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周培源力学竞赛辅导


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力学竞赛辅导
?静力学(几何静力学和分析静力学) ?运动学(点的运动学、刚体的运动学) ?动力学1(质点动力学、质点系动力学)

?动力学2(碰撞、动静法)
?综合应用(静力学和动力学的综合应用)

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主要参考书

? 朱照宣等编《理论力

学》北京大学出版社

? 刘延柱等编《理论力学》高等教育出版社
? 贾书惠等编《理论力学辅导》清华出版社 ? 谢传锋主编《理论力学自我检测》北航出版社 ? 高云峰等编《力学小问题及全国大学生力学竞赛试题》清 华大学出版社

2013-7-13

2

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力学竞赛辅导

第一讲
? 平衡方程 ? 虚位移原理

静力学

? 静力学的基本概念与方法

? 例题、思考题、问题(共36个)
3

2013-7-13

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一、基本概念与基本原理和定理

?力系(force system): 作用在物体上的一组力 {F , F2 ,?, Fn } 1
?等效力系(equivalent force system): 对同一刚体产生相同作用效果的力系. Fn F3

{F1 , F2 ,?, Fn } ? {P , P2 ,?, Pm } 1

F1
Pm

F2

{F , F2 ,?, Fn } ? {FR } 1
?合力(resultant force) :与某力系等效的力

P2 P1 FR 称为该力系的合力,Fi(i=1,2,…n)称为合力的分力
2013-7-13 4

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一、基本概念与基本原理和定理

?平衡力系(force system in equilibrium): 对刚体不产生任何作用效果的力系

{F , F2 ,?, Fn } ? {0} 1

平衡力系也称为零力系

注意:刚体的平衡和力系的平衡是两个概念 二力平衡原理:作用于刚体上的两个力为平衡力系的充分必 要条件是:此二力等值、反向、共线

若刚体上只有两点受力且不计质量,则该刚体称为二力构件 或二力杆。作用力方向沿两点连线、大小相等、方向相反。
三力平衡定理: 作用于刚体上的三个力若为平衡力系,则这 三个力共面;或汇交于一点,或平行。
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一、基本概念与基本原理和定理

定理:作用在刚体上的力,沿其作用线移动后,作用效应不变。 作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线

空间任意力系 {F1, F2 ,?, Fn } ? {FR , MO }

简化结果

1、 FR ? 0, MO ? 0 2、FR ? 0, MO ? 0 3、FR ? 0, MO ? 0 4、FR ? 0, MO ? 0
(1) FR ? 0, MO ? 0, FR ?MO (2) FR ? 0, MO ? 0, FR ?MO
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平衡 合力 合力偶 ? 合力
力螺旋
6

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一、基本概念与基本原理和定理

? 判断力系简化的最简结果的基本步骤:
– 计算力系的主矢
– 计算力系向某一点简化的主矩

– 分析主矢与主矩的几何关系

主要采用定性分析的方法
选择题1: 空间平行力系简化的最简结果可能是: A:平衡力系、B:力偶、C:合力、D:力螺旋
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可能是:

一、基本概念与基本原理和定理

选择题2: 一个力偶和一个力构成的力系简化最简结果
A:平衡力系、B:力偶、C:合力、D:力螺旋

选择题3: 两个平面汇交力系构成的平面力系简化的最简
结果可能是: A:平衡力系、B:力偶、C:合力、D:力螺旋

选择题4: 图中的两个力构成的力
系简化的最简结果可能是: A:平衡力系、B:力偶、 C:合力、 D:力螺旋

F1
II I

F2

选择题5: 若作用在立方体上的力系由作用在I面和II面上的 两个平面任意力系构成,该力系简化的最简结果可能是:

A:平衡力系、B:力偶、C:合力、D:力螺旋
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FR ? ? Fi ' ? ? Fi
i ?1
n

二、空间任意力系的平衡条件

空间任意力系简化 {F1 , F2 ,?, Fn } ? {FR , MO }

FR ? 0, MO ? 0
n n i ?1

平衡力系
FR ? (? Fx )2 ?(? Fy )2 ?( ? Fz )2
M O ? ( ? M Ox )2 ?( ? M Oy )2 ?( ? M Oz )2

MO ? ? M i ? ? ri ? Fi
i ?1 i ?1

n

空间任意力系的平衡条件:

?? Fx ? 0 ?? M Ox ( F ) ? 0 ?? M x ( F ) ? 0 ? ? ? ? ? FR ? 0 ? ?? Fy ? 0 M O ? 0 ? ?? M Oy ( F ) ? 0 ? ?? M y ( F ) ? 0, ? ? ? ? Fz ? 0 ?? ?? M Oz ( F ) ? 0 ?? M z ( F ) ? 0 ? ? ?
注:坐标轴正交是力系平衡的充分条件,不是必要条件。
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FR ?

空间汇交力系的平衡条件

空间汇交力系平衡条件的讨论

FR ? FRx i ? FRy j ? FRz k ? 0
2 2 2 FRx ? FRy ? FRz ? 0

FRx ? ? Fx FRz ? ? Fz
空 间 力 系

z

FRy ? ? Fy
FRx ? ? Fx ? 0 ? ? ? FRy ? ? Fy ? 0 ? ? FRz ? ? Fz ? 0 ? ?

?
x
y
问题6:三根轴必须垂直吗?

有三个独立的平衡方程
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三、刚体系与结构的平衡

?静 定 问 题 ( statically determinate problem): 未知量的数目= 独立平衡方程的数目
?静不定问题 ( statically indeterminate problem): 未知量的数目> 独立平衡方程的数目 注: 静不定的物理含义是系统存在有多余约束

静不定结构中,不一定是所有约束力均不能唯一确定
问题7:系统如图所示,已知滑块与地面之间的静/动摩擦因数 和几何尺寸,该系统处于平衡。试分析该系统的静定性。 滑块视为质点 A B

F

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m1 g

m2 g

m3 g

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三、刚体系与结构的平衡
(1)
O A D

思考题8:确定图示桁 架结构的静定性。
A D

(2) O

(3) E O

B A

C D

E

B

C

B

C

E

思考题8+:在图1的桁架上的4个节点(A、B、C、D)中的

一个节点上作用一个力,使得桁架中没有零力杆。
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四、虚位移原理

?元功: ? W ? F ? vdt ? F ? dr , ?W ? M ? ωdt ? M ? dθ 等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效 即: {F1 , F2 ,?, Fn } ? {P1 ,?, Pm } ? {FR , M o } 则

?W ( F ) ? ?W ( P ) ? W ( F ) ? W ( M
i ?1 i j ?1 j R

n

m

O

)

问题9: 如何求纯滚动圆盘轮心移动S距离时, 力F 所作的功。 ?W ? F ? vdt ? F ? dr
R

F F

M

r

?

o

s
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x x

约束的分类
xA
A

xA ? sin t

x

l

l
y
2 2

M

M

y
2

y
2 2
2

M

x ? y ?l

x ? y ?l
2

( x ? sin t ) ? y ? l
2

2

?双面约束:约束方程为等式的约束 ?单面约束:约束方程为不等式的约束 ?定常约束:约束方程中不显含时间t 的约束 ?非定常约束:约束方程中显含时间t 的约束
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?
R

约束的分类
y

纯滚动
x

o s 约束方程:
o

? y
y

v
? x
?
x

? ? s ? ?R s ? ?R

? y tan ? ? ? x

?完整约束: 约束方程中不含速度项的约束 ?非完整约束: 约束方程中含有速度项(不可积)的约束 ?广义坐标: 确定系统位置的独立参数。 ?自由度: 广义坐标的数目k(在完整约束情况下)
2013-7-13

k = 位形坐标数 - 独立的约束方程数

15

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问题10: 图示系统具有什么 类型的约束?试确定系统的 自由度和广义坐标。

约束的分类
y A ? sin t

o
A

x

?

l
B

R

A

B r
图 1 齿轮机构

y
A

图 2

B
O
图 3 圆盘放置在光滑地面上

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16

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?rA
A

虚位移与理想约束

?虚位移: 在给定瞬时,质点或质点系为 约束容许 的 任何 微 小位移。 ?r

? rA
? ? 90
0

?rA
?

A

?rA
?

?rB

B

O

?rB

O

?

?rB

B ? rB

虚 位 移 特 点

1、不同瞬时或位置,虚位移不同

2、必须满足约束条件 3、是无限小的,不是有限位移
4、虚位移不只有一个或一组

[?rA ]AB ? [?rB ]AB
{?rA , ?rB } {?rA , ?rB }
17

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y

虚位移与理想约束

思考题11: 杆匀角速度转动,确定图示瞬时质点的虚位移

? ?r

对于定常约束,实位移是虚位移之一

x

?F
i ?1

n

Ni

? ?ri ? 0

? 理想约束: 质点系中所有约束力在任何虚位移上所作
虚功之和为零的约束。 思考题12:若两物体之间 有摩擦,系统是否一定不 是理想约束。
2013-7-13

B A
地面光滑

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虚位移原理

虚位移原理:具有双面、理想约束的静止的质点系, 在给 定位置保持平衡的充要条件是:该质点系所有主动力在系 统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。 思考题13:判断在图示位置系统是否 有可能平衡.(F,M 均不为零) C C F

? F ? ?r
i ?1 i

n

i

?0

M
B
A B A

M F

F

F
19

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?V ? 0, ( j ? 1,?, k ) ?q j

平衡位置的稳定性

设质点系的势能函数连续可微: V ? V ( q1 , q2 ,?, qk ) 质点系在势力场中平衡的充分必要条件是:

定理:质点系在势力场中的平衡位置是稳定的充分必要
条件是系统在平衡位置的势能为极小值。 质点系在势力场中平衡及其稳定性分析的基本步骤: 1、给出系统的势能函数;2、确定系统的平衡位置 3、讨论平衡位置的稳定性
2013-7-13 20

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平衡位置的稳定性

竞赛题14: 不倒翁如图所示,其下半部为一半径为R的半圆球, 不倒翁的重心位于C点,且AC=h,若不倒翁在图示位置是稳 定的,其稳定性与下面哪些量有关.
A

1. 不倒翁的质量m 2. 半圆球的半径R
O R C

3. 重力加速度g

mg

4. 重心的位置h

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静力学的思考题与例题

题15:在下列图示结构中,构件AC上作用有一已知力偶(构 件自重不计),试确定铰链A处约束力的方向。
AB ? AC , AC ? AB

思考题16:上述结构中,A点约束力最大的是哪个结构? 思考题17:在下列图示结构中,构件AC上的D点作用有一已 知力(构件自重不计),回答上述问题。

2013-7-13

22

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静力学的思考题与例题
D

思考题18:下面哪些系统是可以保持平衡的结构? A D A

F
B
L L (1) L

F
B
L
(2)

C D

C
L L

A

A

D

F
B
L
2013-7-13 (3) L

F
B C
L L (4) L
23

C
L

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链B的约束力FB的方向。
不计构件自重 A

静力学的思考题与例题
A D

思考题19:确定图示结构 中哪个二力杆受拉以及铰

F
B
L
(2)L

L

D

A

C D

F
B
L
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F
B

L (1)

L

C

L

L (3)

L

C
24

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M1
I II A B

静力学的思考题与例题

思考题20:重为W的均质正方体用球铰链约束,其上作用有两 个大小相等的主动力偶(如图所示),该正方体能否平衡?

M
I B 问题22:该 系统是否是 静定结构?

F
M2

A

思考题21:重为W的均质正方体用球铰链约束,其上作用有一 主动力和一主动力偶(如图所示),求平衡时力与力偶的关系。 设正方体的棱长为L。
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? ? Fx ? 0 ? ? ? Fy ? 0 ? ? ? Fz ? 0

静力学的思考题与例题

问题23:空间汇交力系的平衡方程独立的充分必要条件:
A:三个轴正交; B:三轴不共面;

C:三轴相交不共面; D:三轴的单位向量不相关

问题24:空间汇交力系的平衡方程能否用取矩式给出? 问题25:给出空间汇交力系的平衡方程的三矩式:

z

F1
o x
2013-7-13

FR

F2
y

Fn

? ? M l1 ? 0 ? ?? M l2 ? 0 确定三根轴的位置 ? M ?0 ? ? l3
26

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静力学的思考题与例题

思考题26:长正方体上作用有一空间任意力系,对其 中六个轴的取矩方程均成立(如图A和图B所示), 该力系是否是平衡力系。
l3
MO

l3
FR

l5

MO

FR

l5 ? ? M l ? 0

l6
o
l2

l6
l1

o B

1 ? ?? M l2 ? 0 ? M ?0 l 2 ? ? l3

Mo ? 0

l1

A

l4

l4

{F1 , F2 ,?, Fn } ? {FR , Mo }

平衡条件: FR ? 0 Mo ? 0
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?? M l 4 ? 0 ? ? ? M l5 ? 0 ? M ?0 ?? l 6



FR ? 0

27

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静力学的思考题与例题
II

思考题27: 长方体I和II面上的A、B 两点各作用有一在该面内的汇交力系, 则该力系最多有几个独立的平衡方程? A:2个 B:3个 C:4个 D:5个
A

B

I

思考题28:长方体I和II面上的A、B两 点各作用有一在该面内的汇交力系, 则该力系最多有几个独立的平衡方程? A:2个 B:3个 C:4个 D:5个

II

B

A

I 2013-7-13 28

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静力学的思考题与例题

问题29: 如图所示,半圆盘放在光滑的水平面上,杆AB放在半 圆盘上,若杆与半圆盘的静滑动摩擦因数为f。求维持平衡时, 杆与水平面的最大夹角。
B C O

问题:如何确定地面作用

?

在半圆盘上合力的作用线
A

位置?

问题30: 若上题中,杆与半圆盘间是光滑的,地面与半圆盘间的 静摩擦因数为tanθ .系统能否维持平衡。
2013-7-13 29

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静力学的思考题与例题

问题31: 如图所示,套筒B固连在长为R的AB杆上,长为3R质量 为m 的CD杆可沿套筒B滑动,杆CD的C端放在粗糙的地面上, 忽略套筒B与CD杆的摩擦以及AB杆和套筒B的质量。若该系统在 图示位置平衡,则CD杆与地面间的最小静滑动摩擦因数为:
A : tan 150 B : tan 300 C : tan 450 D : tan 600

A:

E:没有给出正确答案;

2013-7-13

30

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A

静力学的思考题与例题

问题32:图示系统是机构还是结构?
M

D

L

F
E C

B
L L

L

问题33:试确定铰链A的约束力方向。 问题34:若系统在图示位置平衡,试求弹簧力。
2013-7-13 31

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静力学的思考题与例题

例题35:长为L质量为m的均质杆AB的A端用圆柱铰链铰接, B端放在半径为R质量为2m的均质圆盘上,杆处于水平,圆盘 放在水平地面上,如图所示。圆盘与杆和地面的静滑动摩擦 因数均为f,不计滚阻和铰链A处的摩擦。若系统在图示位置 平衡,求铰链A处的约束力与铅垂线的夹角φ、圆盘D处的摩 擦力以及维持平衡时摩擦因数 f 的最小值。

1 mg ? ? ? ? , FD ? tan 2 2 2
2013-7-13

f min ? tan

?
2
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静力学的思考题与例题

问题36: 在桁架中哪些是零力杆?哪些杆受拉? 哪些杆受压?

零力杆(黑)、压力杆(红)、拉力杆(黄)

2013-7-13

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