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宁夏银川市唐徕回民中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年宁夏银川市唐徕回民中学高二(下)期中数学试 卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 iz=2,其中 i 为虚数单位,则 z 等于( ) A. ﹣2i B. 2i C. ﹣2 D. 2 2. (理)积分 A. B. (x +sinx)d

x=( C. 1 D .
2



3.设(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=( A. e B. ln2 C.
2



D. e
2

4.设 P(1,f(1) )是曲线 C:f(x)=x +2x+3 上的一点,则曲线 C 过点 P 的切线方程是 ( ) A. 4x﹣y+10=0 B. 4x﹣y+2=0 C. x﹣4y+10=0 D. x﹣4y+2=0 5.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有 可能的是( )

A.

B.

C.

D. 6.设函数 f(x)=xe ,则(
x



A. x=1 为 f(x)的极大值点 B. x=1 为 f(x)的极小值点 C. x=﹣1 为 f(x)的极大值点 D. x=﹣1 为 f(x)的极小值点 7.现有 3 名老师,8 名男生和 5 名女生共 16 人,若需 1 名老师和 1 名学生参加,则不同的 选法种数为( ) A. 39 种 B. 24 种 C. 15 种 D. 16 种 8. (2x﹣ ) 的展开式中的常数项为( A. 6 B. ﹣6 C. 24 D. ﹣24 9.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,…,则 a +b =( A. 28 B. 76 C. 123 D. 199 10.已知,P(A)=0.3,P(B|A)=0.4,P(A|B)=0.2,则 P(A+B)=( (其中 P(A+B)=P(A)+P(B)﹣P(AB) ) A. 0.90 B. 0.78 C. 0.60 D. 0.40 11.用数学归纳法证明:1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = + ) +…+ )
2 2 3 3 4 4 5 5 10 10 4





(n∈N )时,在第

*

二步证明从 n=k 到 n=k+1 成立时,左边增加的项数是( A. 1 项 B. 2 项 C. 3 项 D. 4 项

12.设某批产品合格率为 ,不合格率为 ,现对该产品进行测试,设第 ε 次首次取到正品, 则 P(ε=3)等于(
2 2


2 2 2 2

A. C3 ( ) ×( ) B. C3 ( ) ×( ) C. ( ) ×( ) D. ( ) ×( )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.由曲线 y=cosx,x= ,x= ,y=0 围成的封闭图形的面积为 .

14.设 z=

(i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数 对应的点位于第

象限.

15.已知实数 a>0 且 a≠1,函数 f(x)= 且{an}是等差数列,则 a= ,b=

,若数列{an}满足 an=f(n) (n∈N ) , .

*

16.甲罐中有 3 个红球、2 个白球,乙罐中有 4 个红球、1 个白球,先从甲罐中随机取出一 个球放入乙罐,分别以 A1、A2 表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随 机取出 1 球以 B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件,则有: ①P(B)= ②事件 B 与事件 A1 相互独立 ③A1、A2 互斥 ④P(B)的值不能确定,因为它与 A1、A2 中究竟哪一个发生有关 正确的序号为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (2015 春?银川校级期中) (本题用数字作答) (1)5 人排成一排照相, ①甲、乙、丙排在一起,共有多少种排法? ②甲、乙之间恰有 2 人,共有多少种排法? (2)4 女 2 男选出 2 人, ①女生 2 人,男生 2 人,再安排 4 人不同的工作,共有多少种不同的方法? ②至少有一女共有多少种选法? ③男女都有共有多少种不同选法? 18. (12 分) (2015 春?银川校级期中)关于△ ABC 有如下命题:在正三角形 ABC 内部(不 包括边界)任取一点 P,P 点到三边的距离分别为 h1,h2,h3,则 h1+h2+h3 为定值,证明如 下:连接 PB、PC、PA,设△ PBC、△ PCA、△ PAB 的面积分别为 S1,S2,S3,△ ABC 的 面积为 S,则有:S=S1+S2+S3?h=h1+h2+h3(其中 h 为△ ABC 的高) ,根据上述思维猜想在 正四面体(四个面均为正三角形的三棱锥)中的结论,并对猜想进行证明. 19. (12 分) (2015 春?银川校级期中)已知函数 f(x)=x ﹣3x +6, (1)求 f(x)的极值; (2)当 x∈[ , ]时,求函数的最大值.
4 2

20. (12 分) (2015 春?银川校级期中)现有 3 位老师去参加学校组织的春季娱乐活动,该活 动有甲、乙两个游戏可供选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决 定自己去参加哪个游戏, 掷出 1 或 2 的人去参加甲游戏, 掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏, 且每个人参加游戏互不影响,设 X 表示参加甲游戏的人数,求随机变量 X 的分布列. 21. (12 分) (2015 春?银川校级期中)已知函数 f(x)=e ﹣2x+a 有零点,求 a 的取值范围. 22. (12 分) (2015 春?银川校级期中)设 sinα 是 sinθ,cosθ 的等差中项,sinβ 是 sinθ,cosθ 的等比中项,求证:cos4β﹣4cos4α=3.
x

2014-2015 学年宁夏银川市唐徕回民中学高二(下)期中 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 iz=2,其中 i 为虚数单位,则 z 等于( ) A. ﹣2i B. 2i C. ﹣2 D. 2 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:∵iz=2, ∴﹣i?iz=﹣2i, ∴z=﹣2i. 故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 2. (理)积分 A. B. (x +sinx)dx=( C. 1 D .
2



考点: 定积分. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 根据积分计算公式,求出被积函数 x +sinx 的原函数,再根据微积分基本定理加以 计算,即可得到本题答案. 解答: 解:根据题意,可得 (x +sinx)dx=( x ﹣cosx) =( ?1 ﹣cos1)﹣[ ?(﹣1) ﹣cos(﹣1)] = ﹣cos1+ +cos1= . 故选:B 点评: 本题求一个函数的原函数并求定积分值,考查定积分的运算和微积分基本定理等知 识,属于基础题. 3.设(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=( A. e B. ln2 C.
2 3 3 2 3 2



D. e

考点: 导数的运算;函数的零点. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 由题意求导 f′(x)=lnx+1,从而得 lnx0+1=2;从而解得. 解答: 解:∵f′(x)=lnx+1; 故 f′(x0)=2 可化为 lnx0+1=2; 故 x0=e; 故选 D. 点评: 本题考查了导数的求法及应用,属于基础题. 4.设 P(1,f(1) )是曲线 C:f(x)=x +2x+3 上的一点,则曲线 C 过点 P 的切线方程是 ( ) A. 4x﹣y+10=0 B. 4x﹣y+2=0 C. x﹣4y+10=0 D. x﹣4y+2=0 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 由题意可得曲线 C 过点 P 的切线以点 P 为切点,从而利用导数求切线的斜率,从而 解得. 解答: 解:∵f(x)=x +2x+3 是二次函数,且 P(1,f(1) )是其图象上的一点, ∴曲线 C 过点 P 的切线以点 P 为切点; 又∵f′(x)=2x+2, ∴切线的斜率 k=f′(1)=2+2=4, 又∵f(1)=1+2+3=6; 故切线方程为 y﹣6=4(x﹣1) , 即 4x﹣y+2=0; 故选:B. 点评: 本题考查了导数的几何意义的应用及二次函数的性质应用,属于中档题. 5.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有 可能的是( )
2 2

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 先根据导函数的图象确定导函数大于 0 的范围和小于 0 的 x 的范围,进而根据当导 函数大于 0 时原函数单调递增, 当导函数小于 0 时原函数单调递减确定原函数的单调增减区 间. 解答: 解:由 y=f'(x)的图象易得当 x<0 或 x>2 时,f'(x)>0, 故函数 y=f(x)在区间(﹣∞,0)和(2,+∞)上单调递增; 当 0<x<2 时,f'(x)<0,故函数 y=f(x)在区间(0,2)上单调递减; 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 6.设函数 f(x)=xe ,则( ) A. x=1 为 f(x)的极大值点 B. x=1 为 f(x)的极小值点 C. x=﹣1 为 f(x)的极大值点 D. x=﹣1 为 f(x)的极小值点 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由题意,可先求出 f′(x)=(x+1)e ,利用导数研究出函数的单调性,即可得出 x= ﹣1 为 f(x)的极小值点 x x 解答: 解:由于 f(x)=xe ,可得 f′(x)=(x+1)e , x 令 f′(x)=(x+1)e =0 可得 x=﹣1 x 令 f′(x)=(x+1)e >0 可得 x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数 x 令 f′(x)=(x+1)e <0 可得 x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数 所以 x=﹣1 为 f(x)的极小值点 故选:D 点评: 本题考查利用导数研究函数的极值,解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步 骤,本题是基础题, 7.现有 3 名老师,8 名男生和 5 名女生共 16 人,若需 1 名老师和 1 名学生参加,则不同的 选法种数为( ) A. 39 种 B. 24 种 C. 15 种 D. 16 种
x x

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 先从 3 名老师选 1 名共有 3 种方法,再从 13 名学生中选一名共有 13 种选法,根据 分步计数原理即可解决. 解答: 解:先从 3 名老师选 1 名共有 3 种方法,再从 13 名学生中选一名共有 13 种选法, 根据分步计数原理,不同的选法有 3×13=39 种, 故选:A. 点评: 本题考查了分步计数原理,关键是分步,属于基础题.
4

8. (2x﹣ ) 的展开式中的常数项为( A. 6 B. ﹣6 C. 24 D. ﹣24 考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理.



分析: 由题意可得,二项展开式的通项为 Tr+1= 求出 r 代入即可.

(2x)

4﹣r

(﹣ ) ,令 x 的幂指数为 0,

r

解答: 解: 由题意可得, 二项展开式的通项为 Tr+1=
﹣2r

(2x) (﹣ ) =(﹣1) ?2

4﹣r

r

r

4﹣r

x

4

令 4﹣2r=0 可得 r=2 ∴T3=4× =24

展开式中的常数项为 24. 故选:C. 点评: 本题主要考查了二项展开式的通项的应用,解题的关键是熟练应用通项,属于基础 试题. 9.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,…,则 a +b =( A. 28 B. 76 C. 123 D. 199
2 2 3 3 4 4 5 5 10 10



考点: 归纳推理. 专题: 阅读型. 分析: 观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…,所求值为数列中的第十项.根据 数列的递推规律求解. 解答: 解:观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项 等于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第十项. 10 10 继续写出此数列为 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, …, 第十项为 123, 即 a +b =123, . 故选 C. 点评: 本题考查归纳推理,实际上主要为数列的应用题.要充分寻找数值、数字的变化特 征,构造出数列,从特殊到一般,进行归纳推理.

10.已知,P(A)=0.3,P(B|A)=0.4,P(A|B)=0.2,则 P(A+B)=( (其中 P(A+B)=P(A)+P(B)﹣P(AB) ) A. 0.90 B. 0.78 C. 0.60 D. 0.40



考点: 条件概率与独立事件. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 利用条件概率公式,求出 P(AB) ,P(B) ,利用 P(A+B)=P(A)+P(B)﹣P (AB) ,即可得出结论. 解答: 解:∵P(A)=0.3,P(B|A)=0.4, ∴P(AB)=P(B|A)P(A)=0.12, ∵P(A|B)=0.2, ∴P(B)=0.6, ∴P(A+B)=P(A)+P(B)﹣P(AB)=0.3+0.6﹣0.12=0.78, 故选:B. 点评: 本题考查条件概率,考查学生的计算能力,正确运用条件概率公式是关键. 11.用数学归纳法证明:1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = + ) +…+ (n∈N )时,在第
*

二步证明从 n=k 到 n=k+1 成立时,左边增加的项数是( A. 1 项 B. 2 项 C. 3 项 D. 4 项 考点: 数学归纳法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 当 n=k 成立,1﹣ + ﹣ +…+ 计算即可. ﹣

,当 n=k+1 时,写出对应的关系式,观察

解答: 解:在用数学归纳法证明:左侧:1﹣ ,在第二步证明时, 假设 n=k 时成立,左侧:1﹣ + ﹣ +…+ +…+ ﹣ + , ﹣ ,则 n=k+1 成立时,左侧:1﹣ + ﹣

∴左边增加的项数是 2. 故选:B. 点评: 本题考查数学归纳法,考查 n=k 到 n=k+1 成立时左边项数的变化情况,考查理解与 应用的能力,属于中档题.

12.设某批产品合格率为 ,不合格率为 ,现对该产品进行测试,设第 ε 次首次取到正品, 则 P(ε=3)等于(
2 2


2 2 2 2

A. C3 ( ) ×( ) B. C3 ( ) ×( ) C. ( ) ×( ) D. ( ) ×( )

考点: n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率.

专题: 计算题. 分析: 根据题意,P(ε=3)即第 3 次首次取到正品的概率,若第 3 次首次取到正品,即前 两次取到的都是次品,第 3 次取到正品,由相互独立事件的概率计算可得答案. 解答: 解:根据题意,P(ε=3)即第 3 次首次取到正品的概率; 若第 3 次首次取到正品,即前两次取到的都是次品,第 3 次取到正品, 则 P(ε=3)=( ) ×( ) ; 故选 C. 点评: 本题考查相互独立事件的概率计算,解题的关键在于正确理解 P(ε=3)的意义. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.由曲线 y=cosx,x= ,x= ,y=0 围成的封闭图形的面积为 2 .
2

考点: 定积分的简单应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: 首先利用定积分表示封闭图形的面积,然后计算. 解答: 解:曲线 y=cosx,x= ,x= ,y=0 围成的封闭图形的面积为:

=2; 故答案为:2. 点评: 本题考查了利用定积分求封闭图形的面积;关键是利用定积分正确表示面积;注意 积分的上限和下限.

14.设 z=

(i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数 对应的点位于第 四 象限.

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据复数的概念以及复数的几何意义进行判断. 解答: 解:z= = =1+i,

则 z 的共轭复数 =1﹣i, 对应的点的坐标为(1,﹣1) ,位于第四象限, 故答案为:四. 点评: 本题主要考查复数的基本运算和复数的几何意义,比较基础.

15.已知实数 a>0 且 a≠1,函数 f(x)= 且{an}是等差数列,则 a= 2 ,b= 0 .

,若数列{an}满足 an=f(n) (n∈N ) ,

*

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 由条件得到 an= a =a,求出 a,b 即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,
2

,根据等差数列的定义,即可得到 a ﹣a=a,3a+b﹣

2

∴an=
2



∴a1=a,a2=a ,a3=3a+b,a4=4a+b,a5=5a+b,…,an=na+b, ∵{an}是等差数列, 2 ∴a ﹣a=a,即有 a=0(舍去)或 2, 2 ∴3a+b﹣a =a,即 b=0, 故答案为:2,0. 点评: 本题考查函数与数列的关系,考查等差数列的定义,考查基本的运算能力,是一道 基础题. 16.甲罐中有 3 个红球、2 个白球,乙罐中有 4 个红球、1 个白球,先从甲罐中随机取出一 个球放入乙罐,分别以 A1、A2 表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随 机取出 1 球以 B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件,则有: ①P(B)= ②事件 B 与事件 A1 相互独立 ③A1、A2 互斥 ④P(B)的值不能确定,因为它与 A1、A2 中究竟哪一个发生有关 正确的序号为 ①③ . 考点: 相互独立事件;命题的真假判断与应用. 专题: 概率与统计. 分析: 根据已知求出 P(B) ,可判断①④;分析事件 B 与事件 A1 是否相互独立,可判断 ②;根据互斥事件的概念,可判断③. 解答: 解:∵罐中有 3 个红球、2 个白球,乙罐中有 4 个红球、1 个白球, 先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐,分别以 A1、A2 表示由甲罐中取出的球是红球、白球 的事件, 再从乙罐中随机取出 1 球,以 B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件, 则 P(B)=P(A1|B)+P(A2|B)= × + × = ,故①正确,④错误;

事件 B 与事件 A1 不相互独立,故②错误; A1、A2 不可能同时发生,故彼此互斥,故③正确; 故正确命题的序号为:①③, 故答案为:①③

点评: 本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了条件概率,相互独立事件,互斥事件, 难度中档. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (2015 春?银川校级期中) (本题用数字作答) (1)5 人排成一排照相, ①甲、乙、丙排在一起,共有多少种排法? ②甲、乙之间恰有 2 人,共有多少种排法? (2)4 女 2 男选出 2 人, ①女生 2 人,男生 2 人,再安排 4 人不同的工作,共有多少种不同的方法? ②至少有一女共有多少种选法? ③男女都有共有多少种不同选法? 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 利用排列、组合知识,分别求解即可得出结论. 解答: 解: (1)①甲、乙、丙排在一起,利用捆绑法,共有 A3 A3 =36 种排法; 2 2 2 ②甲、乙之间恰有 2 人,共有 A2 A3 A2 =24 种排法; (2)4 女 2 男选出 2 人, 2 2 4 ①女生 2 人,男生 2 人,再安排 4 人不同的工作,先选后排,共有 C4 C2 A4 =144 种不同 的方法; 1 1 2 0 ②至少有一女共有 C4 C2 +C4 C2 =14 种选法; 1 1 ③男女都有共有 C4 C2 =8 种不同选法. 点评: 本题考查排列、组合知识,考查学生的计算能力,比较基础. 18. (12 分) (2015 春?银川校级期中)关于△ ABC 有如下命题:在正三角形 ABC 内部(不 包括边界)任取一点 P,P 点到三边的距离分别为 h1,h2,h3,则 h1+h2+h3 为定值,证明如 下:连接 PB、PC、PA,设△ PBC、△ PCA、△ PAB 的面积分别为 S1,S2,S3,△ ABC 的 面积为 S,则有:S=S1+S2+S3?h=h1+h2+h3(其中 h 为△ ABC 的高) ,根据上述思维猜想在 正四面体(四个面均为正三角形的三棱锥)中的结论,并对猜想进行证明. 考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,常用的思路有:由平面图形中点 的性质类比推理出空间里的线的性质,由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质, 由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质. 固我们可以根据已知中平面几何中, 关 于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”, 推断出一个空间几何中一个 关于面的性质 解答: 解:类比在正三角形 ABC 内部(不包括边界)任取一点 P,P 点到三边的距离分别 为 h1,h2,h3,则 h1+h2+h3 为定值,可得: P 是棱长为 a 的空间正四面体 ABCD 内的一点,则 P 点到四个面的距离之和 h1+h2+h3+h4 为 定值, 如图:连接 PA,PB,PC,PD,则三棱锥 P﹣ABC,P﹣ABD,P﹣ACD,P﹣BCD 的体积 分别为:V1,V2,V3,V4,
3 3

由棱长为 a 可以得到 BF=

a,BE= BF=

a,

在直角三角形 ABE 中,根据勾股定理可以得到 AE =AB ﹣BE ,即 AE= 故正四面体的体积 V= ×
2 2 2

a,即 h= × a=

a, (其中 h 为正四面体 A﹣BCD 的高) , , ,

正四面体的四个面△ ABC,△ ACD,△ ABD,△ BCD 的面积均为 则 V=V1+V2+V3+V4= (h1+h2+h3+h4) 解得:h1+h2+h3+h4= a, ,

∴即 P 是棱长为 a 的空间正四面体 ABCD 内的一点, 则 P 点到四个面的距离之和 h1+h2+h3+h4 为定值 a.

点评: 本题考查的知识点是类比推理,类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的 相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 得出一个明确的命题 (猜 想) . 19. (12 分) (2015 春?银川校级期中)已知函数 f(x)=x ﹣3x +6, (1)求 f(x)的极值; (2)当 x∈[ , ]时,求函数的最大值.
4 2

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求导,再令导数等于 0,判断函数的单调区间,得到函数的极值; (2)由(1)可知,函数 f(x)在(﹣ ,0)单调递增,在(0, )上单调递减,即可求 出函数的最大值. 4 2 解答: 解: (1)f(x)=x ﹣3x +6, 3 ∴f′(x)=4x ﹣6x,

令 f′(x)=0,解得 x=0,或 x= 当 f′(x)>0,解得﹣

,或 x=﹣

, ,函数 f(x)单调递增, ,函数 f(x)单调递减, )= ,

<x<0,或 x> ,或 0<x<

当 f′(x)<0,解得 x<﹣ ∴当 x=±

时,函数有极小值,极小值为 f(±

当 x=0 时,函数有极大值;极大值为 f(0)=6. (2)由(1)可知,函数 f(x)在(﹣ ,0)单调递增,在(0, )上单调递减, ∴当 x=0 时,函数有极大值,也是最大值, ∴f(x)max=f(0)=6. 点评: 本题考查了导数和函数恩对极值最值的关系,关键是判断函数的单调性,属于基础 题. 20. (12 分) (2015 春?银川校级期中)现有 3 位老师去参加学校组织的春季娱乐活动,该活 动有甲、乙两个游戏可供选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决 定自己去参加哪个游戏, 掷出 1 或 2 的人去参加甲游戏, 掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏, 且每个人参加游戏互不影响,设 X 表示参加甲游戏的人数,求随机变量 X 的分布列. 考点: 离散型随机变量及其分布列. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: 根据题意,求出某位教师参加甲游戏的概率 P,得出 X 的可能取值,计算对应的概 率,列出分布列即可. 解答: 解:由题意知,某位教师去参加甲游戏的概率为 P= = , 且 X 的可能取值分别为 0,1,2,3; 所以,P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= ? ? ? ? ? ? ? = = = ; , = ,

所以 X 的分布列如下; X0123 P

点评: 本题考查了离散型随机变量的分布列的应用问题,是基础题目. 21. (12 分) (2015 春?银川校级期中)已知函数 f(x)=e ﹣2x+a 有零点,求 a 的取值范围.
x

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先讨论函数的单调性,得出函数的最值,由函数的最大值大于或等于零(或函数的 最小值小于或等于零)得出 a 的取值范围. x 解答: 解:f′(x)=e ﹣2,可得 f′(x)=0 的根为 x0=ln2, 当 x<ln2 时,f′(x)<0,可得函数在区间(﹣∞,ln2)上为减函数; 当 x>ln2 时,f′(x)>0,可得函数在区间(ln2,+∞)上为增函数, ∴函数 y=f(x)在 x=ln2 处取得极小值 f(ln2)=2﹣2ln2+a, 并且这个极小值也是函数的最小值, 由题设知函数 y=f(x)的最小值要小于或等于零,即 2﹣2ln2+a≤0,可得 a≤2ln2﹣2, 故答案为: (﹣∞,2ln2﹣2]. 点评: 利用导数工具讨论函数的单调性,是求函数的值域和最值的常用方法,本题可以根 据单调性,结合函数的图象与 x 轴交点,来帮助对题意的理解. 22. (12 分) (2015 春?银川校级期中)设 sinα 是 sinθ,cosθ 的等差中项,sinβ 是 sinθ,cosθ 的等比中项,求证:cos4β﹣4cos4α=3. 考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 证明题;等差数列与等比数列. 分析: 所证明的式子中不含角 θ, 因此先由已知, 考虑将 θ 作为桥梁, 沟通 α, β, 得出 4sin α 2 ﹣2sin β=1.再由降幂公式证明等式左边等于右边即可. 解答: 证明:∵由题意,sinθ+cosθ=2sinα ①, 2 sinθ?cosθ=sin β ②,…(2 分) 2 2 2 ∴① ﹣2×②消去 θ 得 4sin α﹣2sin β=1③.…(5 分) ∴可得: 4×
2 2

﹣2× (
2

) =1, 解得: 2cos2α=cos2β, 即 4cos 2α=cos 2β,
2 2

2

2

∴等式左边=2cos 2β﹣1﹣4(2cos 2α﹣1)=8cos 2α﹣1﹣8cos 2α+4=3=右边,故得证. 点评: 本题考查三角函数恒等式的证明,要求灵活运用同角三角函数间的基本关系,以及 二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值,考查了减元,转化思想,属于中档题.


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