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数学:3.1.5《空间向量数量积的坐标表示》课件(新人教A版选修2-1)


空间向量运算的坐标表示(二)

1

复习: z

?? ? ? 以 i , j , k 为单位正交基底

?

?

z
? ? k

P ( x, y, z )

?

x
<

br />? O? i

? j

y

? ?i, j, k? 为基底 ? p ?? ? ? ?? ( x, y, z ) p ? xi ? y j ? zk ? ? 记 p ? ( x, y, z ) ??? ?
y

建立空间直角坐标系O—xyz ?? ? ?

OP ? ( x , y , z ) ? P ( x, y, z )

x
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2),

则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
2

空间向量类似于平面向量可以用坐标表示,而且 也类似于平面向量可以用坐标来进行各种运算及进行 有关判断. ? ? 设a ? (a1,a2,a3 ),b ? (b1,b2,b3 ),则 ?
? a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ? ? (a ?b , a ? b , a ? b ) a ?b ? 1 1 2 2 3 3 ;

? ?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ),(? ? R) ;
? ? a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ; ? ? ? ? a // b且a、b均各坐标值非0 ? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a2 / b2 .

? ? 规定:0 ? a ? 0

? 思考:? a ? ?? 0
3

1.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2

2.空间向量数量积的坐标表示:

? ? 设空间两个非零向量 a ? ( x1,y1,z1 ),b ? ( x2,y2,z2 ), ? ? 则a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2
3.长度的计算 ? ? 已知 a ? ( x, y, z ) ,则 a ?
??? ? AB ?

注:此公式的 几何意义是表 x2 ? y2 ? z2 示长方体的对 角线的长度。 4.空间两点间的距离公式
A( x1 , y1 , z1 )
B( x2 , y2 , z2 )
( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

已 知

4

5.角度的计算 ? ? 已知空间两非零向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 a?b 则 cos a , b ? ? ? ? a?b x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

? ? ? ? 注意:(1)当 cos ? a , b ?? 1时, 与 b 同向; a

? ? ? (2)当 cos ? a , b ?? ?1时, 与 a

? b 反向; ? ? ? ? (3)当cos ? a , b ?? 0 时, a ? b 。

6.空间两非零向量垂直的条件

? ? ? ? 思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及 1 ? cos ? a , b ?? 0 时, ?

? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0

的夹角在什么范围内?

5

练习一:
1.求下列两点间的距离:
(1) A(1,1, 0) , B (1,1,1) ; (2) C (?3 ,1, 5) , D (0 , ? 2 , 3) .

2.求下列两个向量的夹角的余弦: ? ? (1) a ? (2 , ? 3 , 3),b ? (1, 0 , 0) ; ? ? (2) a ? (?1, ? 1,1),b ? (?1, 0 ,1) ;
ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , 3.已知 (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为______________;
4. Rt △ ABC 中, ?BAC ? 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C ( x,0,1) ,则 x ? ____; 2
?
6

例题:
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、 (1, 0 , 5) ,求: B (1)线段 AB 的中点坐标和长度; 解:设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点,则

A
M

B
O

? 3 ? ∴点 M的坐标是 ? 2 , , 3 ? . ? 2 ? ???? AB ? (1 ? 3)2 ? (0 ? 3)2 ? (5 ? 1) 2 ? 29 .

???? 1 ??? ??? ? ? ? 1 ? 3 ? OM ? (OA ? OB ) ? ?(3 , 3 ,1) ? ?1, 0 , 5 ? ? ? ? 2 , , 3 ? , ? 2 2? ? 2 ?

7

(2)到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的
坐标 x , y , z 满足的条件。

解:点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等,则
( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? ( z ? 1)2 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 0)2 ? ( z ? 5)2 ,

化简整理,得 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0
8

例2:已知两点(, 3),(2,2),(,2),点Q在 A 1 2, B 1, P 11, ??? ??? ? ? OP上运动,求当QA? 取得最小值时,点Q的坐标。 QB

??? ? ??? ? 设OQ ? ?OP ? (?, ?, 2? ),
??? ??? ? ? 2 ?QA? ? 6? ?16? ? 10 QB ? ? 4 ??? ??? 2 ?当? ? 时, ? 取得最小值 ? 。 QA QB 3 3
4 4 8 此时Q , ,) ( 3 3 3
9

例3

如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 B1 E1 ? 中,
A1 B1 ,求 BE1 4
C1 E1 B1

? D1 F1 ?

与 DF1 所成的角的余弦值.
解:设正方体的棱长为1,如图建 立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

z
D1 A1 F1

? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1 ? . D C y ? 4 ? O ???? ? 3 ? ? 1 ? ? BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , A B 4 ? ? 4 ? ? x ? ? 1 ? ? ? ???? 15 ? 1? 1 ? 1 ? ???? ???? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . BE1 ?DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , 16 ? 4? 4 ? 4 ? ? 4 ? 15 ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? BE 15 16 ???? 17 ???? 17 ? cos ? BE , DF ?? ???? 1 ?DF1 ? ? ? ? ? ???? ? . 1 1 | BE1 |? , | DF1 |? . | BE1 | ? | DF1 | 17 17 1710 4 4 ? 4 4

? 3 ? B(1 , 1 , 0) , E1 ? 1 , , 1 ? , ? 4 ?

例 4.如图,正方体 ABCD ?A B C D 1 中, E , F 1 1 1 分别是 BB1 , D1 B1 中点,求证: EF ? DA 1

证明: 如图,不妨设正方体的棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ,
1 1 1 E (1,1, ) , F ( , , 1) 则 2 2 2 ???? 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1,0,1) , D(0,0,0) , ???? ? 所以 DA1 ? (1,0,1) ??? ???? ? ? 1 1 1 0 所以 EF ?DA 1 ? (? ,? , )? (1,0,1) ? 2 2 2 ??? ??? ? ? ? 因此 EF ? DA 1 ,即 EF ? DA 1



11

例5.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别是BB1,,
??? ??? ???? ? ? ? 以 ??DC 证明:设正方体棱长为1, DA??, ??,??DD1为单位正交

CD中点,求证:D1F ? 平面ADE

书P90

基底,建立如图所示坐标系D-xyz,则可得:
??? ? ???? 1 DA ? (1, 0, 0), ? (1,1, , ) DE 2 ???? ? 1 因为D1 F ? (0, , ?1) ???? ??? 2 ? ? 所以D1 F ? DA ? 0??, ?? ???? ???? ? ???????? D1 F ? DE ? 0
z
D1

C1 B1 E

A1

???? ??? ???? ??? ? ? ? ? 即D1F ? DA??, 1F ? DE ??D 又DE ? DA ? D 所以 D1F ? 平面ADE

D

F B

C y

A
x

12

例6.书本P88 例3 改用建立空间直 角坐标系的方法如何证明。
?BAC =30 ,BC =1,A1 A= 6,M 是棱CC1的中点。
0

例:如图,在直三棱柱ABC -A1 B1C1中,?ACB =900, 求证:A1 B ? AM。
z
B1 C1
A1 A1 M C1

z
B1

y
B

y
M A C

x
x
A

C

B

13

练习:
z
C1 A1 M B1

N C

建立空间直角坐 标系来解题。

A

B

x

y

14

学习小结:
1.基本知识: (1)向量的长度公式与两点间的距离公式; (2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题 时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐 标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。

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