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《1.2.1 常数函数与幂函数的导数》教学案4


《1.2.1 常数函数与幂函数的导数》教学案 4 教学目标: 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的四则运算法则; 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 教学重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点: 教学过程: 一.创设情景 四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x2 、 y ? 函数 导数 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 1 的导数公式及应用 x y?c y?x y' ? 0 y' ? 1 y' ? 2x y' ? ? 1 x2 y ? x2 y? 1 x y ? f ( x) ? xn (n ? Q* ) y' ? nxn?1 二.新课讲授 (一)基本初等函数的导数公式表 函数 导数 y?c y' ? 0 y' ? nxn?1 y' ? cos x y' ? ? sin x y ' ? a x ? ln a (a ? 0) y' ? ex f ( x) ? log a xf ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 x (二)导 运算法则 y ? f ( x) ? xn (n ? Q* ) 数 的 y ? sin x y ? cos x y ? f ( x) ? a x y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x f ( x) ? ln x f ' ( x) ? 导数运算法则 ' ' 1. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x ) ' ' ' 2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) ' ? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( g ( x) ? 0) 3. ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ? ' (2)推论: ? cf ( x ) ? ? cf ( x ) ' ' (常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数) 三.典例分析 例 1.假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% ,物价 p (单位:元)与时间 t (单 位:年)有如下函数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t ,其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商品的 p0 ? 1 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)? 解:根据基本初等函数导数公式表,有 p (t ) ? 1.05 ln1.05 ' t 所以 p (10) ? 1.05 ln1.05 ? 0.08 (元/年) ' 10 因此,在第 10 个年头,这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨. 例 2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y ? x3 ? 2 x ? 3 (2)y = 1 1 ; ? 1? x 1? x (3)y =x ·sin x ·ln x; x ; 4x 1 ? ln x (5)y = . 1 ? ln x (4)y = (6)y =(2 x2-5 x +1)ex (7) y = sin x ? x cos x cos x ? x sin x 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的.② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心. 例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高, 所需净化费

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