当前位置:首页 >> 数学 >> 高中数学知识要点及解题方法精粹(PDF)

高中数学知识要点及解题方法精粹(PDF)


版权所有,不得盗印!若有所需,来电索取!咨询电话:13437215220

目录
目录 .................................................................................. 1 作者自序 .......................................................................... 2 专题 A 常用的数学思想和方法 .................................... 3 专题 B 常用化简技巧与常用公式 ................................ 4 专题 1 集合(B1) ............................................................ 5 专题 2 函数及其定义域(B1) ......................................... 7 专题 3 函数解析式的求法(B1) ..................................... 9 专题 4 值域,最值(B1) ................................................11 专题 5 函数图象及其变换(B1) ................................... 13 专题 6 单调性(B1)....................................................... 15 专题 7 奇偶性、对称性(B1) ....................................... 17 专题 8 周期性(B4)....................................................... 19 专题 9 指数与指数函数(B1) ....................................... 20 专题 10 对数与对数函数(B1) ....................................... 21 专题 11 幂函数的图像与性质(B1)................................ 22 专题 12 函数与方程、二分法(B1) ............................... 23 专题 13 二次方程根的分布(B1) ................................... 24 专题 14 函数的应用(B1) ............................................... 25 专题 15 抽象函数及定点问题(B1) ............................... 26 专题 16 恒成立及有解(B1) ........................................... 27 专题 17 常见函数题型的解题思路(1)(B1) .............. 29 专题 18 空间几何体(B2) ............................................... 31 专题 19 专题 20 专题 21 专题 22 专题 23 专题 24 专题 25 专题 26 专题 27 专题 28 专题 29 专题 30 点、直线、平面之间的关系(B2) .................... 32 空间向量,距离与夹角(X21) ......................... 36 直线方程(B2)................................................... 37 曲线的对称性(B2) ........................................... 39 圆的方程(B2)................................................... 40 算法、程序框图、程序(B3)............................ 43 统计(B3) .......................................................... 45 概率(B3) .......................................................... 48 三角函数(B4)................................................... 49 三角函数的图象与性质(B4)............................ 50 两角和与差的公式(B4) ................................... 51 解三角形(B5)................................................... 52 专题 31 专题 32 专题 33 专题 34 专题 35 专题 36 专题 37 专题 38 专题 39 专题 40 专题 41 专题 42 专题 43 专题 44 专题 45 专题 46 专题 47 专题 48 专题 49 专题 50 专题 51 专题 52 专题 53 专题 54 专题 55 专题 56 专题 57 专题 58 专题 59 平面向量(B4) ................................................... 53 数列(B5) ........................................................... 55 等差数列(B5) ................................................... 56 等比数列(B5) ................................................... 57 递推数列的通项公式(B5) ................................ 58 数列求和(B5) ................................................... 61 数列型不等式的证明(B5) ................................ 62 不等式的性质(B5)............................................ 63 解不等式(B5) ................................................... 64 含参数不等式的解法(B5) ................................ 65 证明不等式常用方法(B5) ................................ 66 线性规划(B5) ................................................... 67 常用逻辑用语[X21] ......................................... 68 椭圆、双曲线、抛物线[X21] .......................... 69 直线交圆锥曲线的解题模式[X21] .................. 70 直线与圆锥曲线的综合知识[X21] .................. 72 曲线中的最值,定值(点),取值范围[X21] .... 73 求轨迹方程[X21] ............................................. 74 坐标系,参数方程(X44).................................. 75 导数[X22] ......................................................... 77 定积分(X22) ..................................................... 80 常见函数题型的解题思路(2)(X22)............. 81 推理与证明[X22] ............................................. 87 复数[X22] ......................................................... 88 排列与组合(X23) ............................................. 89 二项式定理(X23) ............................................. 90 随机变量及其分布(X23).................................. 91 回归分析、独立性检验[X23] .......................... 93 几何证明(X41) ................................................. 94

专题 60 柯西不等式、排序不等式(X45) ...................... 95 专题 61 优选法(X47) ..................................................... 96 专题 C 数学解题表 ...................................................... 98 专题 D 数学解题经验谈 .............................................. 99 后记 .............................................................................. 100

【说明】括号中的 B1 表示必修 1,X21 表示选修 2-1,以此类推! (注意:X11、X12 的内容在加中括号的 X21、X22、X23 中)

总结细致入微,促你于无声处常顿悟! 归纳全面突破,助你求知路上拔头筹!

任何一种简洁的解题方法都离不开准确快速的运算做支撑! 可以说,得运算者得数学,得数学者得天下!

1 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

《高中数学知识要点及解题方法精粹》——打开成功大门的金鈅匙

作者自序
这是一本极具个性和特色的高中数学知识要点和解题方法的辅导工具书! 它是来自于长期在教学一线并从事高三数学教学多年的教师的心血之作! 它站在实用的立场,瞄准高考,几乎一网打尽高考数学解题方法和策略! 一、大开本页面排版,使得每个专题的知识点、题型方法在一面上就能集中连贯流畅的显示,阅读起来非常方 便;它避免了同学们在笔记本上因东抄西写而不成系统的缺陷,因此使用起来效率更高. 二、编排上不同于一些数学知识手册,它不是简单地将课本上的概念、定义、公式、定理简单罗列,而是将有 规律性的数学结论(如周期性、等比型递推数列、线性规划中目标函数的类型等)集中在一起,有些结论给出了详 尽的推导过程,还有一些给出了方法提示,阅读的时候若能比较、鉴别、思考,就能悟出许多解题方法. 三、将平常练习与考试中经常遇到的问题归结为一个题型,或进一步提供解题思路、或进一步归纳解决这一类 ,这句话的含义 问题的理论依据,以达到训练思维的作用.如: “?1 ∈ ,?2 ∈ ,使得方程g(2 ) = (1 )成立” 就是“*| = ( ), ∈ + ? *| = g( ), ∈ +” ,如果悟出了这个含义,涉及它的问题不就很容易解决了吗!

如果平时没有学会这些命题或语句的转化,临到考试时岂不是束手无策?本书(如专题 16)收集了众多这种 能训练思维、清晰解题思路的命题或语句,如果平时能多悟一悟,解题能力必将上一新台阶!
四、强调知识、方法应用的可操作性.作者在归纳中,强调通则通法的掌握运用,并不归纳怪、偏、难的方法, 如专题 17 和专题 52 的 “常见函数题型的解题思路” , 可使学生在模仿解题中感悟, 在感悟中收获. 还有些知识点, 通过作者的反复揣摩,归纳出可操作性的步骤和结论,掌握之后,再全面理解整个知识点的发生过程就容易多了. 五、将教师在教学中常常需要强调的东西形成文字,便于学生反复阅读,从而加深印象.它也将许多散见 于各种资料中和师生面授相传中的好方法汇集在其中. 六、本书归纳的方法、结论、解题规律确实很多,除少部分常用结论和方法要铭记于心之外,大部分只要通 过反复体会和运用就能掌握,无需死记呆背.为了帮助同学们掌握方法和记忆重要结论,或直观理解一些结论,作 者编配了一些顺口溜,绘制了一些对应的图象. 七、本书全面配合高考数学考点的复习安排,因此在一轮复习时若能及时同步消化吸收,必将奠定夺取高分 的坚固基石;本书也是二三轮复习,乃至考前必读材料;高中数学有十多本教材,考前不可能再一一翻阅,正是由 于本书全面配合高考数学考点的复习安排,因此考前对于自己感觉薄弱的地方,及时查阅强化不无裨益便捷.

八、同时本书又适于高一、高二学生作为工具书使用,同步积累知识和方法,为高考打下坚实的基础.

王杰 作者:

态度决定人生的高度! 记性、悟性、自觉性决定了你学习上的收获! 高分数、好成绩是靠自己悟出来的!正所谓:师傅领进门,修行在个人!
2 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

不怕难题不得分,就怕每题扣点分!

专题 A 常用的数学思想和方法
一.数学思想:1.数形结合的思想;2.分类与整合的思想;3.函数与方程的思想;4.转化与化归的思想; 5.特殊与一般的思想;6.有限与无限的思想;7.或然与必然的思想;8.正难则反的思想. 二.数学基本方法:配方法、换元法、反证法、割补法、待定系数法;分析法、比较法、综合法、归纳法、观察法、 定义法、等积法、向量法、解析法、构造法、类比法、放缩法、导数法、参数法、消元法、不等式法、判别式 法、数形结合法、分类讨论法、数学归纳法、分离参数法、整体代换、正难则反、设而不求、设而求之. 【解题时:方法多,思路广,运算准,化简快. 】 三.数学逻辑方法:分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等. 【也称数学思维方法. 】 四.选择题的方法:四个选项有极大的参考价值!千万不要小题大做! ⒈求解对照法(直接法);⒉逆推代入法(淘汰法);⒊数形结合法(不要得意忘形);⒋特值检验法(定值问题); ⒌特征分析法(针对选项);⒍合理存在性法(针对选项);⒎逻辑分析法(充要条件);⒏近似估算法(可能性). 五.填空题的方法:⒈直接法;⒉特例法(定值问题);⒊数形结合法;⒋等价转化法. 六.熟练掌握数学语言的三种形式:自然语言、符号语言、图形语言的相互转化. 七.计算与化简:这是一个值得十分注意的问题!平时的训练中,要多思考如何快速准确的计算和熟练的化简! 八.学会自学!课堂上不可能把所有的题型都讲到!所以要多看例题,多思考!看之前一定要想自己会怎么做! 怎么看:一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】 ,二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】 . 学会总结归类:⒈从数学思想上归类;⒉从知识应用上归类;⒊从解题方法上归类;⒋从题型类型上归类.

【特别提醒】
1.一道题有没有简便解法,关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性,并能加以灵活运用! (灵机一动) 【转化、联想、换元等,另外,解题时有时对一些细节的处理也很关键,会起到峰回路转、柳暗花明的作用. 】 2.解函数、解析几何、立体几何的客观题,应特别注意数形结合思想的运用!但在解答题中,不能纯粹只凭借图 象来解答问题;图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准,甚至在有时给出图象时也需要自己重新 准确画一遍】 ;解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】 ,不能纯粹以图象代替推理、证明. 3.转化数量关系时,若是写不等式,则要注意是否可以取“=” .特别是求取值范围时,端点一定要准确处理. 4.平常做解答题应该做完整:解题过程的表达是否流畅、简洁.否则到考试时,还需为如何组织语言表达去思考 而耽误时间.这是平时训练值得注意的【条理分明、言简意赅、字迹工整】!表达也是思维的一部分! 5.在解答题中,某些局部问题解答过程的书写的详略,取决于整个解题书写过程的长短:长则略写,可用易证、 易知等字眼;短则详写.如果要应用教材中没有的重要结论,那么在解题过程中要给出简单的证明. 6.在设置有几问的解答题中,后面问题的解决有时候依赖于如何灵活运用前面已解决的问题的结论. 有些解答题某一问貌似与前面无关,实则暗【明】示你必须把它与前面联系起来,才能解决问题. 7.平常要多积累解题经验和解题技巧.熟记一些数学规律和数学小结论对解题也是很有帮助的. 8.数学总分上不上得去,很大程度上取决于选择题、填空题得分高不高.而选择题、填空题更注重对基础知识, 基本数学思想、方法和技能的全面考察.因此,要熟练掌握解选择题、填空题的特有方法:在解选择题或填空 题时,优秀的解题方法更显得重要.建议每天做一份选择、填空题,花大力气提高解选择、填空题的准确率和 速度. 【注意:选择题的四个选项中有且只有一个是正确的,是一个需要特别重视的已知条件. 】 9.可以在本书每页的背面或专门的笔记本上,收集(作业、考试中的)错题、经典题,便于日后考前复习巩固. ⒑ 作业本上的错题、试卷上的错题一定要及时更正!做错了不可怕,可怕的是做错了不去纠正!

3 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

我的成功归功于精细的思考,只有不断地思考,才能到达发现的彼岸。——牛顿

专题 B 常用化简技巧与常用公式
1.繁分式化简分式:
1 2 1 + + 3 1 4 ;+

=

(

3 1 4 ; + )×

1 2 1 ( ++)×

=

:2: 3;:4


2:1 2;1

(同乘) . (同乘)


2.分式中的负指数幂化成正指数幂: 3.齐次式变形: =
:√3 ; √3:

: ? ; ?

= (;?)× =

( : ?)×

=

2 2 :4;32 2 ::2

;2 ? 5 + 42 > 0.( 求代数式的值或
;

的取值范围 )(同除)

4.除法分配律(分数裂项) :① 5.分子常数化:① = ④ = 6.分母有理化:①
1 2;1 ;1

:

= + ;②
1

= ? .
2
4 1:

1

1

(分式变形时常用)
2

=

(2;2):1 ;1

= ;1 + 2; ② = :4 = = 2( ? 1) +
√;√ ; ; 1 ;1

( ≠ 0); ③ = :1 =

;1

( :1);2 :1

= 1 ? :1;

2

2 2 ;4:3 ;1

=

2(;1)2 :1 ;1

(或用换元法令分母为后,达到分子常数化要求) .
1

√:√

=(

1?(√;√) √:√)(√

= ;√)



√ 2 :1;

=

1?(√ 2 :1:) (√ 2 :1;)(√ 2 :1:) √ 2 :1; 1

= √ 2 + 1 + ; =
1 √ 2 :1:

分子有理化:① √ ? √ =

(√;√)(√:√) 1?(√:√) 3 2

=

; √:√

; ②√2 + 1 ? =

=

(√ 2:1;)(√ 2 :1:) 1?(√2 :1:)



7.配方:①2 ± + 2 = ( ± )2 + 4 2 ; ③ 2 +
1 2

②2 + 2 = ( + )2 ? 2; ④ = 2 + + = ( +
2 ) 2

= ( + )2 ? 2;
1

1

+

4;2 4

( ≠ 0);

⑤2 + 2 + 2 ? ? ? = 2 ,( ? )2 + ( ? )2 + ( ? )2 -. 8.因式分解、乘法公式: ①2 ? 2 = ( ? )( + ); ③2 ? 2 + 2 = ( ? )2 ; ⑤3 ? 3 = ( ? )(2 + + 2 ); ⑦( + )3 = 3 + 32 + 32 + 3 ; ②( + + )2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2; ④2 + 2 + 2 = ( + )2 ; ⑥3 + 3 = ( + )(2 ? + 2 ); ⑧( ? )3 = 3 ? 32 + 32 ? 3 .

9.设 2 + + = 0的两根为1 ,2,令?= 2 ? 4, ①求根公式:1,2 =
;±√2 ;4 2 √? (?≥ 0).另有|1 ? 2 | = √(1 ? 2 )2 = √(1 + 2 )2 ? 41 2 = ||.

②(韦达定理)根与系数的关系:{

1 + 2 = ? , 【注意:解此类方程组时可构造方程 2 + + = 0再解】 1 2 = .




③因式分解: 2 + + = ( ? 1 )( ? 2 ). ⒑ ①三角形中的三边、边角不等关系,外角定理. ②边形内角和:( ? 2) ? 180°;边形外角和:360 . ③角平线定理:在?中,∠的平分线交 边于,则













=



④重心性质:设?的三条中线,,相交于点,则 = 2, = 2, = 2. ⑤若关于成反比,则 = ;若关于成正比,则 = .【其中 为待定系数】 ⒒ ① + = 0;② + = 0对于 ∈ 或, ∈ 恒成立 ? = 0, = 0. ③ 2 + + = 0;④2 + + 2 = 0 对于 ∈ 或, ∈ 恒成立 ? = 0, = 0, = 0. ⒓ 准确作图,对解题是有很大帮助的.因此作图工具要备好:圆规、三角板、量角器、铅笔. ⒔ 为便于自学,购买教辅资料时,尽量选每一题解答都非常详尽的那一种(但不要边做练习边看答案! ) .


4 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

学习数学要多做习题,边做边思索。先知其然,然后知其所以然。——苏步青

专题 1 集合(B1)
1.集合中的元素具有:确定性,互异性,无序性. 2.元素与集合的关系:∈,?; 3.常用数集符号: ? 或:正整数集,自然数集,整数集,有理数集,实数集,? 无理数集, 复数集, *| = 2, ∈ +偶数集,*| = 2 ? 1, ∈ +奇数集. 4.集合的三种常用表示方法:列举法、描述法(形式可具有多样性) 、图示法(一种解题工具或方法) . 5.集合与集合的关系:? , ? , = , ?,?. 6.若集合中有个元素,则集合的所有子集个数为2 . 【显然, ? ;另规定:? ? . 】
1 ) 0 1 2 (∵ + + + ? + = 2 或 (2 = 2 . )

【思考】* |( ? )( ? 3) = 0+ =?

所有非空子集的个数是2 ? 1,所有真子集的个数是2 ? 1,所有非空真子集的个数是2 ? 2. 7.①? = *| ∈ ,或 ∈ +; ②? = *| ∈ ,且 ∈ +; ③? = *| ∈ ,且 ? +. 8.摩根定理:①(? )?(? ) = ? (?);


【?,. 】
Ⅰ Ⅳ Ⅲ

【显然与? 成对出现】 ②(? )?(? ) = ? (?).


【右上图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分你能用集合符号表示吗?】 9.①? = ? ? . ? . ? ?C ②? = ? ? . ? . 【①②要重点理解掌握! 】 ⑤? ? ? ? ? .


③?(? ) = ? ? ⒑ ? = ? C ?

④(? )? = ?

11. 含参数的集合满足 ? 或? = ?等情形时, 在求解的时候要注意是否需要分 = ?与 ≠ ?两种情形讨论. 若含参数的集合是一个方程或不等式的解集,也可以从通过讨论系数的符号来解方程或不等式的角度考察.

补充 1
1.求集合(有限集)中的参数的值要注意检验:①是否违反集合中元素的互异性,②是否与已知条件矛盾. 2.求集合交、并、补或求满足 ? 或 ? ①观察法(有限集) , = ?等情形时参数取值范围的方法:

②数形结合法【无限集,利用韦恩(Venn)图,或数轴,或坐标平面】 .

3.注意区分集合中元素的含义: 【数集一般都要进一步化简! 】 ⒈数集: = *|() = 0+方程的解集; = *| = ( )+函数 = ( )的定义域; = *| ( ) > 0+或*|( ) < 0+不等式的解集; = *| = ()+函数 = ( )的值域;

= *|(,) = 0+, = *| (,) = 0+:满足(曲线)方程(,) = 0的或的取值集合. ⒉点集: = *(,)|(,) = 0+曲线【或满足二元方程 (,) = 0解(实数对)的集合】 ; = *(,)|(,) > 0+区域; =*(,)|(,) < 0+区域; = () } = *(,)|(,) = 0+. = g()

= * ?| ? = ((),g())+,令 ? = (,),则 = {(,)| {

4.给出含参数不等式的解集,则解集中的端点值 是不等式所对应整式方程的根 (或者说是对应因式的零根 ) . ... . .. 5.你会用补集思想解决问题吗?补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题. 6.若 = *1 ,2 , ? , +, = *1 ,2 , ? , ,:1 , ? , +,( > ), 则满足 ? ? 的集合有2; 个;满足 ? ? 的集合有2; ? 2个. 7.① = 0 ? = 0 或 = 0; ≠ 0 ② ≠ 0 ? { ,即 ≠ 0 且 ≠ 0. ≠ 0 集合不论空不空,总有子集在其中!
知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华! 5

把数学当成一门语言学习,学会每一个术语的用法,熟悉每一个符号的意义。

补充 2
1 ) 1.满足? = *1 ,2 , ? , +的集合,有 (3 = 3 对. 【每个元素放置的位置都是三选一,如图. 】

2.在集合 = *1 ,2 , ? , +的所有子集中:





⒈集合中的每个元素出现2;1 次(譬如1 这个元素,注意集合 *2 , ? , +有2;1 个子集) .
;1 ⒉含个元素的子集有 个,在这 个子集中,集合中的每个元素出现;1 次(譬如1 这个元素) .

3.从集合观点理解方程或不等式恒成立、有解、无解问题的解决之道:

参见专题:恒成立及有解.

对于集合 = *|( )+,集合 = *| ()+,其中( ),()代表不等式或方程,则 ⒈ ? ? ()对 ∈ 恒成立! 【大范围对小范围恒成立;有时需利用 ? ? ? ? ? 转化一下. 】 ⒉ ? (?) ? ()对 ∈ 恒成立且()对 ∈ 恒成立! ⒊? ≠ ? ? ()在有解(或()在有解) ;? = ? ? ()在无解(或()在无解) . ⒋若? ∈ ,都有 ∈ ? ? . 【若 ? ,但? ∈ ,且 ? ,则 ? . 】
合二为一的几种类型 1 + 2 = 1.{ 1 2 = .
? ,

? 1 ,2 是 2 + + = 0的两根. = 0, () = , ? 1 ,2 是 2 + + = 0的两根;⒉{ ? () = 有两个(不等)实根,. () = . = 0.





2 + 1 + 2.⒈{ 1 2 2 + 2 +

+ 1 + = 0, 3.{ 1 ? 经过(1 ,1 ),(2 ,2 )两点的直线方程为 + + = 0. 2 + 2 + = 0. (), > 0, || 4.⒈奇函数: = { = (||); ?(?), < 0. , ≥ 5.⒈ = { = max*,+; , < ⒉偶函数: = { (), > 0, (?), < 0. = (||).

, ≥ ⒉ = { = min*,+. , <

(),为奇数; ():g() ();g() 6.若 = { 则 = + (?1);1 . 2 2 g(),为偶数.

解答题中必要的常用的文字表达 1.解,令,则,而,又,且,即,当,若,记,故,设,取,或,及,再,由 . 2.证明,解得,由于,于是,因此,从而,因为,所以,同理,此时,又即,假设,欲证,只需证,结合 . 3.由已知,据题设,依题意,化简得,等价于,整理得,不妨设,解之得,要满足,事实上,注意到,由条件,一般地 . 4.由…可知,综上可知,综上所述,由此可得,两式相减 (加、乘、除)得,问题等价为,由…定理得,一方面,另一方面 . 5.以 为原点,…所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 【坐标系应符合右手直角坐标系,即、、轴要按逆时针螺旋式上升标记!且轴(竖轴)箭头一般是向上的! 】 6.由…猜想…,下面(用数学归纳法、或综合法等方法)证明 .

1.解方程组时消元的方法:①代入消元;②加减消元;③乘除消元. 2.求值时,很多时候要进行检验,以防止产生增根,此外还要考虑是否漏根; 求取值范围,则一般不需检验.

6 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

学好数学的秘诀是:解题,解题,再解题。

专题 2 函数及其定义域(B1)
研究函数必须树立定义域优先考虑 的原则!(很重要,但又很容易忽视) ....... 1.函数的定义: 【解析法、列表法、图象法】 设,是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合中的任意一个数,在集合 中都有 唯一确定的数()和它对应,那么就称: → 为从集合到集合的一个函数,记作 = ( ), ∈ . 【因此,函数()的图象与动直线 = 至多只有一个公共点!这是判断一个图象是不是函数图象的方法. 】 【点(,)在函数 = ()的图象上? () = . 】 2.两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【即在定义域相同的条件下解析式可化为相同】 . 3.映射的定义: 设,是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合中的任意一个元素,在集合 中都 有唯一确定的元素和它对应,那么就称: → 为从集合到集合的一个映射. 【函数与映射都是:一对一,或多对一. 】 4.若中含有个元素,中含有个元素,从到能建立多少个映射? 5.给出函数的解析式,求函数的定义域所遵循的原则是: ①g()中要求g() ≠ 0; ② 2 √()中要求( ) ≥ 0; ③,( )-0中要求() ≠ 0; ④ = ( > 0,且 ≠ 1) , ∈ ; ⑤ = log ( > 0,且 ≠ 1) , > 0; ⑥ = tan, ∈ , ≠ + , ∈ ;
2 ()
1 1 1 ? ? ? ? ? = (个). 个

1.定义域必须用集合或区间的形式表示! 2.集合*| = ()+的含义:即函数 = ()的定义域. 3.要养成这样一个习惯: 一研究函数问题,就指出该函数的定义域!

⑦通过加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数,则新函数的定义域是每个函数定义域的交集. ⑧应用问题的定义域,除了要考虑解析式本身的定义域,还要考虑使应用问题有意义. ⑨求定义域时最好不要对解析式先变形,否则容易出错. 6.不给出()的解析式,函数(), (g()),(?())三者之间定义域的关系: 【定义域都是指的取值范围. 】 ①已知()的定义域是(,),求 (g())的定义域:解不等式 < g( ) < ,其解集就是 (g())的定义域. ②已知(g())的定义域是(,),求()的定义域:利用 < < 求g()的值域,该值域就是()的定义域. ③已知(g())的定义域是(,),求(?())的定义域: 利用 ∈ (,)先求出g()的值域(,), 然后解不等式 < ?( ) < , 此不等式的解集就是(?())的定义域. 【总之,求抽象函数的定义域,关键是抓住被同一个 作用的对象取值范围相同. 】 7.设函数 = ()的定义域为集合,若()在集合上有意义,则 ? .

7 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

日日行,不怕千万里;常常做,不怕千万事。

补充
熟练掌握下列函数性质:定义域,值域(最值),图象,单调性,奇偶性. 1.一次函数: = + ( ≠ 0), ①定义域为,值域为. ②图象:直线,射线,线段的图象皆由两点确定. ③单调性: > 0时,为上的增函数; < 0时,为上的减函数; ④奇偶性: = 时为奇函数; = 0时为偶函数. ⑤ = √ + 的值域为,0, + ∞). 2.二次函数: = 2 + + = ( +
2 2 )

它们的单调性、奇偶性与系数 的关系要把握住!

的几何意义是斜率; 的代数 意义是当自变量取值增加 1 个 单位时函数值的增量.

+

4;2 4

( ≠ 0),
4; 2 4

①定义域为;当 > 0时,值域为*| ≥

4; 2 4

+;当 < 0时,值域为*| ≤

+.

②图象:利用顶点、两零点、对称轴作图. 【 “三点一线” 】 【值域、最值、单调性问题用好对称轴,解集问题用好零点! 】 ③单调性:当 > 0时,在(?∞, ? 当 < 0时,在(?∞, ?
2 2

-上单调递减,在,? -上单调递增,在,?

2 2

, + ∞)上单调递增; , + ∞)上单调递减;

④奇偶性: = 时为偶函数. ( = = 0时为奇函数) ⑤ = √ 2 + + = √( + 当 < 0时,值域为,0,√(? 3.反比例函数: = ( ≠ 0),
2 2 2 )

+

4;2 4

的值域,

【不能简单类比 = √ + 而得出错误的结论. 】
2

)-;当 > 0时,值域为,0, + ∞)或,√(?

), + ∞)(二者必居其一) .

①定义域是*| ≠ 0+,值域是*| ≠ 0+. ②图象: > 0时一、三象限的双曲线; < 0时二、四象限的双曲线. ③单调性:当 > 0时,在(?∞,0),(0, + ∞)上为减函数; 当 < 0时,在(?∞,0),(0, + ∞)上为增函数. ④奇偶性:一定是奇函数. ⑤ = : ( ≠ 0, ≠ ) →
: 分子常数化

的几何意义是:当 > 0 时, 过双曲线上一点 (,) 向坐标 轴作垂线,与坐标轴围成的矩 形面积;显然 < 0时,是该矩 形面积的相反数.

= ; + 0 ,其图象可由 = 变换得到;其值域为*| ≠ +.
0







不等式的解集
设1 < 2, > 0,则 1.*|( ? 1 )( ? 2 ) < 0+ ? *|1 < < 2 +; 2.*|( ? 1 )( ? 2 ) > 0+ ? *| < 1 ,或 > 2+. 3.*| ;1 < 0+ ? *|1 < < 2 +;
2



小于取中间 大于取两边 小于取中间 大于取两边 小于取中间
1 1 ? 0 2 2
1



2



; ;

4.*| ;1 > 0+ ? *| < 1 ,或 > 2 +.
2

5.| | < ? 2 ? 2 < 0 ? ( + )( ? ) < 0 ? ? < < ;

6.| | > ? 2 ? 2 > 0 ? ( + )( ? ) > 0 ? > 或 < ?;大于取两边

【 “小鱼吃中间,大鱼吃两边” ,即“小于取中间,大于取两边” ;数轴穿根法:奇穿偶切. 】
8 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

天行健,君子以自强不息。

专题 3 函数解析式的求法(B1)
【函数变量是个筐,代数式都可以装(变量替换) .例:对于( ) = 2 + + ,( 1.函数解析式的求法: (1)代入法【直接法,适用于①由()求复合函数,g()-,②由( + )、( ? )、()、( )等求();


) =

2

+

+ . 】

注意:由分段函数()求复合函数,g()-时,首先需要根据()中对的分段,替换为对g()的分段. 】 (2)凑配法【整体替换法,适用于(√ + 1)、 (1 + )、( + )、( ? )等类型. 】 ;
1 1 1

】 ; (3)换元法【如 (3 + 1) = 2 2 ? 3 + 1.换元法与凑配法可以交替使用,如 (√ + 1),(1 + )等类型.


1

(4)待定系数法【告知函数类型,就要设出该函数表达式,如()是一次函数,则可设( ) = + ;然后, ①利用条件得恒等式,由对应项的系数相等完成;②或利用条件得方程(组) ,然后解方程(组)即可. 】 ; (5)解方程组法【给出的方程同时含: ①()与(?),或()与( ? ); 【前者 → ?,后者 → ? 】 ②一奇一偶函数()与g(); ③()与( ),或()与( );
1

【 → ?】 【前者 → ,后者 → 】
1

方法:将原方程中的变量进行变量替换得新方程,联立原方程解方程组! 】 ; (6)图象变换法【根据变换过程写解析式,或根据对称关系、相关关系等用代入法求曲线(或轨迹)方程. 】 ; (7)赋值法【给出可以求出解析式的恒等式时使用. 】 . 2.二次函数的解析式的三种形式( ≠ 0): ①一般式: = 2 + + ; ②顶点式: = ( ? ?)2 + ; ③两根式: = ( ? 1 )( ? 2 ); 对称轴是 = ?
2



顶点(?

2



4;2 4

).

对称轴是 = ?; 对称轴是 =
1 :2 2

顶点(?, ). ; 顶点(
1 :2 2

, ? (

1 ;2 2 ) ). 2

【提醒 1】用待定系数法求二次函数的解析式按照③、②、①的顺序考虑去设解析式较好. 【提醒 2】 ( ) = 2 + + = ( ? 1 )( ? 2 ):一般式与两根式的相互转化使用,常有利于解决问题. 【已知一个零根1时,另一零根2可由韦达定理求出. 】 【提醒 3】与二次函数有关的问题【值域,最值,单调性等】 ,要学会直接运用对称轴和图象解决! 3.应用题中求函数解析式: 关键是寻找等量关系,即同一个量用不同方式表达,由此就得到方程(或等式) ,从而就可得到函数解析式. 注意:①没有给出字母变量的,一定要先设出来. ②要根据实际意义,准确求出函数定义域. ③不能用一个式子表示的,则需要用分段函数表示. (几何背景的应用题常需要用分段函数表示! ) 4.缴纳个人所得税也可以画线段示意图分段处理(分段纳税) .(另可建立分段函数模型)
3% 基数免税 3500 元 1500 元 10% 3000 元 20% 4500 元 25% 26000 元 30% 20000 元 35% 25000 元 45%

常见函数的平方表示:
2 2 2 2 2 2 ,()-2 = 2 (),(log )2 = log2 ,(sin ) = sin ,(cos ) = cos ,(tan ) = tan .

9 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

学而不思则罔,思而不学则殆。

补充
1.设( ),g()均为定义域相同的两段式的分段函数,

()

1

2

①若分段标准一致,则 = ( ) ± g(), = ( ) ? g(), = g() (g() ≠ 0)等函数仍为两段式的分段函数. ②若分段标准不一致,则 = ( ) ± g(), = ( ) ? g(), = g() (g() ≠ 0)等函数均为三段式的分段函数. 2.给出分段函数( ) = { 1 (), ≤ , 2 ( ), > . 如何解不等式(或方程) :(g()) ≥ (?()).
()

方法一:就g( ),?()与的大小关系分四种情形,将两边代出后求解; 方法二:令g( ) = ,?( ) = ,解出的值,得到(能分段代出两边的)标准后,分段求解. 3.若( ) = + ;1 ;1 + ? + 2 2 + 1 + 0 ,且() = 0,则()必含有因式( ? ); 必要时可以用竖式除法或待定系数法将()因式分解; 若 = 0 为()的极值点,则 = 0 必为方程 ( ) = (0 )的重根. 4. = 2 + + = ( + 2)2 +
4;2 4

在确定的情况下,抛物线的形状(即开口大小)也就随之确定!

5.三次函数 ( ) = 3 + 2 + + 的解析式: 【其图象( > 0)的各种情形你知道吗?】 ①若已知 ( ) = 0的三个根为1 ,2 ,3,则可设 () = ( ? 1 )( ? 2 )( ? 3 ). ②若已知 ( ) = 0的两个根为1 ,2,则可设 ( ) = ( ? 1 )( ? 2 )( ? ). ③若已知 ( ) = 0的一个根为1,则可设( ) = ( ? 1 )( 2 + + ). 6.三次函数 ( ) = 3 + 2 + + 有极值的充要条件是:′( ) = 3 2 + 2 + = 0有两个不等实根. 【由′( ) = 3 2 + 2 + = 3( ? 1 )( ? 2 )的图象可知. 】

无参函数先定性,定性之后再前行!
定性:是指先确定函数定义域,值域,单调性,奇偶性,周期性,图象等性质;然后再结合性质去解题.

函数符号的使用: = ? ( ) = , = 2 + + ? ( ) = 2 + + ,但对于后者习惯用(). 在使用函数符号时,“ = ?”,根据需要可改用“ ( ) = ?”.【即(),()即,因为 = (). 】 如:判断函数单调性和奇偶性,就应该使用函数符号().





10 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

学而时习之,不亦说乎!

专题 4 值域,最值(B1)
1.观察法:主要针对一些简单函数,或作简单变形后观察,即可求出值域或最值. 2.配方法(对称轴法) :对于型如( ) = 2 + + , ∈ ,,-的形式的二次函数,利用配方法或直接利用对 称轴 = ? 2完成.可以结合图象完成求值域或最值. 【配方其实也是为了找出对称轴! 】 3.换元法:代数换元法,三角换元法.运用换元法解题时要注意新元的取值范围和整体置换的策略. ① = + + √ + ,令 = √ + . (注意:该函数有时可直接快速判定单调性! ) ② = (),令 = (),则 = ; ④ = ( ),令 = ,则 = (); ⑥令 + ; = ,则2 + ;2 = 2 ? 2( ≥ 2);


③ = log (),令 = (),则 = log ; ⑤ = (log ),令 = log ,则 = (); ⑦令√1 ? + √1 + = ,则√1 ? 2 =
2 ;2 2



⑧ = + ± √ 2 ? 2 ,令 = sin, ∈ ,? 2 , 2 -(或令 = cos, ∈ ,0,-) . ⑨ ∈ 时,令 = tan, ∈ (? 2 , 2 ); 4.图象法(数形结合法) : ①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成. ②求( ) = max*1 ( ),2 ( ),3 ( )+或( ) = min*1 ( ),2 ( ),3 ( )+的值域, 可先分别作出其中三个函数: 1 ( ),2 ( ),3 ( )的图象,再利用它们的交点分段确定()的图象,从而确定值域或最值. ③根据函数表达式的几何意义【分式→斜率?平方和(的算术根)→距离?等】 ,作出图象,求出值域或最值. 5.单调性法:若函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域或最值. (优先考虑!)■


⑩令sin + cos = ,则sincos =

2 ;1 2



(直观实用!)■

6.有界性法:含 2 ,| |,√,( ∈ (,)), ,sin,cos的函数,若可用表示它们,则常利用其有界性来 求值域或最值. 7.基本(均值)不等式法:利用
: 2

≥ √或

:: 3

≥ √(一正二定三相等)等公式来求值域或最值,一定要看等


3

号能否成立,否则用数形结合法、单调性法完成,如 = + ( > 0). 8.判别式法:用于 = ( ) =
1 2 :1 :1 2 2 :2 :2

【还要注意柯西不等式的应用. 】

2 2 . (1 + 2 ≠ 0,分子、分母无公因式,且无人为限制. )

先化成(2 ? 1 ) 2 + (2 ? 1 ) + (2 ? 1 ) = 0, 再运用Δ ≥ 0求值域 (但要注意讨论二次项系数为0的情况) . 附:若含参数的函数( ) = 1 2:1:1的值域为,,-,求所含参数的值.
2 2 2

2 : :

方法①:利用判别式法;方法②:利用 ≤ 1 2:1 :1 ≤ 恒成立且等号也可成立.
2 2 2

2 : :

9.导数法:通过求导研究函数的单调性,确定极值与端点值,从而得出值域或最值.

(万能方法!)■

⒑ 分类讨论法:对于含参数的函数求值域或最值,最常用的方法是数形结合、分类讨论.通常先作出函数的一般 图象(形状),再由函数图象左右移动悟出讨论标准!二次函数 ( ) = 2 + + , ∈ ,,-的最值问题 (对称轴含参数问题、区间含参数问题)是最典型的.注意是否需要讨论开口方向, ①对称轴 = ? 2与轴上区间,,-的两端点,的三种位置关系; ②对称轴 = ? 2与轴上区间,,-的中点
: 2

的两种位置关系;

同理:对于函数( ) = | ? | + , ∈ ,,-的最值问题(对称轴含参数问题),可参照上述思路解决. 1.值域必须是用集合或区间的形式表示! 2.集合*| = ()+的含义:即函数 = ()的值域.
11 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海。

补充
1.求函数值域问题,从方程角度讲,就是关于的方程 在定义域内有解 ,从而求参数的取值范围问题! .. .. 求函数值域问题,从图象角度讲,就是函数图象上每一点的纵坐标 组成的集合! ... 2.求函数值域与求最值方法是相同(通)的,既可求出值域而确定最值,也可求出最值而确定值域. 3.可学会使用的符号:①( )max = (),( )min = ( ); ②( )max = max{ (),( )} = ?, ()min = min{ (),( ),()} = ?. 4.下面几种分式函数求值域要熟练: ① = (:)2(令 = :倒数换元法) , ② = ③ =
√: (令 : 2 :: : : 1

= √ + ),
:

或 = 2:: (令 = + ).

【分式看作斜率,则可用数形结合法. 】

先化简(换元、化繁分式、分子常数化),再用均值不等式或单调性法或导数法. (注意双勾函数的性质的运用. ) 5.求 = √ ? + √ ? 最值的方法: ①导数法;② < 0时单调性法;③向量法、柯西不等式、三角换元法;④ = 时,平方法. 6.求高次分式函数( ) = 1 3:1 2:1:1 的最值,也可考虑先分子降次、分子常数化.
2 2 2 2

3 : 2 : :

7.若 ? *| = ( ), ∈ +,则 ( ) = 在集合中无解! 8. = |( )| + g():变分段函数、数形结合求值域.

例:2 ? *| = 2 ? + 1+,求 的取值范围. 例:| ? + 5| + ≥ 1恒成立,求的取值范围.

9. 已知 ( ) = | ? | + 1, ∈ ,0,1-, 其中常数 ∈ ,0,1-, 求()的最大值. 【先作图, 再由图悟出讨论标准! 】 【答案:7. < ? 4; 8. ≥ 6; 9.当0 ≤ ≤ 2时,( )max = (1);当2 < ≤ 1时, ( )max = (0). 】
1.数形结合的思想 5.特殊与一般的思想 6.有限与无限的思想 7.或然与必然的思想 配方法 换元法 数学归纳法 分析法 待定系数法 比较法 综合法
1 1 1

数 学 思 想

2.函数与方程的思想 3.转化与化归的思想 4.分类与整合的思想 反证法 解析法

数 学 方 法

分子常数化 割补法 分离常数法 导数法 归纳法

数学语言

普通语言

符号语言

图形语言

12 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

数缺形时少直观,形缺数时难入微;数形结合千般好,隔裂分家万事休.——华罗庚

专题 5 函数图象及其变换(B1)
1.轴对称(自对称): ①( + ) = ( ? ) ? = ()图象关于直线 = 对称; ②( + ) = ( ? ) ? = ( )图象关于直线 = 2.中心对称(自对称): ①( + ) + ( ? ) = 0 ?函数 = ()图象关于点(,0)成中心对称; ②( + ) + ( ? ) = 2 ?函数 = ()图象关于点(,)成中心对称; ③( + ) + ( ? ) = ?函数 = ()图象关于点(
: 2 : 2



=


+ +

=

+ 2

对称. ?

?







?



+

, 2)成中心对称.

3.两个函数图象间的变换及函数关系: 【会根据变换写解析式】 平移变换:① = ( )→
左右平移个单位 左加右减

= ( ± ) ( > 0);

② = ( )→

上下平移个单位 上加下减

= ( ) ± ( > 0);

翻折变换:③ = ( ) → 伸缩变换:⑤ = ( )→

翻折变换

下往上翻

= | ( )|; = ( );

④ = () → ⑥ = ()→

翻折变换

作右翻左

= (||)(偶函数); = ( ).

伸缩变换

伸缩变换

1 沿横轴伸缩 倍

沿纵轴伸缩 倍

4.两个函数图象间的对称性及函数关系: 【会根据对称性写解析式】 ①{ 关于直线 = 0(即轴)对称; = (? ). 关于直线 = 0(即轴)对称; = ? ( ). = ( ), = ? (? ). 关于原点对称; = ( ), = ( ), = (), ④{ 关于直线 = 对称; = (2 ? ). = ( + ), ; ⑤{ 关于直线 = 2 对称. = ( ? ). = (), ⑥{ 关于点(,)对称; = 2 ? (2 ? ).

②{

③{

5.熟记一些基本函数图象,便于以此为基础进行图形变换,作出相关的函数图象,从而进一步解决有关问题. ① = ||(偶函数) ; ② = || (偶函数); ③ = ||(偶函数); ④ = (奇函数).

6.含绝对值符号的函数的图象,如果不能由图形变换得到,则采用零根分段去绝对值法变分段函数作图! 7.①若将函数 = ()的图象右移、上移个单位,得到函数 = ( ? ) + 的图象; ②若将曲线 (,) = 0的图象右移、上移个单位,得到曲线( ? , ? ) = 0的图象. 8.求与已知曲线相关联的曲线方程问题,实质上是利用代入法转化为求点的轨迹问题; 9.证明一个函数图像的自身对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图像上. ①证明 = ( ? ) + 关于点(,)成中心对称的一种简便方法: 先证明 = ()是奇函数, 即关于原点对称, 再利用平移变换就可说明 = ( ? ) + 关于点(,)成中心对称. ②证明 = ( ? )关于直线 = 成轴对称的一种简便方法:先证明 = ()是偶函数,即关于轴对称,再利 用平移变换就可说明 = ( ? )关于直线 = 成轴对称. ⒑ 证明图像1 与2 的对称性,需证两方面: ①证明1 上任意点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在2 上; ②证明2 上任意点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在1 上. (表述上用“同理可证”即可. )

13 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

由形到数易,由数到形难;难点一突破,思路如涌泉.

快速作出常用函数的图象(利用好函数性质,并抓住关键点、关键线. )
【会读图】读出定义域,值域,最值,极值,零点,解集,单调性,奇偶性(对称性) ,周期性,有界性,渐近线. 【会作图】熟练掌握一些基本函数图象.作图时,抓住关键点(端点、最值点、极值点、零点、与轴的交点等) , 关键线(对称轴、渐近线) ,利用好函数性质(奇偶性、单调性、周期性等) . 1.反比例型函数: = : ( ≠ 0, ≠ ) →
: 分子常数化

= ; + 0 的图像是双曲线,其对称中心为点(0 ,0 ),
0



其图象可由 = 变换得到. 【也可根据对称中心(0 ,0 ),先画出两条渐近线,再根据 的符号画出双曲线! 】 事实上,0 = ? ,0 = ;该函数定义域为*| ≠ ? +,值域为*| ≠ +.

0 0 0 0


=



2√ ?√ √

?√


?2√

= = ? 0


+ 0 ( < 0)

=

? 0

+ 0 ( > 0)

= ? ( > 0)

2. = + ( > 0)(俗称双勾函数),见上第四图; 【更一般形式的双勾函数: = + ( > 0, > 0)】 注意区别于 = ? ( > 0)的图象,见上第三图. 3.掌握( ) = 1 | ? 1 | + 2 | ? 2 | + ? + | ? | + 的图象.用零根分段去绝对值法变分段函数,显然每段 均为一次函数或常数.因此,图象特征为:由两条射线和一条(或几条)线段组成,线段都在中间且依次相连, 两条射线在两端,线段的各个端点横坐标就是各绝对值的零点.画图时可以先在轴上标出1 ,2 , ? , , 再确定线段的各个端点(1 , (1 )),(2 ,(2 )), ? ,( ,( )),两端射线的起伏可以通过取点而确定.
2 3 ?? 2 1 ② (, ) (, ) ③ ③ 2




= + ( > 0)

1



;1



1 1 2 ②



①( ) = | ? 1 | + | ? 2 | + ; ②( ) = | ? 1 | ? | ? 2 | + ; ③() = | ? | + 的图象:顶点坐标为(,), 当 > 0时,正∨字形;当 < 0时,倒∨(即∧)字形;

4.如何作出 ( ) = max*1 ( ),2 ( ),3 ( )+或 ( ) = min*1 ( ),2 ( ),3 ( )+的图象? 在同一坐标系中先分别作出函数1 ( ),2 (),3 ( )图象,再利用它们的交点分段确定()的图象. 5.某些函数的图象可以通过对解析式变形,变形为曲线方程来判断. 如:( ) = 1 + √4 ? ( ? 3)2 ? = 1 + √4 ? ( ? 3)2 ? ( ? 3)2 + ( ? 1)2 = 4( ≥ 1),其图象为半圆. 6.研究函数综合问题:如果能确定函数单调性,奇偶性,周期性,渐近线,再结合零点,极值、最值、端点值, 那么画出的函数图象是比较准确的了,这样就更便于我们寻找解题思路,从而解决问题.切记,切记! 7. = ()的图象:若?0 ∈ ,使得(0 ) = 0,则 = 0为 = ()图象的渐近线. 你能作出 =
1 lg 1 1

, =

1 sin

等函数的图象吗?

14 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

锲而舍之,朽木不折;锲而不舍,金石可镂。

专题 6 单调性(B1)
1.定义:对于定义域 内某个区间上的任意两个自变量1 ,2 . ①若1 < 2时有 (1 ) < (2 ),称()为上增函数; ②若1 < 2时有 (1 ) > (2 ),称()为上减函数. 【说明】单调函数的图象不一定是连续的曲线,如:某些分段函数可以在定义域上为单调函数. 2.写出函数的单调区间时,正确的表示方法是: (在单调性相同的)多个单调区间之间用逗号隔开的方式来书写. 绝对不能出现并集符号“?”.确定函数的单调性必须指明单调区间(可充分利用图象) . 3.用单调性定义证题的步骤:①取值,②作差变形(变形务必彻底,最后形式为各个因式之积商) ,③定号. ?(?∞,) → 1 < 2 < ,?,, + ∞) → ≤ 1 < 2,?(,) → < 1 < 2 < ,? → 1 < 2. 【另外】当( ) ≠ 0时可通过:①取值,②作商变形,③定号,来证明单调性. 4.性质:①若()为增函数,则(1 ) < (2 ) ? 1 < 2; ②若()为减函数,则(1 ) < (2 ) ? 1 > 2.

常结合奇偶性解抽象函数不等式,化得具体的不等式(组) ,具体应用时还应要求1 ,2 在定义域内! 【转化时,先要转化(写)完整,然后再解不等式组;又如求函数定义域的题,也应如此! 】 5.设1 ,2 ∈ ,,-,且1 ≠ 2 , 【必要时要规定1 < 2 ,以便于等价转化】 ,那么 ① ② ③ ④
(1 );(2 ) 1 ;2 1 ;2
1

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ );( )
(1
2 2

> 0 ? (1 ? 2 ),(1 ) ? (2 )- > 0 ? ()在,,-是增函数? ′( ) ≥ 0恒成立(等号不能漏掉! ) < 0 ? (1 ? 2 ),(1 ) ? (2 )- < 0 ? ()在,,-是减函数? ′( ) ≤ 0恒成立(等号不能漏掉! ) > ? (1 ) ? 1 < (2 ) ? 2 ? = ( ) ? 在,,-是增函数? ′() ≥ 在,,-恒成立. < ? (1 ) ? 1 > (2 ) ? 2 ? = ( ) ? 在,,-是减函数? ′( ) ≤ 在,,-恒成立. < ? ≤ ′( ) ≤ . 【要熟练掌握它们的转化过程!等号都不能漏掉! 】

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ( );( )
1 ;2 (1 );(2 ) 1 ;2

⑤ <

(1 );(2 ) 1 ;2

6.函数的单调性判定方法有: ①定义法【用于具体函数,或满足一个恒等式的抽象函数,或由一个函数的单调性推出另一个函数的单调性】 ②推理法【判断具有奇偶性的函数在对称区间上的单调性.常要用到单调性定义和不等式性质. 】 ③快速判断法【结构要整理好:分式型函数采取分子常数化,或化繁分式,或分子、分母有理化等手段整理. 】 ④图象法【直观实用! 】 ⑤复合函数法【同增异减!或大同小异! 】 ⑥导数法【制胜法宝! 】

7.快速判定函数单调性:设( ), g()具有单调性(常数 > 0) ,则 ① 【但要注意 】 √() , ()与()有相同的单调性; √()(为偶数时)的单调区间的变化. ②? (), ()与()有相反的单调性; 【但要注意()(当存在0使得(0 ) = 0时)的单调区间的变化. 】 ③若( ),g()都是区间上的增(减)函数,则() = ( ) + g()在区间上也是增(减)函数. ④设( ),g()都是区间上的函数值恒正的增 (减) 函数,则() = ( ) ? g()在区间上也是增 (减) 函数. 8.讨论二次函数的单调性(或值域) ,总是与对称轴有不解之缘,要时刻考虑对称轴的位置. 9.①奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;②偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. ⒑ 练就火眼金睛:给出函数解析式,我们有时需要直接“看出”函数的定义域、单调性、奇偶性,因为它们对于 解决函数问题起着非常重要的作用.
1 1

15 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

读书百遍,其义自见。

补充
1.由 = (), = g( )得到 = (g()),则 = (g())就称为 = (), = g()的复合函数. 2.复合函数的单调性(如右表) : “同增异减” . (还可用单调性定义研究 = (g())的单调性. ) (还可用导数法直接研究 = (g())的单调性! )
= () = g()
= (g())

增 增 增

增 减 减

减 增 减

减 减 增

2.1 当外层函数 = ()的单调性单一时,应重点研究内层函数 = g()的单调性,最后针对内层函数 = g()的单 调区间复合. 【设 = g()的定义域为区间, 值域为区间, 若 = ()在区间上为减函数, = g()在区间上 为减函数,则 = (g())在区间为增函数.可以用单调性定义证明这个结论!其它三种情形同理. 】 2.2 当外层函数 = ()的单调性多样时,应先研究外层函数 = ()的单调性,然后由的每一个单调范围解出对 应的的范围并确定在此范围下g()的单调性,最后复合. 【其实此时用导数法更为简单! 】

2.3 能根据 = (), = g( ), = (g())这三个函数中任意两个函数的单调性,确定第三个函数的单调性. 2.4“同增异减” :①对于 = (),令 = (),则 = ; 这样就变成复合函数来研究单调性问题. 2.5“大同小异” :对于 =
()

②对于 = log ( ),令 = (),则 = log ,
在 2.4 与 2.5 中,对于 = log (), 都应该在() > 0条件下研究.

,或 = log ( ),

①大同:当 > 1时, = () (或 = log ( ))的增减性与 = ()的增减性相同, ②小异:当0 < < 1时, = () (或 = log ( ))的增减性与 = ()的增减性相异.

函数问题主要表现为以下方面
?求定义域,?求解析式,?求值、值域或最值,?作图或利用图象(含变换),?确定单调性,?判断奇偶性, ?比较大小,?解方程,?解不等式,?分段函数、复合函数、抽象函数问题,⑴求定点、定值,⑵含参数分类讨 论问题,⑶恒成立、有解、无解求参数取值范围问题,⑷零点问题,⑸函数的应用,⑹函数综合题.

16 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

黑发不知勤学早,白首方悔读书迟。

专题 7 奇偶性、对称性(B1)
1.奇偶性定义:先注意定义域是否关于原点对称,再比较(?)与()的关系. 【奇函数、偶函数定义域一定关于原点对称. 】 ?(? ) = ( ) ? ()为偶函数? ()的图象关于轴对称 ?(? ) = ? ( ) ? ()为奇函数? ()的图象关于原点对称 【注意】①奇函数( )的定义域若包括0,则有 (0) = 0. 【? (? ) ? ( ) = 0 ? 【? (? ) + ( ) = 0 ?
(;) () (;) ()

= 1】 ; = ?1】 .

②()为偶函数? ( ) = (||),常用于解(抽象函数型)不等式或方程. 奇偶性的判断或证明. ③判断函数奇偶性有时还需先在定义域内对函数解析式化简或作适当变形. ④分段函数可以分步判断,或整体代入后判断, (也可以考虑合二为一后判断. ) ⑤若没有奇偶性,则可通过取反例证明,如: (?2) ≠ ±(2). 2.①偶函数利用( ) = (? ) = ?,奇函数利用() = ? (? ) = ?, 求具有奇偶性的分段函数在对称区间上的解析式. ②偶函数利用( ) = (||),奇函数利用 ? ( ) = (?),结合单调性解与抽象函数有关的不等式或方程. 或对偶函数型不等式(1 ) < (2 ),结合函数图象,得出|1 |,|2 |的大小关系. (数轴上的几何意义) 3.含参数的函数具有奇偶性,一般要先利用奇偶性求出参数! ①用定义 (? ) = ( ),或 (? ) = ? ( )去转化求解(利用恒成立或比较系数完成) ; ②对定义 (? ) = ( ),或 (? ) = ? ( )中的取具体值而得方程(组) ,然后解方程(组) . 说明:方法②用于解答题中,则需将所求得的值代入函数,验证函数确实为奇函数或偶函数. 4.两段式的分段函数若具有奇偶性,则其构造模式为(注意:必要时可合二为一! ) : 奇函数: = { > 0, || 【= (| |)】 ; ( ) ? ? , < 0. ( ), > 0, (? ), < 0. 【= (| |)】 . ( ), = { 1, ≥ 0, ?1, < 0, ?1, ≥ 0, 1, < 0, =
||

常用于对数型函数的

这两条一定要掌握!


||

偶函数: = {

= {

=?



【两段式的分段函数,只有当上下两段只有“+, ?”的符号差异时,则才可能具有奇偶性!】 5.① = ( + )为奇函数? = ()的图象关于点(,0)成中心对称; ② = ( + )为偶函数? = ( )的图象关于直线 = 对称. 可借助令g() = ( + )后根据奇偶性转化或根据图象变换,来理解这两个结论! 【①的证明:∵g()是奇函数,∴g(? ) = ?g(),即(? + ) = ?( + ), 又即( ? ) + ( + ) = 0,∴ = ()的图象关于点(,0)成中心对称. ②的证明:∵g()是偶函数,∴g(? ) = g(),即 (? + ) = ( + ), 又即( ? ) = ( + ),∴ = ()的图象关于直线 = 对称. 】

17 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

业精于勤,荒于嬉;行成于思,毁于随。

补充
1.轴对称(自对称) : ①( + ) = ( ? ) ? = ()图象关于直线 = 对称; ②( + ) = ( ? ) ? = ( )图象关于直线 = 2.中心对称(自对称) : ①( + ) + ( ? ) = 0 ?函数 = ()图象关于点(,0)成中心对称; ②( + ) + ( ? ) = 2 ?函数 = ()图象关于点(,)成中心对称; ③( + ) + ( ? ) = ?函数 = ()图象关于点(
: 2 : 2

=


+ +

=

+ 2

?

?

对称.



′ ′



?



+

, 2)成中心对称.

3.若()图象关于直线 = 或点(,0)对称,且()有个零点1 ,2 , ? , ,则1 + 2 + ? + = . 若( ),g()的图象都关于直线 = 对称,且它们有个交点,则交点的横坐标之和为. 若( ),g()的图象都关于点(,)对称,且它们有个交点,则交点的横坐标之和为,纵坐标之和为. 【上面这些结论的推导,都需要运用中点坐标公式. 】 4.可以利用 ( )与 ′ (),探索()的对称轴 = 或对称中心(, ()). 性质:若函数 = ()是偶函数,则 = ′()是奇函数;若函数 = ()是奇函数,则 = ′()是偶函数. 5.奇函数、偶函数定义域关于原点对称.一般地,函数关于点(,)成中心对称或关于直线 = 成轴对称,则定 义域关于直线 = 对称或点(,0)对称.

数学思想方法
1.函数与方程的思想: (1)函数思想:用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题. (函数的单调性、奇偶性、零点等能否确定?) (2) 方程思想: 转化为方程或方程组去分析问题和解决问题. 如含参数的方程的讨论、 曲线与方程的相互转化. 2.数形结合的思想:是一种非常实用的思想方法. (求单调区间、值域、解集、零点、判断奇偶性等都可充分利用图象. ) (1)由形到数易,由数到形难;难点一突破,思路如涌泉. (2)数缺形时少直观,形缺数时难入微;数形结合千般好,隔裂分家万事休. 3.分类讨论的思想(分类与整合的思想) :整合(即总结)时需要注意下列情形 (1)对参数分情况,解关于的不等式:最后结果不能并,只能对参数分情况,将的解集对应列出; (2)对变量分情况,解关于的不等式:最后结果必须并,如解与分段函数有关的不等式. (3)关于的不等式恒成立,求参数的取值范围: 若需对分情况,才能对应求出参数的取值范围,则最后结果要取交集. 4.化归与转化的思想:几乎无处不在.复杂问题简单化,较难问题容易化,陌生问题熟悉化. 思路未定,化简先行;已知推导,未知转化;前后联系,问题突破.

18 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

腹有诗书气自华。

专题 8 周期性(B4)
1.若函数()对定义域内的任意满足:( + ) = (),则为函数()的周期. 2.你能熟练地推出下列函数的周期吗?【变量替换,等量代换! 】还要注意这些式子本身的应用. ①( + ) =
1 ()

,则()的周期 = 2; ,则()的周期 = 2;

② ( + ) = ( ? ),则()的周期 = 2; ( + ) = ?(),则()的周期 = 2; ( + ) + ( ) = ,则()的周期 = 2;


( + ) = ? ( + ) =

1

()



()

,则()的周期 = 2;(为常数)

③若()关于点(,0),(,0)对称,则()是周期函数,且 = 2| ? |; ④若()图象有两条对称轴 = , = ,则()是周期函数,且 = 2| ? |; ⑤若()关于点(,0)对称,且关于 = 对称,则()是周期函数,且 = 4| ? |;

【若一个函数()具有?对称性Ⅰ:中心对称或轴对称;?对称性Ⅱ:中心对称或轴对称;?周期性中的任意两 个条件,则第三个也必然成立.即在???中可以“知二求一”.在客观题中对于③④⑤要学会运用图象迅速 观察出周期. 】 ⑥( + ) =
1 1:() 1;()

,则()的周期 = 3; 【先推出( + 2) = 1 ?

1 ()

,则( + 3) = (). 】

⑦( + ) = 1;(),则()的周期 = 4; 【先推出( + 2) = ? (),则( + 4) = (). 】 ⑧( + 2) =
1:(:) ()

1

,则()的周期 = 5 ; 【 思路一样,一步一步推导,只是过程稍显复杂 】

⑨( + 2) = ( + ) ? (),则()的周期 = 6; 【先推出 ( + 3) = ? ( ),则 ( + 6) = ( ). 】 ⑩有时可由两个函数型不等式联立推出周期.如:( + 10) ≥ ( ), ( + 1) ≤ ( ) ? ( + 1) = (). 3.当 = ∈ : , ∈ : 时,若 = (),则由①~⑩可推出数列* +的周期. 4.应用:利用 ( ) = ( + )( ∈ )求函数值和某个指定区间上的函数解析式,或用于数形结合. 5.函数( ) = { g( ), ≤ 0, ( ? ), > 0. 的图象如何作?先作出 ≤ 0时, ( ) = g()的图象,再取(?,0-上的图象,

将它向右每次平移个单位,即得到(0,-,(,2-, (2,3-,?,各个区间上的图象. 补充 1. 有些周期函数可能没有最小正周期,如常函数 2.①若( + ) = ( ) + (,为非零常数),则称()为“周期性”阶梯函数. 迭代: ( ) = ( ? ) + = ( ? 2) + 2 = ? = ( ? ) + . ②若( + ) = ( )(,为非零常数),则称()为“周期性”倍增函数. 迭代: ( ) = ( ? ) = 2 ( ? 2) = ? = ( ? ). ③若( + ) = ( ) + (,,为非零常数),则称()为“周期性”倍增阶梯函数. 迭代 : ( ) = ( ? ) + = 2 ( ? 2) + + = ? = ( ? ) + (;1 + ;2 + ? + + 1). ”函数. 3.若( ) = (),则称()为“移动分段放大(或伸缩) ①利用( ) = ( ) = ? = (
1

注意每个“周期”上 ()的图象特点.

)或( ) = ( ) = ? =


1

1

( )可求函数值或分段求解析式;

②利用( ) = ()或 ( ) = ( )可分段画出下列区间上的图象: ?,(?2 0 ,?1 0 -,(?1 0 ,0 -,(0 ,0 - ,(0 ,2 0 - ,(2 0 ,3 0 -, ?, 【相邻区间上的图象,本质上是伸缩变换:{
知识改变命运,奋斗成就梦想! ′ = , ′ = .

因此每个区间上的曲线类型不变! 】
19 多思出悟性,常悟获精华!

天下事有难易乎?为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难矣。

专题 9 指数与指数函数(B1)
1.若 = ,则叫做的次方根. (1)当为奇数时, = √ ; (2)当为偶数时, = ± ( > 1, ∈ ?) √ ; 2.根式的性质:①( √ ) = ,


, 当为奇数时; ② √ = { ||,当为偶数时.

( > 1, ∈ ?)

3.正数的正分数与负分数指数幂的意义: ① = √ ;


②; =





1

=



1



.( > 0,, ∈ ? ,且 > 1)

4.正数的指数幂的运算性质: ( > 0, > 0,, ∈ ) ① ? = : , ④


②( ) = , ⑤( ) =


③() = ? ; ⑥ √ = √ ? √ .


= ; ,



【说明】 (1)当 ≤ 0, ≤ 0时,这些运算性质不一定适用. (2)化简技巧:① = ( );1 ;


②若√ ± 2√ = √(√)2 + (√)2 ± 2 ? √ ? √,则√ ± 2√ = √ ± √( > ). (3)因式分解:① ? = (2 )2 ? ( 2 )2 = (√ ? √)(√ + √), ② ± = (3 )3 ± ( 3 )3 = (3 ± 3 )(3 ? 3 3 + 3 ). (4)根据正数的指数幂的运算性质,上升到抽象函数:( + ) = ( ) ? (), ( ? ) = (). (5)有些时候需要注意分数幂指数不能随意约分,如 ?4
2 4 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1

()

=

4

?4


2

= 2,而 ?4

1 2

= ?4


在实数范围内就没有意义了
5.指数函数 = ( > 0,且 ≠ 1)的图象和性质:见右图 【通过图象掌握性质:定义域,值域,定点,单调性. 】 6.与指数函数有关的奇函数、偶函数,及其单调性: 奇函数:① ( ) =
; ? 2

= 1

(0,1) 0 < < 1

(0,1)

> 1

= 1


1 1

【单调性:变形为( ) = 2 , + (? )-可快速判断单调性】 ② ( ) =
;1 :1

(同乘) ;
( :1);2 :1

【单调性:变形为( ) =

= 1?

2 :1

可快速判断单调性】

偶函数:③ ( ) = || , 【还要掌握③的图象! 】 ④ ( ) =
: ? 2



7.比较大小的方法:①利用单调性;②利用中间量 0,1 或构造的中间量(如指数幂 等) . 8.注意2 ? ;2 ,2 + ;2 , ? ;1 , + ;1 ,2 ? ;2 ,2 + ;2 这些代数式之间的联系:平方法、换元法. 9.底数变化决定函数图像的变化,在同一坐标系内给出 y
1 1 1 1

? a x , y ? b x , y ? c x , y ? d x ,??? 的图像,比较底数

a,b,c,d ,??? 的大小关系的方法:画出直线 x=1 与指数函数图像的交点,交点的纵坐标就是相应的底数,结合图
像即可得到其大小关系。

20 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来。

专题 10 对数与对数函数(B1)
1.如果 = ( > 0,且 ≠ 1),那么数叫做以为底的对数,记作 = log . 2. = ? = log ( > 0,且 ≠ 1). ①log 1 = 0; ②log = 1; 【log10 = lg,log = ln,其中 = 2.71828 ?】 ③log = ; ④log = .

3.对数的运算性质( > 0,且 ≠ 1, > 0, > 0): (1)log ( ? ) = log + log ; (2)log = log ? log ; (3)log = log .


【log = log ();1 = ?log 】 【log
1







= ?log . 】

【注意】①log 2 ≠ 2log ,正确的是:log 2 = 2log ||. ②对常用对数式的化简,要充分利用lg2 + lg5 = 1. ③根据对数的运算性质,上升到抽象函数: () = ( ) + (), () = ( ) ? (), ( ) = (), () + ( ) = 0. 4.换底公式:log = 推论:①log =
log log 1

;(其中, > 0,且 ≠ 1, > 0,且 ≠ 1) ②log = log ;


log ;

③log = log .


1

5.对数函数 = log ( > 0,且 ≠ 1)的图象和性质:见右图. 【通过图象掌握性质:定义域,值域,定点,单调性】 6.与对数函数有关的奇函数、偶函数,及其单调性: 奇函数:① ( ) = log (√ 2 , + 1 + )(分子有理化)

= 1 (1,0)



= 1 (1,0) > 1

0 < < 1

【单调性:先判断 ≥ 0时的单调性,而后由奇函数性质得知上的单调性】 ② ( ) = log
1; 1:

(利用 = ( );1 或利用展开) ;
2;(:1) 1:





【单调性:变形为( ) = log

= log (

2 1:

? 1)可判断单调性】

偶函数:③ ( ) = log ||, 【还要掌握③的图象! 】 ④ ( ) = log ,(1 ? )(1 + )-. 7.① = log 与 = 互为反函数; ②互为反函数的两个函数的图象关于直线 = 对称,反之亦然. ③点(,)与′ (,)关于直线 = 对称. 8.解对数方程时,把等式两边转化为同底后去掉对数符号会扩大真数的取值范围,因此求出解后

必须验根,以防出现增根
9.证明对数运算法则或化简指数运算,指数对数综合运算时,常采用等号左右两边同时取对数的方法 10 . 作直线 y=1 与各图像相交, 各交点的横坐标即为各 当多个对数函数图像出现在同一坐标系中时,

个对数函数的底数, 进而比较各对数函数的底数间 的大小关系
11 . 定义域或值域为 R 的问题
1 要使 y ? log ? g ? x ? ? 的定义域为 R,则对于任意实数 x,恒有 g ? x ? ? 0 成立 ○ a ? ? 2 要使 y ? log ? g ? x ? ? 的值域为 R,则必须使 g ? x ? 能取遍 ? 0, +? ? 内的所有值,一个都不能少,因此 ○ a ? ?

t ? g ? x ? 的 值域中必须包含 ? 0, +? ? 。
21 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴。

专题 11 幂函数的图像与性质(B1)
1.定义:函数 = 叫做幂函数,其中是自变量,是常数.重点掌握: = 1,2,3, 2 , ? 1时图象与性质.
1 = 0 = 3 (1,1) (1,1) 1 = 2
1

2. 图象与性质: 下面①②③三个图像都只画出第一象限内的部分, 二三象限内的图像可根据定义域, 奇偶性确定! 当 > 0时, = 在(0, + ∞)是增函数;
(1,1) ① =


当 < 0时, = 在(0, + ∞)是减函数.
(1,1) > 1)


(1,1) ③ = ( < 0)
1 √

(0

< < 1)

② =

(

3.幂函数 = , = ; (, ∈ : ,且,互质)可分别化为: = √ , =



,再研究函数性质.

补充
1.函数 = (), = log ()的单调性确定: (求它们的值域一般使用换元法! ) 方法①:运用复合函数“同增异减”或“大同小异”法则判断. (方法①比方法②简单! ) 方法②:用单调性定义判断, = ()用比商法(化简后主要判断指数与 1 的大小) , = log ()用比差法(化简后主要判断真数与 1 的大小) . 2.设函数( ) = log ( 2 + + ),记Δ = 2 ? 4. ①若()的定义域为,即 2 + + > 0恒成立,则{ = = 0, > 0. 或{ > 0, Δ < 0. > 0, ?≥ 0.

②若()的值域为,即 2 + + 能取遍一切正实数,则{

= 0, ≠ 0.

或{

3.设 > 1,1是 = ? 的根,2是log = ? 的根,求1 + 2的值. 方法:在同一坐标平面中作出 = , = log , = ? 的图象,显然 = 与 = log 的图象关于直线 = 对称,且函数 = ? 的图象关于直线 = 对称,则 = , = log 和 = ? 的交点也关于 直线 = 对称;由{ 解得交点坐标(2 , 2),则由对称性易知 = ? . = ,
1 :2 2

= 2,所以1 + 2 = .



4.设1 ,2 是(关于的)方程 2 ( ) + ( ) + = 0的两根,

【此时对1 ,2 不能用韦达定理】

则(1 ),(2 )是关于( )的方程 2 ( ) + ( ) + = 0的两根. 【此时对(1 ),(2 )才可用韦达定理】 ①通过换元法理解上述结论:令( ) = ,则方程 2 + + = 0的两根为1 = (1 ),2 = (2 ). ②在具体问题中,()常为log ,或 ,或tan等. 5.由1 ( ) = ? 1,2 ( ) = ( ? 1)( ? 2),3 () = ( ? 1)( ? 2)( ? 3)的图象掌握多项式函数的图象特征,并 能求出相关不等式的解集. 【数轴穿根法】 6.函数的迭代:1 ( ) = (),:1 ( ) = ( 1 ( ))(或 = 1 ( ( ))),其函数零点个数问题与递推数列关系密切. ①若1 ( ) = 的解为1 ,2 , ? , ,则:1 ( ) = 即1 ( ( )) = 的解由 ( ) = 1 , ? , ( ) = 确定; ②若 ( ) = 的解为1 ,2 , ? , ,则 :1 ( ) = 即 ( 1 ( )) = 的解由 1 ( ) = 1 , ? , 1 ( ) = 确定. 其实就是相当于利用换元法解方程!

22 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

书山有路勤为径,学海无涯苦作舟。

专题 12 函数与方程、二分法(B1)
1.零点定义:对于函数 = ( ),使得 () = 0的实数叫做 = ( )的零点. 即函数 = ( )的零点就是方程 ( ) = 0的实数根,也就是函数 = ( )的图象与轴交点的横坐标. 方程() = 有实数根?函数 = ()的图象与轴有交点?函数 = ()有零点. 2.求函数 = ()的零点或求方程 () = 0的根的方法: ①代数法:求函数 = ()的零点转化为求方程 ( ) = 0的根; ②几何法:求方程( ) = 0的根转化为求函数 = ()的零点,利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根. 3.根据含参数函数的零点个数,求参数取值范围的方法(无论客观题还是解答题,基本上都是要善于数形结合) : ①函数 ( ) = ( ) ? g()有个零点?方程( ) ? g( ) = 0有个实数根?方程 ( ) = g()有个实数根 ?函数 = ( )与 = g()的图象有个交点. 【正转化、逆转化要熟练. 】 ②分离参数法:方程 = ()有个根? = ()的图象与直线 = 有个交点. 【补充】 方程 = ()有根? ∈ *| = ( )+.

4.函数零点判定定理(根的存在性定理、勘根定理): 如果函数 = ( )在区间,,-上的图象是一条连续不断的曲线,并且有 () ? () < 0,那么函数 = ( )在 区间(,)内有零点,即存在 ∈ (,),使得 ( ) = 0,这个 也就是方程( ) = 0的根(亦即()的零点) . 说明:①符合该定理的条件,能确定( )在区间(,)内有零点,但零点不一定唯一. ②并不是所有的零点都可以用该定理来判定.不满足该定理的函数也可能有零点. (即逆命题为假命题) ③若函数 = ( )在区间(,)内有零点,且在区间(,)上是单调函数,则函数( )在区间(,)内 有唯一零点. ④设 ( ) = + ,若( )在(,)上有零点,则 () ? () < 0; ⑤会运用放缩法或估算, 确定(),( + 1)的符号 (正负号) , 以便确认()在区间(, + 1)有零点. ⑥可借助“ → ” , “ → +∞”等符号或者说“充分大时” ,来说明()在区间端点值的正负. 5.二分法定义:对于在区间,,-上连续不断,且满足 () ? () < 0的函数 = ( ),通过不断地把函数( )的 零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 6.给定精确度,用二分法求函数 ( )的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间,,-,验证 () ? () < 0,给定精确度; (2)求区间(,)的中点 ; (3)计算(): ①若 ( ) = 0,则 就是函数的零点; ②若 () ? ( ) < 0,则令 = (此时零点0 ∈ (,)); ③若 ( ) ? () < 0,则令 = (此时零点0 ∈ (,));
可画线段同步标记区间端点 及中点的函数值符号.通常零 点总在符号相反的两点之间.

(4)判断是否达到精确度:即若| ? | < ,则得到零点近似值 (即,,-的某端点) ;否则重复步骤2~4. 【注意】①当区间,,-的长度小于精度时,则该区间,,-上任意一个值都可以做为零点的近似值,只是习 惯取端点 (即,,-的某端点,亦即上一个区间,,-的中点)回答. ②由于经过次对分后区间长度为
|;| 2

【,,-亦可为(,). 】

,因此由

|;| 2

< 可以事先确定需要对分区间的次数.

③注意二分法求函数( )的零点近似值的程序框图及程序.

23 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

Knowledge is power.知识就是力量。

专题 13 二次方程根的分布(B1)
1.以下条件(问题)的转化都是用于求方程中所含参数的取值范围. 设 2 + + = 0( > 0)的两根为1 ,2 .令 () = 2 + + ( > 0),Δ = 2 ? 4,则 Ⅰ、两根 在同一区间:先画图,再研究??的符号、?轴与区间关系、?区间端点函数值符号;见①②③. .. 【三抓:一抓判别式,二抓对称轴,三抓端点值! 】 (两根在同一区间只有三种情形! )
?≥ 0, ①1 ,2 ∈ (?∞,) ?


Δ ≥ 0,
2

Δ ≥ 0, < ?
2

?

2

< , ②1 ,2 ∈ ( , + ∞) ? ?
= ?

> , ③1 ,2 ∈ (,) ?
= ?

< ,

{() > 0.
= ?

{ () > 0.

() > 0, {() > 0.



1

2







1



2





1



2





Ⅱ、两根 不在同一区间:先画图,只研究区间端点函数值符号;如④⑤⑥⑦⑧⑨等. .. 【一抓:只抓端点值! 】 (两根不在同一区间情形比较多! ) () > 0, ④1 ∈ (,),2 ∈ (,) ? () < 0, () < 0, { () > 0. ⑥1 < , 2 > ? () < 0; () < 0, () > 0.
2
1

() > 0, ⑤ < 1 < < 2 < ? { () < 0, () > 0. ⑦1 < , 2 > ? { () < 0, () < 0. () < 0, ⑨1 < , < 2 < ? {() < 0, () > 0.

⑧1 < < 2 < ? {

1

2
1

2 ⑦
1

2


1







1



2







2











Ⅲ、根的分布问题还可以这样解决: ①用求根公式求出两根后加以限制;②或灵活运用韦达定理建立不等式(组);③分离参数法. 2.若一元二次方程 2 + + = 0( > 0)在区间(,)上只有一个根,则可从以下三方面入手: ?= 0, () = 0, () = 0, ①{ ;②{ 或{ ;③ ()() < 0. 【还可以考虑用分离参数法. 】 < ? 2 < . () > 0. () > 0. 3.一般方程根的个数分布:怎么研究?【利用函数的单调性确定函数图象的起伏!这个问题很重要!常考不衰! 】 ①含参数的方程( ) = 0在,,-只有一个根. ②含参数的方程( ) = 0在,,-只有两个根. ③含参数的方程( ) = 0在,,-只有三个根.
= ()







【涉及(含参数的)函数的零点个数问题,应该有预知该函数图象起伏的能力,然后通过运算推理确认. 】 (个数分布问题,范围分布问题---常考不衰!)

24 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

Learn and live.活着,为了学习。

专题 14 函数的应用(B1)
1.求解数学应用题的一般步骤: ①审题:认真读题,确切理解题意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内在联系,及关键的等量关系. ②建模:通过抽象概括,引进数学符号,将实际问题转化为相应的数学问题,要注明符合实际意义的定义域; ③解模:求解所得的数学问题; ④回归:将所解得的数学结果,回归到实际问题中去. 2.常见的函数模型有: (根据列表?作出散点图?选择函数模型,即列表法?图象法?解析法) ①一次函数,二次函数,反比例函数模型: = + , = 2 + + , = . ②指数增长模型:设原有量为,每次的增长率为,经过次的增长,该量增长到,则 = (1 + ) ( ∈ ). 复利问题、半衰期(衰减)问题都是符合指数增长模型.指数型函数模型: = ( > 0,且 ≠ 1) . ③指数函数、对数函数、幂函数模型: = + , = log + , = + . 在(0, + ∞)上, = ( > 1), = log ( > 1), = ( > 0)都是增函数,但增长速度不一样! 但总会存在一个0,当 > 0时,log < < . ④分段函数模型:若一个函数在它的定义域中,对于自变量的不同取值范围,对应法则不同,则需用分段函数 来表示. (这样的函数通常称为分段函数) 3.在“求当取得最值时的值”的题型中,一般都能建立 = ()的函数关系!不管的形式有多么复杂,也不 论是在立体几何、解析几何、函数、数列等背景中. (函数思想)


4.在应用题中,若涉及到的数量关系较多时,最好是先分类说明,然后再建立函数关系式(或不等式).这样,在 考试中,即使不能完全做对,也能得到相应的一些步骤分.而直接列式在错误的情况下,一般是不会给分的.

例.某车间有 50 名工人,要完成 150 件产品的生产任务,每件产品由 3 个型零件和 1 个型零件配套组成.每个 工人每小时能加工 5 个型零件或者 3 个型零件, 现在把这些工人分成两组同时工作 (分组后人数不再调整) , 每组加工同一种型号的零件.设加工型零件的工人人数为名( ∈ ? ). (1)设完成型零件加工所需时间为()小时,写出()的解析式; (2)为了在最短时间内完成全部生产任务(组装产品的时间不计) ,应取何值? 解: (1)生产 150 件产品,需加工型零件 450 个,则完成型零件加工所需时间为 ( ) =
450 5

=

90

, ∈ ? ,且 1 ≤ ≤ 49.

(2)生产 150 件产品,需加工型零件 150 个,则完成型零件加工所需时间为 g( ) = 3(50;) = 50; , ∈ ? ,且 1 ≤ ≤ 49. 设完成全部生产任务所需时间为?(),
90 150 50

则?() = max{( ),g()} = {

50

, ,

90 90

≥ 50; , ≤ 50; .
50

50

90

=

{ 50



∈ ? ,1 ≤ ≤ 32,

50;

50;

, ∈ ? ,33 ≤ ≤ 49.

1 ≤ ≤ 32时,?()递减,∴?( )min = ?(32) = 16; 33 ≤ ≤ 49时,?()递减,∴?( )min = ?(33) = 17 > 16. 故为了在最短时间内完成全部生产任务,应取 32.
25 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!
50 45

45

Nothing for nothing.不费力气,一无所得。

专题 15 抽象函数及定点问题(B1)
1.解客观题中的抽象函数问题,一般先把抽象函数的性质反映到图象上去,再利用图象去解题. 有些具体函数问题的处理也类似抽象函数的处理方法(主要利用奇偶性、单调性、零点等性质) . 2.①给出()和(0 )求(?0 ),常先研究 ( ) + (? ),此时能推出一个恒等式,利用它能快速求出(?0 ). 【若( ) + (? )为定值,则函数()就具有中心对称的特点;显然()是由某个奇函数+常数而得到的. 】 ②给出()和( )求(0 ),常先研究( ) + (),此时能推出一个恒等式,利用它能快速求出(0 ).
0 1 1

③求一系列函数值的和,若每对函数值中的自变量之和为同一常数,则要考虑 ( ) + ( ? )是否为定值. 【若是定值,则该函数就还具有中心对称的特点.项数若为不确定的时,求和则用倒序相加法较为简单. 】 ④求一系列函数值的和,若每对函数值中的自变量之积为同一常数,则要考虑() + ( )是否为定值. ⑤求()的最大值与最小值的和 + 的值,或告知()的最大(小)值,求()的最小(大)值,应注意 ()是否为中心对称函数:若 ( + ) + ( ? ) = 2,则函数 = ()图象关于点(,)成中心对称, 则 + = 2. 【对于①③⑤可结合函数图象,掌握中点坐标公式. 】 3. 求含参数的函数(或曲线方程)图象经过的定点, 关键是找到(或)的值使得(或)的值为常数, 即得定点(,). ①若 = ( ? 1) + 3过点(2,4),则 = ()过点(1,1); ②若 = ( )过点(2,4),则 = ( ? 1) + 3过点(3,7); ③若 = ( ? 3) + 5,其中为参数,则过的定点为(3,5); ④若 = ;1 + 3,其中 > 0,且 ≠ 1,则过的定点(1,4); ⑤若 = log ( ? 2) + 4,其中 > 0,且 ≠ 1,则过的定点为(3,4).


【因为由已知可得 (1) = 1. 】 【利用图象平移或 (2) = 4. 】 【利用 ? 0 = 0. 】 【利用0 = 1. 】 【利用log 1 = 0. 】

4.给出抽象函数的运算性质,常从奇偶性(赋值法) 、单调性(定义法) 、求函数值(赋值法) 、或数值转化成函数 值等方面入手研究. 【常用变换: ( ) = ,( ? ) + -, () = ( ? );具体函数模型. 】 ①( + ) = ( ) + () ? , ②( + ) = ( ) ? () ? ( ? ) = ( ) ÷ (), ③( ? ) = ( ) + () ? () = ( ) ? (), ④() = ( )(),


一次函数模型,如 ( ) = + . 指数函数模型,如 ( ) = . 对数函数模型,如 ( ) = log , () = log ||. 幂函数模型,如 ( ) = , ( ) = || .

5.熟悉符号,-的含义:, - =不超过的最大整数;如需讨论化简,分 ∈ , , + 1), ∈ 情形进行. 若令 = + , ∈ , ∈ ,0,1),则, - = , + - = ,故, -称为取整函数. 6.带绝对值符号的函数、方程、不等式问题,在没有更好方法的情况下,不妨考虑分段去绝对值符号,分段研究. 7.复合函数(g())问题的研究:①换元法;②求出(g())的表达式再求解. 8.涉及运动(应用)型函数图象的判断或某些函数图象的作图,一是会作定性分析,二是会作定量分析. 9.,0, + ∞) = ,0,1)?,1,2)?,2,3)? ? ?, , + 1)? ? , ∈ ?; ? ?(:1 , -? ? ?(3 , 2-?(2 ,1- = (0,1-, ∈ ?.
1 1 1 1 1

26 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

27

专题 16 恒成立及有解(B1)
重点掌握!多思多悟!每次必考! 1.分离参数的方法: 【常用于求或恒成立、或有解、或无解、或已知函数零点个数命题中的参数取值范围问题. 】 ①常规法分离参数:如 ( ) = g() ? = (); ③讨论法分离参数:如() ≥ g(); ⑤不完全分离参数法:如 = ln + ? 2 ;
g()

②倒数法分离参数:如 ( ) = g() ? = g(); ④整体法分离参数:如2 + = (); ⑥作商法凸显参数,换元法凸显参数.

1

()

【注意】?分离参数后,问题容易解决,就用分离参数法(大多数题可以使用此方法) . 但如果难以分离参数或分离参数后,问题反而变得更复杂,则不分离参数,此时就用带参转化法. ?恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的, 应该考虑先去掉这一部分或端点, 再 分离参数求解. 【否则往往分离不了参数. 】 ?对参数是否可以先适当缩小范围?通常用观察法、反证法就可以确认. 2.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论!常用于求或恒成立、或有解、或无解命题中的参数取值范围. ①若 ≥ ()恒成立(即 < ()无解) ,则 ≥ , ()-max ; ②若 ≤ ()恒成立(即 > ()无解) ,则 ≤ , ()-min; ③若 ≥ ()有解(即存在使得 ≥ ()成立) ,则 ≥ , ( )-min; ④若 ≤ ()有解(即存在使得 ≤ ()成立) ,则 ≤ , ( )-max ; ⑤若 = ()有解(即 ≠ ()无解) ,则 ∈ *| = ( )+; ⑥若 = ()无解(即 ≠ ()有解) ,则 ∈ ? *| = ( )+. 【都与最值或值域(上限、下限)有关,另外要注意等号的取舍! 】 【上述结论也适用于为常数,即没有先行分离出参数时使用! 】 3.①()在,,-上是增函数,则 ′ () ≥ 0恒成立.(等号不能漏掉). ②()在,,-上是减函数,则 ′ () ≤ 0恒成立.(等号不能漏掉). ③()在,,-上是单调函数,方法一:分上述两种情形讨论;(常用方法) 方法二:′( ) = 0在(,)无实数解或有解也只能是偶次重根(或说()无极值点). ④()在,,-上不是单调函数,则′( ) = 0在(,)有解且解不全为偶次重根【或说()有极值点】 . ⑤若 = | ( )|是区间上的单调函数,则 = ( )是区间上的单调函数,且 ( ) ≥ 0(或 ( ) ≤ 0)恒成立. ⑥若()在,,-上存在递增或递减区间,则 ′ () > 0或 ′ ( ) < 0在[,-上有解. (或利用不存在去转化. ) 4.①?1 ∈ ,?2 ∈ , (1 ) ≥ g(2 ) ? (1 )min ≥ g(2 )max ;方法:处理(1 )时,把g(2 )当常数; ②?1 ∈ ,?2 ∈ , (1 ) ≥ g(2 ) ? (1 )min ≥ g(2 )min; 思考:(1 ) + g(2 ) > 0对1 ,2的四种取值情形; ③?1 ∈ ,?2 ∈ , (1 ) ≥ g(2 ) ? (1 )max ≥ g(2 )max ; ④?1 ∈ ,?2 ∈ ,(1 ) ≥ g(2 ) ? (1 )max ≥ g(2 )min .
或? ∈ ,() > g(); 或? ∈ ,() > g()等又如何处理呢? 【同理! 】 处理g(2 )时,把(1 )当常数. ③ = ① = () = () = = = () ⑤ = () ② = = ④ = () = = () ⑥



【值得注意的是,有时只转化某一边,当两边都含有同一参数或变量时.这就是随机应变了! 】 5.①? ∈ , ( ) > 0恒成立? ? *| ( ) > 0+,可用于解决集合中含参数的问题. ②? ∈ ,使 ( ) > 0成立? ?*| ( ) > 0+ ≠ ?,可用于解决集合中含参数的问题. ③还可利用全称命题与特称命题的相互转换及补集思想解决恒成立命题与存在性命题. 6.含多个参数恒成立问题:逐一处理,并适当注意处理顺序(先易后难) . 7.恒成立或有解命题转化后,若得到的只是关于参数的(超越型)不等式,则后续的工作就是解该不等式!
27 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

28

补充
1.设( ) = + ,则: ①若( )在(,)上有零点,则() ? () < 0; ②若( ) > 0在,,-恒成立,则{ ③若( ) < 0在,,-恒成立,则{ 2.设( ) = 2 + + ,则: ①若( ) > 0在上恒成立,则{ = = 0, > 0. 或{ > 0, ?< 0. () > 0, () > 0.
() = + ① () = +

() < 0, () < 0.



() = + ③

= = 0, < 0, ②若( ) < 0在上恒成立,则{ 或{ < 0. ?< 0. ③若( )在上有零点,则{ = 0, ≠ 0. 或{ ≠ 0, ?≥ 0. (两种方法的)关键都是先确定()的值域! (范围相加! )

3.①| (1 ) ? (2 )| < ? ( )max ? ( )min < .

②| (1 ) ? (2 )| < ? ? < (1 ) ? (2 ) < ? ? < (1 ) + ,?(2 )- < . 4.①区间端点:区间(,)中的,; ②区间中点:区间(,)的中点 =
: 2



这些“点”其实都是实数!

③最值点:使得()取得最值(0 )时的0; ④零点:函数()等于 0 的解; ⑤极值点:使得()取得极值(0 )时的0; ⑥驻点:一阶导数′()等于 0 的解; 【临界点、稳定点】 ⑦拐点:二阶导数′′()等于 0 的解;它的两侧凹凸性相反(如图) . ⑧()在点 = 处的导数、切线. 5.已知①不等式恒成立、有解、无解,②方程有解、无解,③函数零点个数,求参数取值范围问题. 解决此类问题的常用方法:分离参数法、带参转化法.
0

通法先行,随机应变!大胆猜想,小心求证!

28 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

29

专题 17 常见函数题型的解题思路(1)(B1)
【题型 1】 含参数的(两段式)分段函数( ) = { 1 ( ), ≤ , 2 ( ), > . 为上的单调增(或减)函数, 如何求参数取值范围?

①每段函数是单调增(或减)函数;②1 () ≤ 2 ()(或1 () ≥ 2 ()). 【可推广到多段式分段函数. 】 【另外】当0 ≤ < 0 + 1(0 ∈ : )时,若 = ()是递增(或减)数列,则
此题型中1 (),2 () 它们本身通常为单调 ①每段函数是单调增(或减)函数;②(0 ) < (0 + 1)(或 (0 ) > (0 + 1)). 函数是个隐含条件.

例 1.已知函数( ) = {

(3 ? ) ? 3, ≤ 7, ;6 , > 7.

(1)若()是上的单调增函数,则实数的取值范围是______; (2)若数列* +满足 = (),且* +是单调递增数列,则实数的取值范围是______. (3)若 ;6 改为 2 + (8 + 2) + 4,又该如何解答上述问题(2)呢? 3 ? > 0, 【答案】(1),4 ,3);(2)(2,3); (3)? 71 < < 3. 【解析】 (1){ > 1, (7) ≤ (3)3 ? > 0,(9) > (8),(8) > (7). 【作出图象想一想. 】
9 66 7;6

3 ? > 0, (2){ > 1, (7) < (8).



例 2.已知函数 = ( ), ∈ ,满足 ( ) = ( ? 1)( ≠ 0).若当0 < ≤ 1时, ( ) = ( + 1)3 ,试问函数 = ()在区间(0, + ∞)上是否可以为单调函数,若可以,求出的取值范围;若不可以,请说明理由. 解: 【注意到(0, + ∞) = (0,1-?(1,2-?(2,3-? ? ?(, + 1-? ?】 当 < ≤ + 1( ∈ )时,0 < ? ≤ 1, 则( ) = ( ? 1) = 2 ( ? 2) = ? = ( ? ) = ( ? + 1)3 . 【迭代】 由于()在(0,1-是增函数,若函数 = ()在区间(0, + ∞)上为单调函数,则必为增函数,所以 > 0, 因此,当 ∈ (, + 1-时, ( ) ∈ ( ,8 -,当 ∈ ( + 1, + 2-时, () ∈ (:1 ,8:1 -, 从而要使函数 = ()在区间(0, + ∞)上为增函数,则应满足{ 8 ≤ :1 , > 0. ? ≥ 8.

故函数 = ()在区间(0, + ∞)上可以为单调函数,且 ∈ ,8, + ∞).

【题型 2】如何求(,) = 0的(正)整数解,? 【方法】将(,) = 0先化成 = ()(通常为分式函数),再通过分子常数化将 = ()化成 = + g() (, ∈ )的形式,这样g()只能等于 的约数,就可进一步解出,的值. 【题型 3】给出函数()和方程(( )) = ,求方程根的个数或所含参数的取值范围: 【方法】1.令 ( ) = ,则() = ; 2.先确定() = 的根 的个数及 所属范围,再确定每个方程() = 的根的个数. 例.已知( ) = { + 1, ≤ 0, log2 , > 0. 讨论函数 = (( )) + 1的零点个数.


解:令( ) = ,则() = ?1. 当 > 0时,作出()的图象,则可知 () = ?1有两个零点1 ,2 ,且1 < 0,0 < 2 < 1,
29 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

30

则( ) = 1 与 ( ) = 2 各有两个零点,即 = (( )) + 1有四个零点; 当 ≤ 0 时,作出 () 的图象,则可知 () = ?1 有一个零点 1 ,且 0 < 1 < 1 ,则 ( ) = 1 有一个零点,即 = (( )) + 1有一个零点.综上所述,当 > 0时,有 4 个零点;当 ≤ 0时,有 1 个零点.

【题型 4】求参数取值范围的一种实用方法:某些全称命题(恒成立命题)和特称命题(存在性命题) ,可以先通 过利用充分性【特殊情形】缩小【参数、自变量】的范围,再回头利用题设彻底解决问题. 例.设函数( ) = 2 ? + + 3,g() = ? 2,若?0 ∈ ,使得(0 ) < 0与g(0 ) < 0同时成立,则实数的 取值范围是________. 【答案】(7, + ∞).
2 2 【解析】①先缩小的取值范围:由 (0 ) + g(0 ) = 0 ? + 3 < 0 ? > 3 + 0 ? > 3; 2 ②再确定0的范围:由g(0 ) = (0 ? 2) < 0 ? 0 < 2, (0 ) < 0 ? 0 + 3 < (0 ? 1) ? 0 > 1,

所以1 < 0 < 2;
2 ③最后精确定位的取值范围: (0 ) < 0 ? 0 + 3 < (0 ? 1) ? >
2 :3 0

0 ;1

? > 7.

【题型 5】已知函数 = ( )( ∈ ),若 ∈ ,,-时,值域为, , -(或, , -等情形) ,求,的值. 【思路】 先求出函数 = ( )( ∈ )的值域 , 则由[ , ] ? 可得或的限制条件, 再考察 = ( )在,,-单 调性,主动求出值域,然后与值域, , -联系起来,则不难解决问题.





【题型 6】设()含两个参数,,当 ∈ 时,对? ∈ ,( ) > 0恒成立,求的取值范围(或求,的制约关 系,或求充要条件等) . 【方法】分离参数法(分离出参数)最简单!注意:在这种题型中是字母常数. 【说明】多元问题的处理:可以将其中一个元当主(自)变量,其余元当字母常数(或参数) . 例.已知函数( ) = ? 2 ,当 > 1时,对任意的 ∈ ,0,1-,确定|( )| ≤ 1恒成立的充要条件. 解:| ( )| ≤ 1 ? | ? 2 | ≤ 1 ? ?1 ≤ ? 2 ≤ 1 ? 2 ? 1 ≤ ≤ 2 + 1对 ∈ ,0,1-恒成立 ? ? ≤ ≤ + 对 ∈ (0,1-恒成立. 当 ∈ (0,1-时,g() = ? 为增函数,其最大值为g(1) = ? 1; ?() = + ≥ 2√( =
1 1 √ 1 1 1

时等号成立) ;

所以 ? 1 ≤ ≤ 2√,( ? 1 ≤ 2√ ? 1 < ≤ 3 + 2√2).

30 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

31

专题 18 空间几何体(B2)
1.概念:①空间几何体;②多面体: (直、正)棱柱、 (正)棱锥、棱台;③旋转体:圆柱、圆锥、圆台,球等简 单几何体的结构特征,简单组合体的结构特征,中心投影,平行投影. 2.1 三视图的“三原则” : (1)高平齐:正视图与侧视图的高要保持平齐; (2)长对正:正视图与俯视图的长应对正; (3)宽相等:俯视图与侧视图的宽度应相等; 2.2 三视图的“两要求” : (1)图的摆放:侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边. 【不作严格要求时,也可摆成一行. 】 (2)线的虚实:画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示;不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 2.3【重点掌握】三视图问题中值得注意的事项: (1)三视图不一定是几何体表面的形状,可能是某个截面的形状,或是由几个关键点的投影确定的多边形. (2)根据三视图,①能判断几何体的形状,并能作出其直观图; ②能根据三视图中的数据直接计算几何体的体积与面积. 3.平面多边形的直观图的画法(斜二侧画法规则): ①在已知图形中建立平面直角坐标系, 画直观图时, 建立斜坐标系′′′, 使∠′′′ = 45 (或135°),′′′ 所确定的平面表示水平平面. ②已知图形中平行于轴的线段,在直观图中保持长度和平行性不变; 平行于轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半. 【说明】 (1)画平面多边形的直观图,关键是确定多边形的各个顶点,这就需要借助与坐标轴平行或垂直的线段(必要 时作出这样的辅助线) ,或在坐标轴上的线段来完成. (2)平面多边形面积和其直观图面积′满足: = 2√2′.会将平面多边形与其直观图相互转化. (3)画几何体的直观图时,在画出底面后,增加一条竖直的轴,再画侧棱或高或母线等. 4.空间几何体(柱体、锥体、台体、球)的表面积与体积: ①圆柱的侧面积 = 2,(侧面展开图是矩形), ②圆锥的侧面积 = 2 ? 2 ? = ,(侧面展开图是扇形), ③圆台的侧面积 = (′ + ),(侧面展开图是扇环), ④柱体 = ?,
4 1 1

正视图反映几何体的高度和长度. 侧视图反映几何体的高度和宽度. 俯视图反映几何体的长度和宽度.

圆柱的表面积 = 2 2 + 2 = 2( + ). 圆锥的表面积 = 2 + = ( + ). 圆台的表面积 = ( ′2 + 2 ) + (′ + ). ⑥ 台体 = 3 (′ + √′ + )?(它涵盖公式④⑤) .
1

⑤锥体 = 3 ?,

⑦球 = 3 3 ,球 = 42 ;

过球心与截面圆心的直线垂直于该截面,且 2 = 2 ? 2 .
1 1

5.过圆锥顶点的所有截面中,轴截面面积不一定是最大的. 【利用 = 2 ?或 = 2 2 sin 可以证明(为母线长) . 】 6.柱、锥、台的表面都可以展开,这些几何体表面上两点间最短距离或截面多边形的周长的最小值,其实就是其 平面展开图上两点间的线段长. 7.研究台体(棱台、圆台)问题时,要注意与对应的锥体(棱锥、圆锥)联系起来. 8.设长方体的长、宽、高分别为,,,则长方体的对角线长为 = √2 + 2 + 2 ; 长方体的对角线恰为其外接球的直径!因此2 = . 特别地,设正方体的棱长为,则正方体的对角线长为 = √3,其外接球直径2 = √3.
31 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

32

专题 19 点、直线、平面之间的关系(B2)
(本专题的所有公理、定理及其推论、概念、性质,都必须理解、熟记!要做到运用自如! ) 一、平面的基本性质:(点与直线、平面: ∈ , ? ;直线与平面: ? , ? ;线线、线面、面面相交时:?) 1.公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.∵ ∈ , ∈ ,∴直线 ? . 2.公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. ∵,, 三点不共线,∴,, 确定平面 . 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. ∵ ? ,∴与确定平面. ∵? = ,∴与确定平面. ∵//,∴与确定平面.

3.公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ∵ ∈ ?, ∈ ?,∴? = . 4.公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ∵//,//,∴//.

5. (等角)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 【该定理主要为定义异面直线所成的角服务】

二、空间点、线、平面之间的位置关系: 1.1 空间中直线与直线的位置关系:相交直线,平行直线,异面直线. 【前两种统称为共面直线. 】 1.2 异面直线所成的角:通过平移转化为求相交直线所成的锐角或直角,范围:(0°,90°-. 常用方法有:平移法和向量法.


【∵//,∴∠(或其补角)为异面直线与所成的角(或夹角) . 】 1.3 两条异面直线垂直的定义:如果两条异面直线,所成的角为直角,就称这两条直线,垂直.记作 ⊥ . 因此,两直线垂直有两种情形:异面垂直、相交垂直.

2.1 空间中直线与平面的位置关系:直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行. 【后两种统称为直线在平面外. 】 2.2 直线与平面所成的角:主要掌握斜线与平面所成的角(即斜线和它在该平面上的射影所夹的锐角) .


范围,0°,90°-. 【∵ ⊥ ,∴∠为与平面所成的角. 】


2.3 直线与平面垂直的定义:如果一条直线和一个平面内任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直. 记作 ⊥ .①定义:? ? , ⊥ ,则 ⊥ ; ②性质:若 ⊥ , ? ,则 ⊥ .

3.1 空间中平面与平面的位置关系:两个平面平行,两个平面相交. 3.2 二面角的平面角:二面角的大小是用其平面角来度量的.范围,0°,180°-. 确定平面角的方法:①定义法,②垂面法,③三垂线定理法. 【∵ ⊥ , ⊥ ,∴∠是二面角 ? ? 的平面角. 】


3.3 两个平面互相垂直的定义:如果两个相交平面, 所成的二面角为直二面角,则称这两个平面互相垂直. 记作 ⊥ .该定义可用于证明面面垂直,即证明二面角的平面角为直角(平面角为 直角一般需用勾股定理证明) .
32 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

33

三、直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质: 【符号语言为定理使用模式,小括号中的内容可适当省略. 】 6.直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. ∵//, ? , ? ,∴//. 7.两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. ∵//,//, (, ? , )? = ,∴//. 8. 直线与平面平行的性质定理: 一条直线和一个平面平行, 则过这直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. ∵//, ? ,? = ,∴//. 9.两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. ∵//,? = ,? = ,∴//. 四、直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质: ⒑ 直线和平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. ∵ ⊥ , ⊥ , (, ? , )? = ,∴ ⊥ . ⒒ 两个平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.∵ ⊥ , ? ,∴ ⊥ . ⒓ 直线和平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. ∵ ⊥ , ⊥ ,∴//.

⒔ 两个平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. ∵ ⊥ , ( ⊥ , ? ,? = , )∴ ⊥ . 【面面垂直必须转化为线面垂直! 】 四、从教材中的概念、例题、习题中提炼出的性质: (同样可以作为证题依据! ) 1.两个平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个 平面平行. ∵//′,//′,? = ,′ ?′ = ′,∴//. ∵ ⊥ , ⊥ ,∴//.

2.两个平面平行的判定:垂直同一条直线的两个平面平行.

3.两个平面平行的性质:如果两个平面平行,则其中一个平面内的任意直线都平行另一个平面. ∵//, ? ,∴//. 4.两个平面垂直的判定:如果一个平面垂直两个平行平面中的一个,则它也垂直另一个平面. ∵//, ⊥ ,∴ ⊥ . 5.直线和平面垂直的判定:如果两条平行线中的一条垂直一个平面,则另一条也垂直该平面. ∵ ⊥ ,//,∴ ⊥ . 6.直线和平面垂直的判定:如果一条直线垂直两个平行平面中的一个,则它也垂直另一个平面. ∵//, ⊥ ,∴ ⊥ . 7.直线和平面垂直的判定:如果两个相交平面都垂直第三个平面,则它们的交线也垂直第三个平面. ∵ ⊥ , ⊥ ,? = ,∴ ⊥ . 8.唯一性命题:①过一点有且只有一条直线和一个平面垂直;②过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 9.过平面外一点引平面的斜线段,①斜线段相等,则射影相等;②射影相等,则斜线段相等. ⒑ ①若 ⊥ , ⊥ ,则 ⊥ (三垂线定理) ; ②若 ⊥ , ⊥ ,则 ⊥ (三垂线定理的逆定理) .


【则∠为二面角 ? ? 的平面角. 】 【则∠为二面角 ? ? 的平面角. 】 线线垂直 线面垂直 面面垂直


线线平行 线面平行 面面平行





33 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

34

综合知识
1.空间几何题的证明过程中,常用到三角形(梯形)中位线定理、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比 例的判定与性质、相似三角形对应边成比例、等腰三角形的三线合一、勾股定理、圆心角、圆周角等平面几何 知识. 【若将空间问题已转化为平面问题,则根据需要可以把平面图形准确画出来! 】 注意:①平面几何的一些结论在空间几何中不一定成立! ②空间几何问题,也常需要作辅助线才能解决问题. 2. (综合法)求角、求距离的一般步骤:一找(或作) 、二证、三求值.对于求距离,还可以考虑用等积法. 3.特殊棱锥的顶点在底面的射影的位置: 【外心:多边形外接圆的圆心;内心:多边形内切圆的圆心; 中心:内心和外心重合时,就称为正多边形的中心. 】 ①若棱锥侧棱长均相等,或棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. (含三棱锥) ②若棱锥的各侧面与底面所成二面角大小均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的内心. (含三棱锥) ③若棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的内心. (不含三棱锥)

④若三棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影在底面三角形内时为底面三角形的内心. (否则为旁心) ⑤若三棱锥有两组对棱垂直,或三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. 【说明】三角形的四心(正三角形的四心合一! ) 外心:三角形三边垂直平分线的交点. 垂心: 三角形三边上的高的交点. 内心:三角形三内角平分线的交点. 重心: 三角形三条中线的交点 (重心把每条中线都分成2:1) .

4.四面体通过补形可得到平行六面体(底面为平行四边形的棱柱) ,平行六面体通过切割可得到四面体. 【补形与切割的思想. 】 ①正四面体可以补形为正方体. ②四面体中若有同一个顶点处的三条棱两两垂直,则可把它补形为长方体. ③四面体中若三组对棱分别相等,则可把它补形为长方体. ④四面体中若三组对棱分别垂直,则可把它补形为棱长都相等的平行六面体. ⑤棱台和圆台可以分别补形为棱锥和圆锥.
1 1 1 1

5.①可运用(四面体)等体积法求体积或点到平面的距离; (利用四面体的顶点变换,求体积和距离) ②可运用(三角形)等面积法求面积或点到直线的距离. (利用三角形的底边变换,求面积和距离) ③几何体的内切球半径可以通过等体积法求; ④多边形的内切圆半径可以通过等面积法求. 6.平面展开图与折叠图(几何体)的关系:哪些量、位置关系不变,哪些量、位置关系变化了要弄准确. 7.你能确定一些特殊几何体(正棱锥,正棱柱,正棱台等)的外接球或内切球的球心位置吗? 你知道哪些几何体的外接球相同?


34 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

35

补充
1.多线共面的证题思路:先利用公理 2 或其推论确定一个平面,再利用公理 1 说明所有直线都在这个平面内. 2.三线共点的证题思路:只需说明其中两直线的交点为分别经过这两直线的两平面的公共点,从而在两平面的交 线上,即证得三线共点.如右图,,三线共点.


3.三点共线的证题思路:只需说明这三点均为两平面的公共点,从而在两平面的交线上, 即证得三点共线.如右图,, 三点共线. 4.三角形、平行四边形、梯形、圆都是平面图形,都可以确定一个平面.


5.自然语言、符号语言、图形语言熟练转换,证题过程注意表达的严谨性,特别是运用定理进行书面表达时. 6.若两异面直线,所成的角为 ,过定点的直线与,所成的角都是,确定直线的条数(0,1,2,3,4). 讨论标准:2 ,
; 2

.结合运动观点考察,的旋转.

7.若二面角 ? ? 的大小为 ,过定点的直线与, 所成的角都是,确定直线的条数(0,1,2,3,4). 讨论标准:2 ,
′ ′
; 2

.结合运动观点考察,的旋转.




立体几何中的常用方法
1.综合法:常需作辅助线,定义、定理、性质的运用要求熟练准确,逻辑思维能力要求较强,书面表达要求严谨. 特别要注意三角形是最基本的图形,求角与求距离基本上最后都是转化到三角形中解决. 客观题主要用综合法解题; (理科)解答题是否用综合法视情况而定.

2. (向量)坐标法:相关公式(或依据)要记熟.思路上比起综合法有快刀斩乱麻之感觉! 建系之前要注意是否要用综合法先证明一些位置关系(如:垂直、共面等) , (点、向量、法向量的)坐标务必求准,否则前功尽弃.

3.向量(分解法) :在没有建立空间直角坐标系的情况下,取一个基底来表示其它相关向量, ??, 可用小写字母向量表示基底,如: ? , ?,并可把它们的夹角、模、数量积表达出来, 以便后面简化书写、流畅化简,多项式乘法要熟练准确.

35 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

36

专题 20 空间向量,距离与夹角(X21)
??( ?? ≠ 0 ?? ?存在实数使 ??. ??), 1.共线向量定理:对空间任意两个向量 ? , ?// ? = ??, 2. 空间向量基本定理: 如果三个向量 ? , ?不共面, 那么对空间任一向量 ?, 存在一个唯一的有序实数组,,, ?? + 使 ? = ? + ?. ??不共线,则向量 ??共面的充要条件是存在实数对,, 3.共面向量定理:如果两个向量 ? , ?与向量 ? , ??. 使 ? = ? + ?????? = ?????? + ?????? + ??????, 4.1 对空间任一点和不共线的三点,, , 若 则,,, 四点共面? + + = 1. ?????? = ?????? + ?????? ,则三点,,共线? + = 1. 4.2 若

?????? + ?????? . 4.3 ,,,四点共面的充要条件是存在实数对,,使?????? =
??,平面, 的法向量分别为 5.立体几何中线面位置关系的证明:设直线,的方向向量分别为 ? , ??, ? ,则 ?? ? ??, ∈ ; ①// ? ?// ? = ③// ? ? ⊥ ?? ? ? ? ?? = 0; ⑤// ? ??// ? ? ?? = ? , ∈ ; ?? ? ?? = 0; ② ⊥ ? ? ⊥ ? ? ④ ⊥ ? ?// ?? ? ? = ??, ∈ ; ⑥ ⊥ ? ?? ⊥ ? ? ?? ? ? = 0.


6.①若 ⊥ , ⊥ ,则 ⊥ (三垂线定理);②若 ⊥ , ⊥ ,则 ⊥ (三垂线定理的逆定理). ?????? = (2 ,2 ,2 ),若(或设) ?????? = ?????? 【即 ?????? = ?????? + ??????】 7.已知(1 ,1 ,1 ), ,要能熟练地求出 点坐 标!即(1 + 2 ,1 + 2 ,1 + 2 ).另外:不在坐标平面上的点的坐标可以通过向量相等去求解. 8.法向量真是个宝,相关公式要记好,证明求值离不了:证垂直、证平行;求距离、求夹角. 熟练掌握求平面的法向量:“找而定之”,“设而求之”.其中“设而求之”的固定模式: ?????? = (1 ,1 ,1 ), ?????? = (2 ,2 ,2 ), 设 ?? = (,,)为平面 法向量,又(求得) 所以由{ ?? ? ?????? = 0, 1 + 1 + 1 = 0, 得{ ?????? ?? ? = 0. 2 + 2 + 2 = 0.
??

(通过观察) 令,,中某一未知数为一简单非零 (字母) 常数, 解出另两未知数的值, 即可确定 ?? = (,,).

距离与夹角
?? | ??? ???| = | ??为两异面直线的方向向量. 1.设异面直线的夹角为 ,则cos = |cos? ? , . ( ? , ) ?? | | ??|?|

2.设直线与平面所成角为 ,则sin = |cos??????? , ???| = | . (= ||,见图 1, ?? 为平面的法向量. ) ??????|?| ??| 3.设锐二面角 ? ? 的平面角为 ,则cos = |cos? ??1 , ??2 ?| = 4.点到平面的距离: =
??????? | ??| | ??| | ??1 ? ??2 | | ??1 |?| ??2 |

?????? ? | ??|

||

. ( ??1 , ??2 为平面, 的法向量. )

. (= |?????? |cos∠ = ||,见图 1, ?? 为平面的法向量, ∈ , ? . )

5.空间两点间的距离公式:若(1 ,1 ,1 ),(2 ,2 ,2 ),则|?????? | = √(2 ? 1 )2 + (2 ? 1 )2 + (2 ? 1 )2 . 6.面积射影定理cos = . (平面多边形及其射影的面积分别是,′,它们所在平面所成二面角为 . )
?? 图1 图2 图3 图4 图5


36 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

37

专题 21 直线方程(B2)
1.直线的斜率: (直线的倾斜角:0° ≤ < 180°) ①定义法: = tan , ≠ 90°; ②坐标法: = 2 ;1 ,1 (1 ,1 ),2 (2 ,2 ),1 ≠ 2 ;
2 1

;

tan(180° ? ) = ?tan 1 tan(90° + ) = ? tan


③向量法:直线的方向向量为 ?? = (,),则直线的斜率为 = ( ≠ 0). 2.①求直线的倾斜角的取值范围,要注意倾斜角是否包含0°情形. 【注意数形结合的应用】 求直线的斜率的取值范围,要注意倾斜角是否包含90°情形. ②,, 三点共线?


【注意数形结合的应用】

=



?????? // ??????. ?点在直线 上? (还可利用距离、线段长证明! )

③,,,四点共圆?四边形对角互补. ④单调性: = tan 在,0, 2 )和( 2 ,)上递增. ⑤若斜率为 ,则直线的一个方向向量为 ?? = (1, ).




2





⑥若两条直线以垂直坐标轴的直线为对称轴,则两直线的斜率互为相反数! (因为倾斜角互补) 3.直线方程的五种形式:
;1
2 ;1

【点(0 ,0 )在直线 + + = 0上? 0 + 0 + = 0. 】 ②斜截式: = + ;
2 ;1
2 ;1

①点斜式: ? 0 = ( ? 0 ); ③两点式: =
;1
2 ;1

; 【 ? 1 =

( ? 1 )】 ;

④截距式: + = 1; 它的一个方向向量为 ?? = (, ? ).





⑤一般式: + + = 0(,不同时为),

【注意】 (1)前四种直线方程表示直线有局限性;所求直线方程一般最后都化成一般式! (2)会根据条件灵活设直线方程,尤其是在直线交圆锥曲线中①②的变形式设法. 4.设1 ,,2 的坐标分别为(1 ,1 ),(,),(2 ,2 ),为1 2 的中点,则中点的坐标公式:{ 5.两点间的距离公式: |1 2 | = √(1 ? 2 )2 + (1 ? 2 )2 ,其中1 (1 ,1 ),2 (2 ,2 ). || = √ 2 + 2 ,其中(0,0),(,). 6.①【点到直线的距离公式】点(0 ,0 )到直线: + + = 0的距离为: = 【几组常用勾股数要熟悉】
|0 :0 :| √2 : 2

= =

1 :2 2 1 :2 2

, .


|2 ;1 | √2 : 2

②【两条平行直线间的距离公式】1 : + + 1 = 0和2 : + + 2 = 0的距离为: = 7.两条直线位置关系的判定方法: 方法 1:设1 : = ①1 //2 ?
1 1



+ 1 ;2 : =
2 且1 1

2

+ 2 ,则 ②1 ⊥ 2 ?
1

掌握: (1)5.与 6.几何意义与 代数运算的相互转化. (2)涉

=

≠ 2 ; = 2 ;

?
1

2

= ?1.
2;

及求距离最值时, 5.与 6.两种 距离公式的交替使用.

③1 与2 重合?

=

2 且1

④1 与2 相交?



方法 2:设1 :1 + 1 + 1 = 0;2 :2 + 2 + 2 = 0,则 ①1 //2 ? 1 = 1 ≠ 1 ;
2 2 2







②1 ⊥ 2 ? (? 1 ) ? (? 2) = ?1 ? 1 2 + 1 2 = 0;
1 2 2





③1 与2 重合? = = ;
2 2

1

1

1

④1 与2 相交? ≠ ? 1 2 ≠ 2 1 .
2 2

1

1

【说明:应用时①③中的分式要变整式(整式才是真正的充要条件) .分式形式只是便于记忆! 】 方法 3:利用两直线的方向向量研究两直线的位置关系. 8.重要说明:直线与轴垂直是特殊情形(因其斜率不存在) ,具体应用(解题)时,切莫忘记单独考察.

37 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

38

补充
1.给出条件 = ()或(,) = 0,求;或;的最值或取值范围的方法: (1)几何法:;表示过 (,),(,)两点的直线的斜率;
; ; ; ;

【可参见线性规划中目标函数类型】

(2)代数法:令 = ;,则:①转化为 = g()求;②消元后判别式法;?. 2.给出条件 = ()或(,) = 0,求√( ? )2 + ( ? )2 或( ? )2 + ( ? )2的最值或取值范围的方法: 关键在于注意√( ? )2 + ( ? )2 表示的几何意义,它表示 (,),(,)两点间的距离! 3.涉及到在两坐标轴的截距,求直线方程的方法: (1)方法 1:利用 ? 0 = ( ? 0 ); (2)方法 2:利用 + = 1和 = . 【常需进一步整理成一般式】


【同上】

4. (1)求过点(0 ,0 )的直线方程,常设为点斜式: ? 0 = ( ? 0 );

务必要注意所求直线应该是一条还是两条(可通过几何分析确认) ,斜率不存在的直线最容易遗漏!
(2)求给出斜率为 的直线,其方程设为斜截式: = + . (3)与直线 = + , + + = 0平行的直线可分别设为 = + , + + = 0; (4)与直线 = + , + + = 0垂直的直线可分别设为 = ? + , ? + = 0; (5)过两直线1 + 1 + 1 = 0,2 + 2 + 2 = 0交点的直线可设为: 1 + 1 + 1 + (2 + 2 + 2 ) = 0( ∈ ) . (6)注意:若上述直线系过定点,则定点坐标由方程组{ 【常需进一步整理成一般式. 】 1 + 1 + 1 = 0 确定. 【亦可化为函数求定点. 】 2 + 2 + 2 = 0
: 2 1

5.到两平行线 + + = 0, + + = 0距离相等的直线方程为 + +

= 0.
1 :2 :3 3

6.三角形的重心坐标公式:设(1 ,1 ),(2 ,2 ), (3 ,3 ),则?的重心坐标为(



1 :2 :3 3

). , .

???????? ???????? 7.设1 ,,2 的坐标分别为(1 ,1 ),(,),(2 ,2 ),若 1 = 2 ,则点的坐标公式为:{ 8.⒈利用点到直线的距离公式求角平分线所在直线方程(注意排除) ; (求轨迹的思想) ⒉利用角平分线的方向向量: ? = | + | ,可快速求∠ 平分线所在直线方程! ?????? | ?????? |
?????? ??????

= =

1 :2 1: 1 :2 1:

9. 直线系(,) = 0与线段相交? (1 ,1 ) ? (2 ,2 ) ≤ 0, 其中(1 ,1 ),(2 ,2 ). 【区域符号问题】 ⒑ || = || ? = 或 = ?.

【涉及距离的重要题型】 1.求函数( ) = √ 2 ? 8 + 80 + √ 2 + 2 + 17的最小值. 2.求函数( ) = √ 2 ? 8 + 80 ? √ 2 + 2 + 17的最大值. 3.已知点(3,5),在直线: ? 2 + 2 = 0和轴上各找一点和,使得?的周长最小,则,两点的坐 标分别为_____________,此时?的周长为_____. 【答案】1.13【( ) = √( ? 4)2 + (0 ? 8)2 + √( + 1)2 + (0 ? 4)2 . 】 ; 2.√41【 ( ) = √( ? 4)2 + (0 ? 8)2 ? √( + 1)2 + (0 ? 4)2 . 】 ; 3.(2 , 4),(0, 2),4√5【点关于直线和轴的对称点分别是1 (5,1),2 (?3,5). 】 ;
38 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!
5 9 7

39

专题 22 曲线的对称性(B2)
1.①点1 (1 ,1 ),2 (2 ,2 )关于点0 (0 ,0 )对称? { 0 = 0 =
1 :2 2 1 :2 2

, .

【故2 (20 ? 1 ,20 ? 1 ). 】

又:已知线段的中点坐标(0 ,0 ),则可设(0 ? ,0 ? ),(0 + ,0 + ). ②点1 (1 ,1 ),2 (2 ,2 )关于直线: + + = 0对称? { ③{ (,) = 0, (, ? ) = 0. (,) = 0, (?, ? ) = 0. (,) = 0, (, ) = 0. 关于直线轴对称; ④{
1 2 ⊥ , 1 2 中点在上. ?{
1 2

?



= ?1,

1 2 中点坐标满足方程.

(,) = 0, (?,) = 0.

关于直线轴对称;

⑤{

关于原点成中心对称;

{

(,) = 0, (2 ? ,2 ? ) = 0.

关于点(,)中心对称;

⑥{

关于直线 = 轴对称;

⑦{

(,) = 0, (?, ? ) = 0.

关于直线 = ?轴对称;

⑧{

(,) = 0, (2 ? ,) = 0. (,) = 0,

关于直线 = 对称;

⑨{

关于直线 = 对称; (,2 ? ) = 0.

(,) = 0,

⑩{

( ? , + ) = 0.

关于直线 = + 对称;

(,) = 0, { 关于直线 = ? + 对称. (? + , ? + ) = 0.

2.曲线或函数图象对称问题的证明: (可借鉴用于求曲线方程或函数解析式. ) ?如何证明曲线 :(,) = 0关于点(,)成中心对称? 提示:设(,)为曲线 上任意一点,′(′,′)为关于点(,)的对称点,则由 得′ = 2 ? ,′ = 2 ? ,则只需进一步证明(′,′) = 0 . ?如何证明曲线 :(,) = 0关于直线: + + = 0成轴对称? 提示:设(,)为曲线 上任意一点,′(′,′)为关于直线 + + = 0的对称点,则由点,′关于 直线对称? { ′ ⊥ , 中点在上
′ :′ 2

= ,

:′ 2

=

?{

′ ′

?



= ?1,

中点坐标满足方程.

解出′,′,则只需进一步证明 (′,′) = 0.

3.对于方程 (,) = 0: ?若换成?,方程不变,则曲线(,) = 0关于轴对称. ?若换成?,方程不变,则曲线 (,) = 0 关于轴对称. ?若,同时分别换成?, ? ,方程不变,则曲线(,) = 0 关于原点对称. 【说明】 对于复杂的曲线方程若要作图, 可先作出 ≥ 0, ≥ 0时的图象, 再根据上面三条成立的情况补充作图. 4.涉及到光线反射问题,应利用平面镜光学性质将虚像 与实像 结合起来思考. (此时平面镜也相当于对称轴. ) .. .. 【以轴或轴(或与它们平行的直线)为平面镜时,入射光线和反射光线所在直线的斜率互为相反数! 】

【练习】 1.求由曲线 2 + 2 = 2| | + 2||围成的图形的面积. 【答案】 1.8 + 4【根据对称性作出曲线: 2 + 2 = 2|| + 2||. 】 ;2.8【根据对称性作出曲线:| | + || = 2. 】 ; 2.求由曲线| ? 2| + | ? 2| = 2围成的图形的面积.

39 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

40

专题 23 圆的方程(B2)
1.①标准方程:( ? )2 + ( ? )2 = 2 ,圆心坐标为(,),半径为. 【思考:,的取值范围如何确定?】 ②一般方程: 2 + 2 + + + = 0,圆心(? 2 , ? 2 ),半径 =
√2 :2 ;4 2



【对于①②,如何判断点与圆的位置关系?代入方程左边后与右边比大小! 】 ③直径式方程:( ? 1 )( ? 2 ) + ( ? 1 )( ? 2 ) = 0, (1 ,1 ),(2 ,2 )为一直径的两端点. ④圆的参数方程:{ = + cos, = + sin. 圆心坐标为(,),半径为.

2.①求圆的方程,方法一,待定系数法,设出圆的标准方程或一般方程,再求解; 方法二,主动求出圆心坐标(是否为两确定直线的交点)和半径. ②求三角形内切圆方程,可以用等面积法,先求出半径,再考虑求出圆心坐标. 3.利用圆系方程求圆的方程: ①经过圆: 2 + 2 + + + = 0与直线: + + = 0的两个交点的圆的方程可设为: 2 + 2 + + + + ( + + ) = 0. ②经过圆1 : 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 0与圆2 : 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 0的两个交点的圆的方程可设为: 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + ( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) = 0. 【利用公共弦所在直线方程设出更简单! 】 ③与圆: 2 + 2 + + + = 0相切于点(0 ,0 )的圆的方程可设为: 2 + 2 + + + + ,( ? 0 )2 + ( ? 0 )2 -=0. 【把切点当点圆!或利用切线方程设出(更简单) ! 】 4.轨迹方程:点的轨迹方程是指点 的坐标(,)满足的关系式. 【直接法、相关点法(代入法) 】 (与三角形顶点、四边形顶点、圆等有关的轨迹可能个别点或部分点要排除! ) 5.直线与圆的位置关系(相离、相切、相交)的判定: (1)几何法(利用,的大小关系判断) , 【附录】设圆心到直线的距离为 ,则:①相离? > ; (2)代数法(利用?判断) . ②相切? = ;


③相交? < .

6. (根据垂径定理)圆的弦长: = 2√ 2 ? 2 ;弦心距: = √ 2 ? (2)2.常需结合点到直线的距离公式解题! 7.两圆位置关系(有五种)的判定方法: (1)几何法(利用,2 + 1 ,2 ? 1的大小关系判断) , (2)代数法(利用?判断) .
1 1 2 1 1 2 2 2

【附录】设两圆圆心分别为1 ,2 ,半径分别为1 ,2,且2 > 1,|1 2 | = ,则 ① > 1 + 2 ? 相离; ② = 1 + 2 ? 外切;

④2 ? 1 < < 1 + 2 ? 相交; ③ = 2 ? 1 ? 内切; ⑤ < 2 ? 1 ? 内含. ①; ②;

8.圆1 的方程为: 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 0 圆2 的方程为: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 0

①?②可得:(1 ? 2 ) + (1 ? 2 ) + (1 ? 2 ) = 0, (1)当两圆相交时,它为公共弦所在直线方程; (2)当两圆相切时,它为公切线方程; (3)当两圆相离或包含时,它为到两圆的切线段相等的点的集合; 显然,当两圆相离且半径相等时,它为两圆的对称轴.

1

1

2 2

40 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

41

9.①在空间直角坐标系中,对于几何体,一般先写出底面顶点的坐标及在坐标轴上的点的坐标. 【坐标轴上的点或坐标平面上的点(,,)的坐标有什么特点?含两个或一个 0. 】 ②空间两点间的距离公式:若1 (1 ,1 ,1 ),2 (2 ,2 ,2 ), 则|1 2 | = √(2 ? 1 )2 + (2 ? 1 )2 + (2 ? 1 )2 . ③若空间中两点1 (1 ,1 ,1 ),2 (2 ,2 ,2 ),则线段1 2 的中点的坐标为(
1 :2 2



1 :2 2



1 :2 2

).

④两个对称点间的坐标关系: 【关于谁对称,谁的坐标就不变,在平面直角坐标系中亦是如此! 】
关于平面对称:5 (,, ? ) 关于 平面对称:6 (, ? ,) 关于 平面对称:7 (?,,) 关于谁(轴)对称,谁的坐标就不变 (,,) 关于原点 对称:4 (?, ? , ? ) 关于轴对称:1 (, ? , ? ) 关于轴对称:2 (?,, ? ) 关于轴对称:3 (?, ? ,)

⑤点(,,)在平面,平面,平面上的射影′的坐标分别是(,,0),(0,,),(,0,).

补充 1
1.与圆有关的六种最值问题【应该直接利用几何性质,理解掌握最值状态! 】 ①过圆内一定点的所有弦长中,直径最长,与之垂直的弦最短; (如图) ②圆上的点到圆内一定点的距离的最大值、最小值; ③圆上的点到圆外一定点的距离的最大值、最小值; ④当直线与圆相离时,圆上的点到直线的距离的最大值、最小值; ⑤当直线与圆相离时,直线上的点到圆的切线长的最小值; ⑥两圆上的两动点,间的距离的最大值、最小值;






1 1

2 2

′ ′

2.思考:函数 = + √ 2 ? ( ? )2 或 = ? √ 2 ? ( ? )2 的图象怎么画?【半圆! 】 3.思考:过圆外一点向圆作两条切线,切点为,,则直线的方程如何求?【两圆方程相减! 】 4.圆 2 + 2 + + + = 0外一点(0 ,0 )到圆的切线长:|| = √||2 ? 2 . 【= √(0 ? )2 + (0 ? )2 ?
2 2 2 :2 ;4 4 2 2 = √0 + 0 + 0 + 0 + 】 .



5.①半径为的圆上恰有一个点到直线的距离为′,则 = + ′; ②半径为的圆上恰有两个点到直线的距离为′,则 ? < < + ′; ③半径为的圆上恰有三个点到直线的距离为′,则 = ? ′; ④半径为的圆上恰有四个点到直线的距离为′,则 < ? ′;
1 2 其中 为圆心到直线 的距离. 1 2




= + ′ 知识改变命运,奋斗成就梦想!

= ? ′ 多思出悟性,常悟获精华!

41

42

补充 2
1.掌握:垂径定理,圆的相交弦定理,(切)割线定理,四点共圆定理. 理清:直线与圆、圆与圆的一些几何性质. 2.过圆( ? )2 + ( ? )2 = 2 上一点(0 ,0 )的切线方程为:(0 ? )( ? ) + (0 ? )( ? ) = 2 . 3.圆( ? )2 + ( ? )2 = 2 的切线(系)方程:( ? )cos + ( ? )sin = . 4.直线与圆相交的问题,也常要用“三步曲”完成. ?????? ? ??????的符号判断点与以为直径的圆的位置关系. 5.在直线交圆锥曲线中:可以利用 6.求与定圆、定直线相切的动圆圆心的轨迹方程,要设动圆半径为,借助求出与点有关的几何度量关系. 7.过圆外一点作圆的(两条)切线,其中的数量关系的运用: (1)整体运用(圆心距=半径) ; (2)关于两条切线斜率 1 ,
2 的二次方程(由“圆心距=半径”化简而得)的根与系数关系的运用.

8.已知曲线1 (,) = 0,2 (,) = 0相交于点(0 ,0 ),则曲线1 (,) + 2 (,) = 0过点(0 ,0 ). 证明:∵1 (,) = 0,2 (,) = 0相交于点(0 ,0 ), ∴1 (0 ,0 ) = 0,2 (0 ,0 ) = 0, ∴1 (0 ,0 ) + 2 (0 ,0 ) = 0, 可见,曲线1 (,) + 2 (,) = 0过点(0 ,0 ). 【已知曲线1 (,) = 0,2 (,) = 0相交于点(0 ,0 ),则曲线1 (,) + 2 (,) = 0过点(0 ,0 ). 】 9.若曲线1 (,) + 2 (,) = 0( ∈ )过定点,则定点坐标由方程组{ ⒑ 适当地利用图形的几何性质,有助于简化计算. ⒒ 设 = *(,)|1 (,) = 0+, = *(,)|2 (,) = 0+,若? = ?,或?中只有一个或两个元素等, 求参数取值范围问题,实际上是考察曲线1 (,) = 0与曲线2 (,) = 0的交点情况. 解出! 2 (,) = 0 1 (,) = 0

交换两个变量的程序: 解一元二次方程的程序: INPUT A,B INPUT“a,b,c=” ;a,b,c d=b^2-4*a*c PRINT A,B IF d>=0 THEN x=A p=-b/(2*a) A=B q=SQR(d)/(2*a) B=x IF d=0 THEN PRINT A,B PRINT“x1,x2=” ;p END ELSE PRINT“x1,x2=” ;p+q,p-q 求分段函数值的程序: END IF INPUT x ELSE IF x>=0 THEN PRINT“No real root.” y=x ELSE END IF y=-x END END IF PRINT y END

求() = 2 ? 2零点的程序: INPUT“a,b,d=” ;a,b,d i=1 DO S=0 m=(a+b)/2 DO g=a^2-2 S=S+1/i f=m^2-2 i=i+1 IF g*f<0 THEN LOOP UNTIL i>100 b=m PRINT S ELSE END a=m 说明:3、6 两语句可分别改为 END IF WHILE i<=100 LOOP UNTIL ABS(a-b)<d OR f=0 WEND PRINT m 即为当型循环结构. END 另外:此程序稍作改动,即可 用于求其他数列的和或者积! 或用于解数列求和型或求积 这些程序你能在算法步骤、程序框 型不等式! 图、程序三者中相互转换吗? 求1 + + + ? + 42

1 2

1 3

1 的程序: 100

知识改变命运,奋斗成就梦想!

多思出悟性,常悟获精华!

43

专题 24 算法、程序框图、程序(B3)
1.①算法的概念:在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类(个)问题的明确和有限的步骤.现在,算 法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题. (算法分为数学算法与计算机算法) ②算法的表示: (自然语言表示的)算法步骤、程序框图、程序. 【编写程序时,应先完成好前两项工作! 】 ③算法的特点:通用性、可行性、明确性、有限性、离散性. (不唯一性、算法的优化) ④学习算法的目的:体验算法在解决问题中的重要作用,培养算法基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理 地思考与数学表达的能力. 2.程序框图也叫流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.程序框图的基本图形符号: 起止框:表明程序的开始和结束; 处理框:赋值、计算; 输入、输出框:表示一个算法输入、输出的信息; 流程线:连接程序框,表示算法步骤的执行顺序;

判断框:判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“” ,不成立时标明“否”或“” ; 连接点:连接程序框图的两部分(主要用于大程序,成对使用,小圆圈内标序号) . 3.算法的基本逻辑结构:顺序结构、条件结构(两种) 、循环结构(直到型循环结构、当型循环结构) .
步骤 步骤 + 1 判断条件? 是 步骤 否 判断条件? 是 步骤 条件结构 2 图3 条件语句 2 IF 条件 THEN 语句体 END IF 否 循环体 判断条件? 是 顺序结构 图1
算法步骤转化为程序 框图时,要考虑很多 细节,这是一个将算 法“细化” “精确化” 的过程.

循环体 否 判断条件? 是 否 当型循环结构 图5 WHILE 型循环语句 WHILE 条件 循环体 WEND

步骤

条件结构 1 图2 条件语句 1 IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF

直到型循环结构 图4 UNTIL 型循环语句 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

4.算法的基本语句:输入语句,输出语句,赋值语句,条件语句,循环语句. 【注意每个语句的书写格式! 】
输入语句 INPUT “提示内容” ;变量 输出语句 PRINT “提示内容” ;表达式 赋值语句 变量=表达式

①输入语句与输出语句中,都可以省略: “提示内容” ;在输出语句中,还可省略表达式,但前面的分号也要去掉. ②输入语句与输出语句中,若是输入多个变量或输出多个表达式,则它们之间需用逗号隔开.输出语句还有计算功能. ③赋值语句中左边变量不能含运算符;给变量赋初始值,都是用赋值语句;编程时要输入变量,则用输入语句; ④条件语句与循环语句中嵌套条件语句(两线归一之前)或循环语句时,注意语句的书写格式,做到错落有致,层次分明.

5.程序语言中的常用(运算)符号的含义:

① ? = × ,/ = ÷ ,^ = ; ②

【x1,x2= 1 ,2; 】

() = ||, () = √,( ) = ,-, ( ) = ln, ()符号函数; ④ =或, =且, =非;


③>==≥,<==≤,<>=≠;

⑤ = 除以的余数(算术运算) ,\ = 除以的整数商(算术运算)= , -; 6. 【常用术语】初始值:①求和时 = 0,②求积时 = 1,③增长率问题中的基数 = ( 已知) ,④ = 1, 循环体:①累加 = + (),②累乘 = ? (),③ = (1 + ),④ = + (控制变化幅度) , 计数变量(,, ),控制循环条件,中间变量. 【上面的()为数列的通项公式】

【编程技巧】①借用中间变量交换两个变量的值;②多个无规律数据逐次输入;③调整数列求数列的和或积. 7.对于算法步骤、程序框图、程序问题,现阶段主要是会读图,会执行,会补充.
43 知识改变命运,奋斗成就梦想! 多思出悟性,常悟获精华!

44

算法案例【体会它们的算法步骤、程序框图及程序. 】
1.辗转相除法:求两个数的最大公约数的一种方法.对于给定的两个正整数,用较大的数除以较小的数,若余数 不为零,则将余数和较小的数构成新的一组数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是 原来两个数的最大公约数. 【 = + ,理解,与,的最大公约数相同. 】 【笔算:用系列竖式除法,或将两个数分别因数分解后找出最大公约数.比更相减损术计算次数要少些. 】 2.更相减损术:任给两个正整数(若都是偶数,先用 2 约简) ,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小 的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个等数(或这个等数与约简的数的 乘积)就是所求的最大公约数. 【 ? = ,理解,与, 的最大公约数相同. 】 【笔算:(,) → ( ? ,) → ? → (,); = 1时可用于证明两数互质. 】 3.秦九韶算法:计算一元次多项式的值的一种方法. 【乘法由至多
(1:) 2

次减少为至多次!加法次数不变. 】

①整理: ( ) = + ;1 ;1 + ? + 1 + 0 = ? = (? (( + ;1 ) + ;2 ) + ? + 1 ) + 0 . 【先从前两项提出一个一次函数,添括号,然后乘以,再加下一项系数,反复进行,就整理成上述形式. 注意:某项缺省时系数就补 0. 】 ②0 = , = ;1 + ; ( = 1,2, ? ,).由里向外逐层计算1 ,2 , ? , ,即可得到(). ③当 = 0 时,求()的值: 【方法一】利用②,得到 (0 ) = . 【方法二】表格方式,如下表 0 0 0 ;1 1 0 ;2 ? ? ;3 0 2 ;2 0 1 ;1 0 0

0 1 2 ? ;2 ;1 4.进位制:“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几. 【 进制数中,所用数字为0,1,2, ? , ? 1. 】 ①由十进制数 ;1 ? 1 0 可表示为 ? 10 + ;1 ? 10;1 + ? + 1 ? 10 + 0 ? 100,推广即得下面的公式, 将 进制数化为十进制数的公式: ;1 ? 1 0() = ②将十进制数化为 进制数的算法称为:除 取余法. 【笔算:短除法方式进行,直到商为 0,然后余数由下往上连读. 】 ③将 进制数化为 ′进制数的思路:先将 进制数化为十进制数,然后再将十进制数化为 ′进制数.
个 0 个 0 个 0

+ ;1

;1

+ ? + 1 + 0

0



右边整理即得十进制数

④10 = 1 ? 0 ? 0,还可以推广:2 = 1 ? 0 ? 0(2) ,3 = 1 ? 0 ? 0(3),?, ⑤二进制数中的自然数: 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111,10000,? 5.几个算法案例的程序:(这些程序你能在算法步骤、程序框图、程序三者中相互转换吗?)
辗转相除法程序: INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 说明: ①DO 改为 WHILE n>0 ②LOOP UNTIL r=0 改为 WEND 即为当型循环结构. 更相减损术程序: INPUT m,n WHILE m<>n k=m-n IF n>k THEN m=n n=k ELSE m=k END IF WEND PRINT m END 秦九韶算法程序: INPUT “n=” ;n INPUT “an=” ;a INPUT “x=” ;x v=a i=n-1 WHILE i>=0 PRINT “i=” ;i INPUT “ai=” ;a v

更多相关文档:

精华经典版122页高考数学知识点总结及高中数学解题思想...

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中数学知识点及经典例... 178页 免费精...法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. ...

高中数学理科所有知识点及其解题方法归纳

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...高中数学理科所有知识点及其解题方法归纳_数学_高中教育_教育专区。高中数学理科所有...

高中数学精华知识点(完整版本)

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中数学精华知识点(完整版本)_数学_高中教育_教育专区...(边)进行解题(边角互化,但要注意能否将 2R 约...

高中数学知识点总结(精华版)

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中数学知识点总结(精华版)_数学_高中教育_教育专区...步骤:取值—作差—变形—定号—判断 解题步骤:分层...

高中全部知识点精华归纳总结简洁版

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中全部知识点精华归纳总结简洁版_高三数学_数学_...解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的...

教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》(必修)

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》(必修)_数学...解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的...

2016年高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(人教版)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...2016年高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(人教...1 高中数学解题基本方法一、 配方法 二、 换元法...

高考数学 知识点总结精华版(全)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高考数学 知识点总结精华版(全)_数学_高中教育_...法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. ...

高中数学知识点完整结构图

搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中数学知识点完整结构图_数学_高中教育_教育专区。...在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题...

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(新课标人教A...

搜试试 2 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(新课标人教...解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com