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简单的线性规划应用题解析


简单的线性规划应用题解析
1.某人有楼房一幢,室内面积共 180 ㎡,拟分隔两类房间作为旅游客房.大 每间面积为 18 ㎡,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元;小房间每 间面积为 15 ㎡,可住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元;装修大房间 每间需 1000 元, 装修小房间每间需 600 元. 如果他只能筹款 8000 元用于装 修,且游客能住

满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获得最大收 益? 【解析】将已知数据列成下表: 消耗量 项目 房间类型 大房间(间) 小房间(间) 限额 装修费 (元) 1000 600 8000 面积 (㎡) 18 15 180 利润 (元) 5×40 3×50

设应隔出大、小房间分别为 x,y 间,此时收益为 z 元,则

?18 x ? 15 y ? 180 ?1000 x ? 600 y ? 8000 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
z ? 200 x ? 150 y
将上述不等式组化为

y

13 12 C 5 x ? 3 y ? 40 (8,0)、 (0,13.3) 9 6 3 B

4 ?6 ? ?3 ? ?5 5 3

6 x ? 5 y ? 60
(10,0)、 (0,12)

?6 x ? 5 y ? 60 ?5 x ? 3 y ? 40 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

o

l : 4x ? 3 y ? 0
图⑴

3

6

A 8 9 10

x

l1

作出可行域,如图⑴,作直线 l:200x+150y=0,即 l:4x+3y=0. 将直线 l 向右平移,得到经过可行域的点 B,且距原点最远的直线 l1. 解方程组

?6 x ? 5 y ? 60 ? ?5 x ? 3 y ? 40

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得最优解

? x ? 20 ? 2.9 7 ? y ? 60 ? 8.6 7 ?

但是房间的间数为整数,所以,应找到是整数的最优解.
? ① 当 x=3 时,代入 5x+3y=40 中,得 y ? 40315 ? 25 ? 8 ,得整点(3,8) , 3

此时 z=200×3+150×8=1800(元);
? ② 当 x=2 时,代入 6x+5y=60 中,得 y ? 60512 ? 48 ? 9 ,得整点(2,9) , 5

此时 z=200×2+150×9=1750(元) ;

③ 当 x=1 时,代入 6x+5y=60 中,得 y ? 605?6 ? 54 ? 10 ,得整点(1,10), 5
此时 z=200×1+150×10=1700(元) ;

④ 当 x=0 时,代入 6x+5y=60 中,得 y ? 60 ? 12 ,得整点(0,12) ,此 5
时 z=150×12=1800(元) .

由上①~④知,最优整数解为(0,12)和(3,8) .
答: 有两套分隔房间的方案: 其一是将楼房室内全部隔出小房间12间; 其二是隔出大房间3间, 小房间8间, 两套方案都能获得最大收益为180 0元. 2.某家具厂有方木料 90m ,五合板 60 ㎡,准备加工成书桌和书橱出售.已 3 知生产每张书桌需要方木料 0.1 m 、五合板 2 ㎡,生产每个书橱需要
3

方木料 0.2 m3、五合板 1 ㎡,出售一张书桌可获得利润 80 元,出 售一个书橱可获得利润 120 元.如果只安排生产书桌,可获利润 多少?如果只安排生产书橱,可获利润多少?怎样安排生产可使 所得利润最大?
【解析】将已知数据列成下表: 消耗量 资源 产品 书桌(个) 书橱(个) 限额 方木料 3 (m ) 0.1 0.2 90 五合板 (㎡) 2 1 600 利润 (元) 80 120

⑴只生产书桌 因为 90÷0.1=900,600÷2=300.所以,可产生书桌 300 张, 用完五合板,此时获利润为 80×300=24000(元) ; ⑵只生产书橱 因为 90÷0.2=450,600÷1=600,所以,可产生 450 个书橱, 用完方木料.此时获利润为 120×450=54000(元) ;

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⑶若既安排生产书桌, 也安排生产书橱 设安排生产书桌 x 张, 安排生产书 橱 y 个,可获利润 z 元,则 y

?0.1x ? 0.2 y ? 90 ?2 x ? y ? 600 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
z ? 80 x ? 120 y ,作出
可行域如图⑵,并作直

600 C 400 300 B

? 1 ? ? 2 ? ?2 2 3

0.1x ? 0.2 y ? 90 (900,0),(0,450)

l
A

l1
600 900

x

o

300 2 x ? 3 y ? 0 2 x ? y ? 600 (300,0),(0,600) 图⑵

线 l:80x+120y=0,即 2x+3y=0.将直线 l 向右平移,得到经过可行域

的定点 B 且距原点最远的直线 l1.
解方程组

?0.1x ? 0.2 y ? 90 ? ?2 x ? y ? 600
得最优解

? x ? 100 ? ? y ? 400
此时, z ? 80 ?100 ? 120 ? 400 ? 56000 (元). 答:由上面⑴⑵⑶知:只安排生产书桌,可获利润 24000 元;只生产书 橱,可获利润为 54000 元;当生产书桌 100 张,书橱 400 个时,刚好用完方 木料和五合板,且此时获得最大利润,为 56000 元.

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