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高考函数提高试题(2)


瞄准高考命题,提高题扎实,引申压轴题;

第一轮复习提高题

高考函数提高型试题(2)
一、填空题 1. 已知函数 f ? x ? 是偶函数, 当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? 恒成立,则 b ? a 的最小值为 2. 已知关于 x 的方程 1

4 , 又 x ?? ?3 ,?1 ? 时,a

? f ? x ? ? b x

lg ( x 2 ? 2 x ? 11) ? t ? 1 ? 0 有实数解, 则实数 t 的范围是 t ? (??, 0]

? f(m) ? f(n) ? 6 ,且 3.如果函数 f( x) 的定义域为 R ,对于 m, n ? R ,恒有 f(m ? n) f( ? 1 ) 是不大于 5 的正整数,当 x > ?1 时, f( x) >0.

那么具有这种性质的函数 f( x) = _ x+6 或 2x+6 或 3x+6 或 4x+6 或 5x+6_ . (注:填上你 认为正确的一个函数即可)
2 4.若函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ,且当 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? x ,则函

数 g ( x) ? f ( x) ? lg x 的零点个数为

10



5.若关于 x 的方程 f (2013 ? x) f (a ? x) =0 恰有 2014 个根,且所有根的和为 ?2014 ,则实 数 a 的值为
?2015
2 6.函数 f ? x ? ? lg x ? ax ? a ? 1 ,给下列命题:

?

?

① f ? x ? 有最小值; ② 当 a ? 0 时, f ? x ? 的值域为 R ; ③ 当 a ? 0 时, f ? x ? 在区间 ?2, ??? 上有反函数; ④ 若 f ? x ? 在区间 ?2, ??? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ? ?4, ?? ? . 其中正确命题的序号是 二、选择题 7.已知正整数 a , b 满足 4a ? b=30 ,使得 (A) ②③ .

1 1 ? 取最小值时,则实数对( a, b) 是(A) a b
(C) ?10 , 5? (D)

?5 ,10?

(B)

? 6 , 6?

? 7 , 2?

8.满足方程 f ( x) ? x 的根 x0 称为函数 y ? f ( x) 的不动点,设函数 y ? f ( x) , y ? g (x) 都 有不动点,则下列陈述正确的是( D )

A. y ? f (g(x)) 与 y ? f (x) 具有相同数目的不动点 B. y ? f (g(x)) 一定有不动点
C. y ? f (g(x)) 与 y ? g (x) 具有相同数目的不动点 第 1 页 共 4 页

D. y ? f (g(x)) 可以无不动点

瞄准高考命题,提高题扎实,引申压轴题; 三、解答题

第一轮复习提高题

9、已知 f ( x ) 是定义在区间 [?1,1] 上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 m, n ?[?1,1], m ? n ?0 时, 有

f ( m) ? f ( n ) 1 ?0。 (1)解不等式 f ( x ? ) ? f ( x ? 1) ? 0 (2)若 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对 m?n 2

所有 x ? [?1,1], a ? [?1,1] 恒成立,求实数 t 的取值范围。 解: (1)设 ?1 < x 1 < x2 <1, 则 f(x2) = ?x 2 ? x1 ? ? ? f(x1) ? f(x2) ? f( ? x1) = ?x 2 ? x1 ? ? 由已知得
f(x 2) ? f( ? x1) > 0 , x2 ? x1 >0, x 2 ? ?? x1 ? f(x 2) ? f( ? x1) ?x 2 ? x1 ? f(x 2) ? f( ? x1) x 2 ? ?? x1 ?

1 ? f(x1) ∴ f(x 2) >0,函数在定义域内单调递增。 f ( x ? ) ? f ?x ? 1? <0 2
1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 1 1 ∵ f ( x ? ) ? f ?x ? 1? <0 ? f ( x ? ) < f ?1 ? x ? ,∴ ?? 1 ? 1 ? x ? 1 ∴ 0 ? x< 2 2 4 ? 1 ?x ? <1 ? x 2 ?
2 (2)由题意得 f(x) 1 ) ? t 2 ? 2at ? 1 ,∴ 1 ? t 2 ? 2at ? 1 , max ? t ? 2at ? 1 ,∴ f(

2 ? ?2t ? 1 ? t ? 0 2 2 t ? 2 at ? 0 2 at ? t ? 0 即 , ,∴ ? , 2 ? ?2t ? ?? 1? ? t ? 0

∴ t ? 0 或 t ? 2 或 t ? ?2 。 10.某投资公司计划投资 A 、 B 两种金融产品,根据市场调查与预测, A 产品的利润 y 与 投资量 x 成正比例,其关系如图 1, B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例,其 关系如图 2, (注:利润与投资量单位:万元) (1)分别将 A 、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式; (2)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A 、 B 两种产品中,问:怎样分配这 10 万元投 资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?`

y
0 .3 0 .2 2 .4 1 .6
1

y

o
图1

1 .5

x

o

4

9

x

图2 第 2 页 共 4 页

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第一轮复习提高题

解: (1)设投资为 x 万元, A 产品的利润为 f ( x) 万元, B 产品的利润为 g ( x) 万元.

1 1 ,? k1 ? 5 5 4 1 4 x ( x ? 0) 又 g (4) ? 1.6 ,? k 2 ? .从而 f ( x ) ? x ( x ? 0) , g ( x ) ? 5 5 5
由题意设 f ( x) ? k1 x , g ( x) ? k 2 x .由图知 f (1) ? (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10 ? x 万元, 设企业利润为 y 万元. y ? f ( x) ? g (10 ? x) ?

x 4 ? 10 ? x (0 ? x ? 10) 5 5

1 14 10 ? t 2 4 ? t ? ? (t ? 2) 2 ? 令 10 ? x ? t ,则 y ? (0 ? t ? 10) 5 5 5 5
当 t ? 2 时, y max ?

14 ? 2.8 ,此时 x ? 10 ? 4 ? 6 5

答: 当 A 产品投入 6 万元, 则 B 产品投入 4 万元时, 该企业获得最大利润, 利润为 2.8 万元. 11.已知函数 f ( x) ? x2 ? 1 ? ax ,其中 a ? 0 。 (1) 若 2 f (1) ? f (?1) ,求 a 的值; (2) 证明:当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 [0, ??) 上为单调函数,并指出是增还是减; (3) 若函数 f ( x) 在区间 [1, ??) 上是增函数,求 a 的取值范围。 解:(1) 由 2 f (1) ? f (?1) ,可得: 2 2 ? 2a ? 2 ? a ,得 a ? (2) 任取 x1 , x2 ?[0, ??) ,令 0 ? x1 ? x2
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? 1 ? ax1 ? x2 ? 1 ? ax2 ? x12 ? 1 ? x2 ? 1 ? a( x1 ? x2 )
2 x12 ? x2

2 3

=

x ?1 ? x ?1
2 1 2 2

? a( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )(

x1 ? x2
2 x ? 1 ? x2 ?1 2 1

? a)

2 因为 0 ? x1 ? x12 ? 1 , 0 ? x2 ? x2 ? 1 ,所以 0 ?

x1 ? x2
2 x ? 1 ? x2 ?1 2 1

?1

若 a ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x) 在 [0, ??) 单调递减。 综上所述,当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在 x ? [0,??) 为单调减函数。 (3) 任取 1 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(

x1 ? x2
2 x ? 1 ? x2 ?1 2 1

? a) ,

因为 f ( x) 单调递增,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,

第 3 页 共 4 页

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第一轮复习提高题

那么必须

x1 ? x2
2 x12 ? 1 ? x2 ?1

? a ? 0 恒成立

2 2 2 ∵ 1 ? x1 ? x2 ? 2x12 ? x12 ? 1 , 2x2 ? x2 ? 1 ,∴ 2 x1 ? x12 ? 1 , 2 x2 ? x2 ?1 ,

2 相加得 2( x1 ? x2 ) ? x12 ? 1 ? x2 ?1 ?

x1 ? x2
2 x12 ? 1 ? x2 ?1

?

2 2

所以 0 ? a ?

2 。 2
2

12 . 已 知 函 数 f ? x? ? log1 ? x? 1 ? , 当 点 P ( x0,y0 ) 在 y ? f (x) 的 图 像 上 移 动 时 , 点
Q( x0 ? t ? 1 在函数 y ? g (x) 的图像上移动。 , y0 ( ) t ? R) 2

(1)若点 P 坐标为 ?1, ?1? 时,点 Q 也在 y ? f ( x) 的图像上,求 t 的值; (2)求函数 y ? g (x) 的解析式; (3)若方程 g

x ? log ? ?2

1 2

2 x 的解集是 ? ,求实数 t 的取值范围. x ?1

?1 ) 解: (1)当点 P 坐标为( 1, ,点 Q 的坐标为 1 ? t ? 1, ?1

?

2

?

? 点 Q 也在 y ? f (x) 的图像上,??1 ? log (1 ? t ? 1) , 解得: t ? 0 2
1 2

y) 在 y ? g(x) 的图像上,则 ? x ? (2)设 Q(x,

x0 ? t ? 1 x ? 2x ? t ? 1 ,即 0 ’ 2 y0 ? y y ? y ? ? 0 ? ?
2

?

而 P(x0,y0) 在 y ? f ( x) 的图像上,? y0 ? log 1 (x0 ? 1) 代入得,

y ? g(x) ? log (2x ? t)
1 2

t ? ?x ? ? 2

为所求

(3)原方程可化为 ? x ? 1

? ? 2x ? t ? x ? x ? 0或x ? ?1 ?

令h( x) ? 2x ? x ? ? ? 2 ? (1 ? x)? ? 3 ? ? x ?1 ?1 ? x ?

当x ? 0时

2 ? (1 ? x) ? 2 2(x ? 2 ?1 时取等号) 1? x

?h(x) ? 3 ? 2 2
② 当x ? ?1 时

2 ? (1 ? x) ? ?2 2(x ? ? 2 ? 1 时取等号) 1? x

?h(x) ? 3 ? 2 2
故方程 h(x) ? t 的解集为 ? 时,t 的取值范围为 ? 3 ? 2 2,3 ? 2 2 第 4 页 共 4 页

?


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