (2)选出 3 个号码中至多有一个是偶数,包括没有偶数和 恰有一个偶数两种情况,共有 C3+C1C2种.所以满足条件的 5 5 5 C3+C1C2 1 5 5 5 概率为 P= C3 =2. 10

(3)3 个号码之和不超过 9 的可能结果有: (1,2,3)、 (1,2,4)、 (1,2,5)、 (1,2,6)、 (1,3,4)、 (1,3,5)、 (2,3,4). 7 7 则所求概率为 P=C3 =120. 10

【点评】古典概型有两个特点:①试验结果有限;②每 个试验结果是等可能的.解题时,关键是要找出所有基本事 件总数和所求基本事件数,常常需要用到排列组合、列举的 方法和分类讨论的思想.

素材1

现有 7 名数理化成绩优秀者,其中 A1,A2,A3 的 数学成绩优秀,B1,B2 的物理成绩优秀,C1,C2 的化 学成绩优秀,从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 一名,组成一个小组代表学校参加竞赛. (1)求 C1 被选中的概率; (2)求 A1 和 B1 不全被选中的概率.

【解析】从 7 人中分别选出数学、物理、化学成 绩优秀者各一名,共有 C1C1C1=12 种,而 C1 被选中, 3 2 2 共有 C1C1=6 3 2 6 1 种,故 C1 被选中的概率 P1=12=2.

(2)用 N 表示事件“A1,B1 不全被选中”,由于 A1,B1 全被选中共有 C1=2 种,从而 A1,B1 不全被选 2 10 5 中共有 12-2=10 种,故 P(N)=12=6.

二 几何概型及计算
【例 2】(2011· 福建卷)(1)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取 自△ABE 内部的概率等于( 1 A.4 1 C.2 1 B.3 2 D.3 )

(2)(2011· 湖南卷)已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25. (ⅰ)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________; (ⅱ)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 ________. (3)(2011· 江西卷)小波通过做游戏的方式来确定周末活动, 他随 1 机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于2,则周 1 末去看电影;若此点到圆心的距离小于4,则去打篮球;否则, 在家看书,则小波周末不在家看书的概率为__________.

1 【解析】(1)因为 S△ABE=2|AB|· |BC|,S 矩形=|AB|· |BC|,则 S△ABE 1 点 Q 取自△ABE 内部的概率 P= = ,故选 C. S矩形 2

|-25| (2)(ⅰ)圆心到直线的距离为 d= 2 2=5. 3 +4 (ⅱ)当圆 C 上的点到直线 l 的距离是 2 时有两个点为点 B 与点 D,设过这两点的直线方程为 4x+3y+a=0,同时可得到 圆心到直线 4x+3y+a=0 的距离为 OC=3.

又圆的半径为 r=2 3,可得∠BOD=60° ,由图可知点 1 c A 在弧 BD 上移动,弧长 l BD =6×c=6,圆周长为 c, l BD 1 故 P(A)= c =6.

(3)设 A={小波周末去看电影},B={小波周末去打篮球}, C={小波周末在家看书},D={小波周末不在家看书},如 图所示, 12 12 ?2? π-?4? π 13 则 P(D)=1- =16. π

【点评】几何概型的特征是:基本事件是由某一区间 上某区域内,某几何体内的点构成,其概率 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

素材2
(1)假设车站每隔 10 分钟发一班车,若某乘客随机到达车 站,求其等车时间不超过 3 分钟的概率为 0.3 . (2)如图,在一个边长为 a(a>0)的正方形内画一个半圆, a 其半径为 r(0<r≤2),向该正方形内随机投一点,则所投的点 πr2 落在半圆内部的概率为 2a2 .

【解析】(1)要使得等车的时间不超过 3 分钟,即到达的 时刻应该是下图中 A 包含的时间点. A的长度 3 故 P= = =0.3. S的长度 10

(2)记 A={所投的点落在半圆内部}. 1 2 πr2 因为 S 正方形=a2,S 半圆=2πr = 2 , πr2 2 πr2 所以 P(A)= a2 =2a2. πr2 故所投的点落在半圆内部的概率是2a2.



频率估计概率及应用

【例 3】(2011· 陕西卷)如图,A 地到火车站共有两条 路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进 行调查,调查结果如下:

(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用的时间落在上表中各时间 段内的频率; (3)现甲、 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火 车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计 算说明,他们应如何选择各自的路径.

【解析】(1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不 能赶到火车站的有 12+12+16+4=44 人, 用频率估计相应的概率为 0.44.

(2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人, 故由调查结果得频率为:

(3)A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站; B1,B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站. 由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6; P(A2)=0.1+0.4=0.5,则 P(A1)>P(A2), 故甲应选择 L1; 因为 P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,则 P(B2)>P(B1), 所以乙应选择 L2.

【点评】虽然频率与概率的含义有差异,一般地概 率是频率的近似值,但在实际问题中常常用频率估计对 应事件发生的概率, 同时在研究实际问题要求收集数据, 整理数据,并分析数据的意义.

素材3

某运动员进行 20 次射击练习, 记录了他射击的有关

数据,得到下表:

(1)求此运动员射击环数的平均数; (2)若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结 果,在四个结果中,随机取 2 个不同的结果作为基本事件 进行研究,记这两个结果分别为 m 次,n 次,每个基本事 件为(m,n),求“m+n≥10”的概率.

【解析】 (1)运动员射击的总的次数为 2+7+8+3=20, 则运动员射击环数的平均数为 1 172 20(2×7+7×8+8×9+3×10)= 20 =8.6.

(2)记 A 表示事件“m+n≥10”,基本事件(m,n)的所有结 果数为 A2=4×3=12 种, 而事件 A 所包含的结果为(2,8), (7,8), 4 8 2 (3,8),(3,7),(8,2),(8,7),(8,3),(7,3)共 8 种,故 P(A)=12=3.

备选例题

(2011· 惠州市第一次模拟)已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax2- 4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞) 上是增函数的概率;
?x+y-8≤0 ? (2)设点(a,b)是区域?x>0 ? ?y>0

内的随机点,求函数 y

=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.

【解析】 (1)因为函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称 2b 轴为 x= a ,要使 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为 2b 增函数,当且仅当 a>0 且 a ≤1,即 2b≤a, 若 a=1,则 b=-1, 若 a=2,则 b=-1,1, 若 a=3,则 b=-1,1; 所以事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5, 又基本事件总数为 C1· 1=15, 3 C5 5 1 所以所求事件的概率为15=3.

(2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时,函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数, 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为不等式组
?a+b-8≤0 ? ?a>0 ? ?b>0

所表示的平面区域.

构成所求事件的区域为图中阴影部分.如图所示.

?a+b-8=0 ? 由? a ?b=2 ?

16 8 得交点坐标为( 3 ,3),

1 8 2×8×3 1 所以所求事件的概率为 P=1 =3. 2×8×8

1.利用古典概型的概率公式求概率时,关键是求出基 本事件的总个数和事件A包含的基本事件数. 用列举法把基本事件一一列举出来,必须按某一顺 序列举,且做到不重复、不遗漏. 可用集合的观点来探求事件A的概率,如下图所示.

注意基本事件的两个特点:(1)任何两个基本事件是 互斥的;(2)任何事件都可以表示成基本事件的和.

2.对于几何概型的应用题,关键是构造出随机事 件A对应的几何图形,利用几何图形的度量来求随 机事件的概率,根据实际问题的具体情况,合理 设置参数,建立适当的坐标系.在此基础上将试 验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点,便 可构选出度量区域. 古典概型与几何概型的联系与区别,就是古典概 型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等 的,但古典概型要求基本事件有有限个,而几何 概型则是无限个。

3.必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件 下发生的,当条件变化时,事件的性质也发生变化. 4.正确理解“频率”与“概率”之间的关系.概率 可看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随 机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的 前提下可近似地作为这个事件的概率.


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