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2015年益阳市一中高三模拟文数试卷附答案


益阳市 2015 届高三四月调研考试

数学(文史类)
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页. 时量 120 分钟,满分 150 分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 i 为虚数单位,复数 z ? ?1 ? 2i ? i 对应的

点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2 2. 已知集合 M ? ?0,1, 2,3? , N ? x x ? 3 x ? 0 ,则M ∩N ?

?

?

A. ?1, 2?

B.

? x x ? 0?

C.

? x ? ? x ? 3?

D.

?0?

2 3. 命题“若 x ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题是

A.若 x ? 0 ,则 x 2 C.若 x ? 0 ,则 x 2

? ?

0 0

B.若 x 2

?

0, 则 x ? 0

D.若 x 2 ? 0 ,则 x ? 0

4. 已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 的半径,则椭圆的标准方程是

1 2 2 ,它的长轴长等于圆 x ? y ? 2x ?15 ? 0 2
开始

x2 y 2 ? ?1 A. 4 3
C.

x2 ? y2 ? 1 B. 4
x2 y 2 ? ?1 D. 16 12

输入

n

x2 y 2 ? ?1 16 4

k ? 1, S ? 0

k ? k ?1
S ? S ? 2k

5. 当 n ? 3 时,执行如右图所示的程序框图, 输出的 S 值为 A. 30 C. 8 B.14 D. 6

k ? n?
否 输出 S



S
结束

数学(文史类) 试题卷

第 1 页 (共 5 页)

3 2 6 6. 设 a ? tan ? , b ? cos ? , c ? (1 ? sin ? ) 0 ,则 a , b, c 的大小关系是 4 5 5
A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. b ? c ? a

7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 2a A.

2? a 3
3

3

B.

?a
3

3

a
正视图 左视图
3

C. ? a

D.

?a
6

a
俯视图

??2 ? 2 x ? y ? 2 8. 不等式组 ? 围成的区域为 ? ,能够把区域 ? 的周长和面积同时分为 ??2 ? 2 x ? y ? 2

相等两部分的曲线为 A.

y ? x3 ? 3x ? 1
2? x 2? x

B.

y ? x sin 2 x
1 x (e ? e? x ) 4

C. y ? ln

D. y ?

9. 已知函数 f ( x) ? ? A. [?2, 0]

?? x 2 ? 2 x , x ? 0 ?ln( x ? 1) , x ? 0
B. [?2,1]

,若 | f ( x) |? ax ? 1 恒成立,则 a 的取值范围是 D. [?4, 0]

C. [?4,1]

10. 如 图 , 在 △ OMN 中 , A, B 分 别 是 O M , O N的 中 点 , 若 OP ? xOA ? y OB ( x, y ? R ),且点 P 落在四边形 ABNM 内(含边界),则

1 2 , ] 3 3 1 3 C. [ , ] 4 4
A. [

B. [

1 3 , ] 3 4 1 2 D. [ , ] 4 3

y ?1 的取值范围是 x? y?2 N

B
O

P A

M

数学(文史类) 试题卷

第 2 页 (共 5 页)

(第 10 题图)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡 中对应题号后的横线上。
11. 在某市 2015 年“创建省文明卫生城市”知识竞赛中 , 考评组从中抽取 200 份试卷进行分析,其分数的频率分 布直方图如右图所示,则分数在区间 [60, 70) 上的人数大 约有 人.
0.04 0.03 0.02 0.01 O 40 50 60 70 80 分数(分)
频率 组距

12. 如图所示,矩形长为 3,宽为 2,在矩形内随机撒 200 颗 黄豆,数得落在椭圆内的黄豆数为 160 颗,依据此实验数 据可以估计出椭圆的面积约为 13. 在极坐标系中,点A(2, . .

? )与曲线 ? cos ? ? 2 上的点的最短距离为 3

14. 将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图象,若 f ( x), g ( x) 的图象的对称轴重合,则 ? 的值为 .

15. 点 P ( x, y ) 在直线 y ? kx ? 2 上,记 T ?| x | ? | y | ,若使 T 取得最小值的点 P 有无 数个,则实数 k 的取值是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 满足: a 2 ? a 4 ? 6 , a 6 ? S 3 ,其中 S n 为数列 {an } 前 n 项和. (Ⅰ)求数列 {an } 通项公式; (Ⅱ)若 k ? N * ,且 a k , a3k , S 2 k 成等比数列,求 k 的值.

数学(文史类) 试题卷

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17. (本小题满分 12 分) 某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾 天气的重要因素之一, 为此该城市实施了机动车尾号限行政策。 现有家报社想调查了解 该市区公民对“车辆限行”的态度,在该城市里随机抽查了 50 人,将调查情况进行整 理后制成下表: 年龄(岁) 频 数 支持的人数

[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75] 2 4 20 14 5 5 1 3 15 11 4 4

(Ⅰ)请估计该市公民对“车辆限行”的支持率(答案用百分比表示); (Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中采用分层抽样选取 3 人进行跟踪调 查,求选取的 3 人中有 2 人不支持“车辆限行”的概率.

18. (本小题满分 12 分) 已 知 在 △ ABC 中 , 三 条 边 a 、 b 、 c 所 对 的 角 分 别 为 A 、 B 、 C , 向 量

m ? (sin A ,cos A) , n ? (cosB ,sin B) ,且满足 m ? n ? sin 2C .
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin A , sin C , sin B 成等比数列,且 AC ? ( AB ? AC ) ? ?8 , 求边 c 的值并求△ABC 外接圆的面积.

19.(本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面

ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点. (Ⅰ) 求证: PC ? AD ; (Ⅱ) 在棱 PB 上是否存在一点 Q ,使得 A, Q, M , D 四点共面?
若存在,指出点 Q 的位置并证明;若不存在,请说明理由; (Ⅲ) 求点 D 到平面 PAM 的距离.
A B C

P

M

D

数学(文史类) 试题卷

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20. (本小题满分 13 分) 已知抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴上,且抛物线上横坐标为 1 的点到 F 的 距离为 2 ,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点. (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)若 AF ? 2 FB ,求直线 AB 的斜率; (Ⅲ)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的 对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最小值.
O B F

y
A C M

x

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx (b, c ? R) ,其图象记为曲线 C . (Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值为 ?1 ,求 b, c 的值; ( Ⅱ ) 若 f ( x) 有 三 个 不 同 的 零 点 , 分 别 为 x1 , x2 , x3 , 且 x3 ? x2 ? x1 ?0 , 过 点

O( x1 , f ( x1 )) 作曲线 C 的切线,切点为 A ( x0 , f ( x0 )) (点 A 异于点 O ).
①证明: x0 ?

x2 ? x3 ; 2

②若三个零点均属于区间 [0,2) ,求

f ( x0 ) 的取值范围. x0

数学(文史类) 试题卷

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